高中文科数学一轮复习函数专题.doc
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第二章函数
第一节对函数的进一步认识
A组
1.(2009年高考江西卷改编)函数y=的定义域为________.
解析:
⇒x∈[-4,0)∪(0,1]
答案:
[-4,0)∪(0,1]
2.(2010年绍兴第一次质检)如图,函数f(x)的图象是曲线段OAB,其中点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则f()的值等于________.
解析:
由图象知f(3)=1,f()=f
(1)=2.答案:
2
3.(2009年高考北京卷)已知函数f(x)=若f(x)=2,则x=________.
解析:
依题意得x≤1时,3x=2,∴x=log32;
当x>1时,-x=2,x=-2(舍去).故x=log32.答案:
log32
4.(2010年黄冈市高三质检)函数f:
{1,}→{1,}满足f[f(x)]>1的这样的函数个数有________个.
解析:
如图.答案:
1
5.(原创题)由等式x3+a1x2+a2x+a3=(x+1)3+b1(x+1)2+b2(x+1)+b3定义一个映射f(a1,a2,a3)=(b1,b2,b3),则f(2,1,-1)=________.
解析:
由题意知x3+2x2+x-1=(x+1)3+b1(x+1)2+b2(x+1)+b3,
令x=-1得:
-1=b3;
再令x=0与x=1得,
解得b1=-1,b2=0.
答案:
(-1,0,-1)
6.已知函数f(x)=
(1)求f(1-),f{f[f(-2)]}的值;
(2)求f(3x-1);(3)若f(a)=,求a.
解:
f(x)为分段函数,应分段求解.
(1)∵1-=1-(+1)=-<-1,∴f(-)=-2+3,
又∵f(-2)=-1,f[f(-2)]=f(-1)=2,∴f{f[f(-2)]}=1+=.
(2)若3x-1>1,即x>,f(3x-1)=1+=;
若-1≤3x-1≤1,即0≤x≤,f(3x-1)=(3x-1)2+1=9x2-6x+2;
若3x-1<-1,即x<0,f(3x-1)=2(3x-1)+3=6x+1.
∴f(3x-1)=
(3)∵f(a)=,∴a>1或-1≤a≤1.
当a>1时,有1+=,∴a=2;
当-1≤a≤1时,a2+1=,∴a=±.
∴a=2或±.
B组
1.(2010年广东江门质检)函数y=+lg(2x-1)的定义域是________.
解析:
由3x-2>0,2x-1>0,得x>.答案:
{x|x>}
2.(2010年山东枣庄模拟)函数f(x)=则f(f(f()+5))=_.
解析:
∵-1≤≤2,∴f()+5=-3+5=2,∵-1≤2≤2,∴f
(2)=-3,
∴f(-3)=(-2)×(-3)+1=7.答案:
7
3.定义在区间(-1,1)上的函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=lg(x+1),则f(x)的解析式为________.
解析:
∵对任意的x∈(-1,1),有-x∈(-1,1),
由2f(x)-f(-x)=lg(x+1),①
由2f(-x)-f(x)=lg(-x+1),②
①×2+②消去f(-x),得3f(x)=2lg(x+1)+lg(-x+1),
∴f(x)=lg(x+1)+lg(1-x),(-1 答案: f(x)=lg(x+1)+lg(1-x),(-1 4.设函数y=f(x)满足f(x+1)=f(x)+1,则函数y=f(x)与y=x图象交点的个数可能是________个. 解析: 由f(x+1)=f(x)+1可得f (1)=f(0)+1,f (2)=f(0)+2,f(3)=f(0)+3,…本题中如果f(0)=0,那么y=f(x)和y=x有无数个交点;若f(0)≠0,则y=f(x)和y=x有零个交点.答案: 0或无数 5.设函数f(x)=,若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则f(x)的解析式为f(x)=________,关于x的方程f(x)=x的解的个数为________个. 解析: 由题意得 , ∴f(x)=. 由数形结合得f(x)=x的解的个数有3个. 答案: 3 6.设函数f(x)=logax(a>0,a≠1),函数g(x)=-x2+bx