高三复习一轮复习题组三角函数的图象和性质(有详细答案).doc
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§4.4 三角函数的图象和性质
1. 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:
(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0).
余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:
(0,1),(,0),(π,-1),(,0),(2π,1).
2. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
图象
定义域
R
R
{x|x∈R且x≠+kπ,k∈Z}
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
单调性
[-+2kπ,+2kπ](k∈Z)上递增;
[+2kπ,+2kπ](k∈Z)上递减
[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上递增;
[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上递减
(-+kπ,+kπ)(k∈Z)上递增
最值
x=+2kπ(k∈Z)时,ymax=1;
x=-+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1
x=2kπ(k∈Z)时,ymax=1;
x=π+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称中心
(kπ,0)(k∈Z)
(+kπ,0)
(k∈Z)
(,0)(k∈Z)
对称轴
方程
x=+kπ
(k∈Z)
]x=kπ(k∈Z)
周期
2π
2π
π
1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)常数函数f(x)=a是周期函数,它没有最小正周期. ( √ )
(2)y=sinx在x∈[0,]上是增函数. ( √ )
(3)y=cosx在第一、二象限上是减函数. ( × )
(4)y=tanx在整个定义域上是增函数. ( × )
(5)y=ksinx+1(x∈R),则ymax=k+1. ( × )
(6)若sinx>,则x>. ( × )
2. (2012·福建)函数f(x)=sin的图象的一条对称轴是 ( )
A.x= B.x= C.x=- D.x=-
答案 C
解析 方法一 ∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点,
故令x-=kπ+,k∈Z,∴x=kπ+,k∈Z.
取k=-1,则x=-.
方法二 用验证法.
x=时,y=sin=0,不合题意,排除A;
x=时,y=sin=,不合题意,排除B;
x=-时,y=sin=-1,符合题意,C项正确;
x=-时,y=sin=-,不合题意,故D项也不正确.
3. 若函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω等于 ( )
A. B. C.2 D.3
答案 B
解析 ∵f(x)=sinωx(ω>0)过原点,
∴当0≤ωx≤,即0≤x≤时,y=sinωx是增函数;
当≤ωx≤,即≤x≤时,y=sinωx是减函数.
由f(x)=sinωx(ω>0)在上单调递增,
在上单调递减知,=,∴ω=.
4. (2013·湖北)将函数y=cosx+sinx(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是 ( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 y=cosx+sinx=2sin(x+)向左平移m个单位长度后得到y=2sin(x++m),它关于y轴对称可得
sin(+m)=±1,
∴+m=kπ+,k∈Z,
∴m=kπ+,k∈Z,
∵m>0,∴m的最小值为.
5. 函数y=lgsin2x+的定义域为________________.
答案 {x|-3≤x<-或0 解析 由, 得 ∴-3≤x<-或0 ∴函数y=lgsin2x+的定义域为 {x|-3≤x<-或0 题型一 求三角函数的定义域和最值 例1 (1)(2012·山东)函数y=2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为 ( ) A.2- B.0 C.-1 D.-1- (2)函数y=的定义域为____________________________________________. 思维启迪 求函数的定义域可利用三角函数的图象或数轴;求函数最值或值域时要利用图象、三角变换、二次函数等知识. 答案 (1)A (2){x|x≠+kπ且x≠+kπ,k∈Z} 解析 (1)利用三角函数的性质先求出函数的最值. ∵0≤x≤9,∴-≤x-≤, ∴sin∈. ∴y∈,∴ymax+ymin=2-. (2)要使函数有意义,必须有, 即 故函数的定义域为{x|x≠+kπ且x≠+kπ,k∈Z}. 思维升华 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象来求解. (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目: ①形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求最值(值域); ②形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数,可先设sinx=t,化为关于t的二次函数求值域(最值); ③形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数,可先设t=sinx±cosx,化为关于t的二次函数求值域(最值). (1)(2013·湛江调研)函数y=lg(sinx)+的定义域为________. (2)函数y=sin2x+sinx-1的值域为 ( ) A.[-1,1] B.[-,-1] C.[-,1] D.[-1,] 答案 (1){x|2kπ (2)C 解析 (1)要使函数有意义必须有 即解得(k∈Z), ∴2kπ ∴函数的定义域为{x|2kπ (2)y=sin2x+sinx-1,令t=sinx,则有y=t2+t-1,t∈[-1,1], 画出函数图象如图所示,从图象可以看出, 当t=-及t=1时,函数取最值,代入y=t2+t-1, 可得y∈[-,1]. 题型二 三角函数的单调性、周期性 例2 写出下列函数的单调区间及周期: (1)y=sin; (2)y=|tanx|. 思维启迪 (1)化为y=-sin,再求单调区间及周期. (2)由y=tanx的图象→y=|tanx|的图象→求单调性及周期. 解 (1)y=-sin, 它的增区间是y=sin的减区间, 它的减区间是y=sin的增区间. 由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z, 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z. 由2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z, 得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z. 故所给函数的减区间为,k∈Z; 增区间为,k∈Z. 最小正周期T==π. (2)观察图象可知,y=|tanx|的增区间是,k∈Z,减区间是,k∈Z. 最小正周期T=π. 思维升华 (1)求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中,ω>0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ω<0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错. (2)求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”. (3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时,通常要画出图象,结合图象判定. 求函数y=sin+cos的周期、单调区间及最大、最小值. 解 ∵+=, ∴cos=cos =cos=sin. ∴y=2sin,周期T==. 当-+2kπ≤4x+≤+2kπ(k∈Z)时,函数单调递增, ∴函数的递增区间为(k∈Z). 当+2kπ≤4x+≤+2kπ(k∈Z)时,函数单调递减, ∴函数的递减区间为(k∈Z). 当x=+(k∈Z)时,ymax=2; 当x=-+(k∈Z)时,ymin=-2. 题型三 三角函数的奇偶性和对称性 例3 (1)已知f(x)=sinx+cosx(x∈R),函数y=f(x+φ)的图象关于直线x=0对称,则φ的值为________. (2)如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点中心对称,那么|φ|的最小值为( ) A. B. C. D. 答案 (1) (2)A 解析 (1)f(x)=2sin, y=f(x+φ)=2sin图象关于x=0对称, 即f(x+φ)为偶函数. ∴+φ=+kπ,k∈Z,φ=kπ+,k∈Z, 又∵|φ|≤,∴φ=. (2)由题意得3cos=3cos =3cos=0,∴+φ=kπ+,k∈Z, ∴φ=kπ-,k∈Z,取k=0,得|φ|的最小值为. 思维升华 若f(x)=Asin(ωx+φ)为偶函数,则当x=0时,f(x)取得最大值或最小值. 若f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数,则当x=0时,f(x)=0. 如果求f(x)的对称轴,只需令ωx+φ=+kπ(k∈Z),求x. 如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)即可. (1)若函数f(x)=sinax+cosax(a>0)的最小正周期为1,则它的图象的一个对称中心为 ( ) A.(-,0) B.(0,0) C.(-,0) D.(,0) (2)设函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈(-,))的最小正周期为π,且其图象关于直线x=对称,则在下面四个结论: ①图象关于点(,0)对称;②图象关于点(,0)对称;③在[0,]上是增函数;④在[-,0]上是增函数中,所有正确结论的编号为________. 答案 (1)C (2)②④ 解析 (1)由条件得f(x)=sin(ax+), 又函数的最小正周期为1,故=1,∴a=2π, 故f(x)=sin(2πx+). 将x=-代入得函数值为0. (2)∵T=π,∴ω=2. 又2×+φ=kπ+(k∈Z),∴φ=kπ+(k∈Z). ∵φ∈(-,),∴φ=,∴y=sin(2x+), 由图象及性质可知②④正确. 三角函数的单调性、对称性 典例: (10分) (1)已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx+)在(,π)上单调递减,则ω的取值范围是( ) A.[,] B.[,] C.(0,] D.(0,2] (2)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)+b对任意实数x有f(x+)=f(-x)成立,且f()=1,则实数b的值为 ( ) A.-1 B.3 C.-1或3 D.-3 思维启迪 (1)(,π)为函数f(x)某个单调减区间的子集; (2)由f(x+)=f(-x)可得函数的对称轴,应用函数在对称轴处的性质求解即可. 答案 (1)A (2)C 解析 (1)由 由题意知(ω+,πω+)⊆[,], ∴, ∴≤ω≤,故选A. (2)由f(x+)=f(-x)可知函数f(x)=2cos(ωx+φ)+b关于直线x=对称,又函数f(x)在对称轴处取得最值,故±2+b=1,∴b=-1或b=3. 温馨提醒 (1)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题,首先,明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集;其次,要确定已知函数的单调区间,从而利用它们之间的关系可求解. (2)函数y=Asin(ωx+φ)+b的图象与其对称轴的交点是最值点. 方法与技巧 1. 讨论三角函数性质,应先把函数式化成y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式. 2. 函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为. 3. 对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t=ωx+φ,将其转化为研究y=sint的性质. 失误与防范 1. 闭区间上最值或值域问题,首先要在定义域基础上分析单调性,含参数的最值问题,要讨论参数对最值的影响. 2. 要注意求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时ω的符号,尽量化成ω>0时情况. A组 专项基础训练 (时间: 35分钟,满分: 57分) 一、选择题 1. 下列函数中,周期为π且在[0,]上是减函数的是 ( ) A.y=sin(x+) B.y=cos(x+) C.y=sin2x D.y=cos2x 答案 D 解析 对于函数y=cos2x,T=π, 当x∈[0,]时,2x∈[0,π],y=cos2x是减函数. 2. (2012·湖南)函数f(x)=sinx-cos的值域为 ( ) A.[-2,2] B.[-,] C.[-1,1] D. 答案 B 解析 将函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式后求解. ∵f(x)=sinx-cos =sinx-cosxcos+sinxsin =sinx-cosx+sinx= =sin(x∈R), ∴f(x)的值域为[-,]. 3. (2013·浙江)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈R),则“f(x)是奇函数”是“φ=”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 φ=⇒f(x)=Acos=-Asinωx为奇函数, ∴“f(x)是奇函数”是“φ=”的必要条件. 又f(x)=Acos(ωx+φ)是奇函数⇒f(0)=0⇒φ=+kπ(k∈Z)D/⇒φ=. ∴“f(x)是奇函数”不是“φ=”的充分条件. 4. 若f(x)=2cos(ωx+φ)+m对任意实数t都有f(t+)=f(-t),且f()=-1,则实数m的值等于 ( ) A.±1 B.-1或3 C.±3 D.-3或1 答案 D 解析 对任意实数t,都有f(t+)=f(-t), 则函数f(x)的图象关于x==对称, 所以cos(ω·+φ)=±1, 即f()=±2+m=-1⇒m=-3或1. 5. (2012·天津)将函数f(x)=sinωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度,所得图象经过点,则ω的最小值是 ( ) A. B.1 C. D.2 答案 D 解析 根据题意平移后函数的解析式为y=sinω, 将代入得sin=0,则ω=2k,k∈Z,且ω>0, 故ω的最小值为2. 二、填空题 6. 函数y=cos(-2x)的单调减区间为________. 答案 [kπ+,kπ+](k∈Z) 解析 由y=cos(-2x)=cos(2x-)得 2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z), 故kπ+≤x≤kπ+(k∈Z). 所以函数的单调减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z). 7. 当-≤x≤,函数y=sinx+cosx的最大值为________,最小值为________. 答案 2 -1 解析 y=2sin(x+),-≤x+≤, ∴-≤sin(x+)≤1,∴-1≤y≤2, 故ymax=2,ymin=-1. 8. 已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|<),y=f(x)的部分图象如图,则f()=________. 答案 解析 由题中图象可知,此正切函数的半周期等于-=,即最小正周期为, 所以ω=2.由题意可知,图象过定点(,0), 所以0=Atan(2×+φ),即+φ=kπ(k∈Z), 所以φ=kπ-(k∈Z), 又|φ|<,所以φ=. 又图象过定点(0,1),所以A=1. 综上可知,f(x)=tan(2x+), 故有f()=tan(2×+)=tan=. 三、解答题 9. 设函数f(x)=sin(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=. (1)求φ; (2)求函数y=f(x)的单调增区间. 解 (1)令2×+φ=kπ+,k∈Z, ∴φ=kπ+,k∈Z, 又-π<φ<0,则φ=-. (2)由 (1)得: f(x)=sin, 令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z, 可解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 因此y=f(x)的单调增区间为,k∈Z. 10.设函数f(x)=sin(-)-2cos2+1. (1)求f(x)的最小正周期. (2)若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称,求当x∈[0,]时,y=g(x)的最大值. 解 (1)f(x)=sincos-cossin-cos =sin-cos =sin(-), 故f(x)的最小正周期为T==8. (2)方法一 在y=g(x)的图象上任取一点(x,g(x)), 它关于x=1的对称点(2-x,g(x)). 由题设条件,知点(2-x,g(x))在y=f(x)的图象上, 从而g(x)=f(2-x)=sin[(2-x)-] =sin[--] =cos(+). 当0≤x≤时,≤+≤, 因此y=g(x)在区间[0,]上的最大值为 g(x)max=cos=. 方法二 区间[0,]关于x=1的对称区间为[,2], 且y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称, 故y=g(x)在[0,]上的最大值为 y=f(x)在[,2]上的最大值. 由 (1)知f(x)=sin(-), 当≤x≤2时,-≤-≤. 因此y=g(x)在[0,]上的最大值为 g(x)max=sin=. B组 专项能力提升 (时间: 25分钟,满分: 43分) 1. 函数y=的定义域是 ( ) A.[kπ,kπ+](k∈Z) B.[2kπ,2kπ+](k∈Z) C.[-+kπ,kπ](k∈Z) D.[-+2kπ,2kπ](k∈Z) 答案 A 解析 |sinx+cosx|-1≥0⇒(sinx+cosx)2≥ 1⇒sin2x≥0, ∴2kπ≤2x≤2kπ+π,k∈Z, 故原函数的定义域是[kπ,kπ+](k∈Z). 2. 设函数f(x)=3sin(x+),若存在这样的实数x1,x2,对任意的x∈R,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-x2|的最小值为________. 答案 2 解析 f(x)=3sin(x+)的周期T=2π×=4, f(x1),f(x2)应分别为函数f(x)的最小值和最大值, 故|x1-x2|的最小值为=2. 3. 已知函数f(x)=cosxsinx(x∈R),给出下列四个命题: ①若f(x1)=-f(x2),则x1=-x2; ②f(x)的最小正周期是2π; ③f(x)在区间[-,]上是增函数; ④f(x)的图象关于直线x=对称. 其中真命题是________. 答案 ③④ 解析 f(x)=sin2x,当x1=0,x2=时, f(x1)=-f(x2),但x1≠-x2,故①是假命题; f(x)的最小正周期为π,故②是假命题; 当x∈[-,]时,2x∈[-,],故③是真命题; 因为f()=sinπ=-, 故f(x)的图象关于直线x=π对称,故④是真命题. 4. 已知函数f(x)=sin2x-cos2x+1. (1)当x∈[,]时,求f(x)的最大值和最小值; (2)求f(x)的单调区间. 解 (1)f(x)=sin2x-cos2x+1=2sin(2x-)+1. ∵≤x≤,∴≤2x≤π,∴≤2x-≤, ∴≤sin(2x-)≤1,∴1≤2sin(2x-)≤2, 于是2≤2sin(2x-)+1≤3, ∴f(x)的最大值是3,最小值是2. (2)由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z 得2kπ-≤2x≤2kπ+,k∈Z, ∴kπ-≤x≤kπ+,k∈Z, 即f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z, 同理由2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z 得f(x)的单调递减区间为[kπ+,kπ+],k∈Z. 5. 已知a>0,函数f(x)=-2asin+2a+b,当x∈时,-5≤f(x)≤1. (1)求常数a,b的值; (2)设g(x)=f且lgg(x)>0,求g(x)的单调区间. 解 (1)∵x∈,∴2x+∈. ∴sin∈, ∴-2asin∈[-2a,a]. ∴f(x)∈[b,3a+b],又∵-5≤f(x)≤1, ∴b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5. (2)由 (1)得,f(x)=-4sin-1, g(x)=f=-4sin-1 =4sin-1, 又由lgg(x)>0,得g(x)>1, ∴4sin-1>1,∴sin>, ∴2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z, 其中当2kπ+<2x+≤2kπ+,k∈Z时, g(x)单调递增,即kπ ∴g(x)的单调增区间为,k∈Z. 又∵当2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z时, g(x)单调递减,即kπ+ ∴g(x)的单调减区间为,k∈Z.
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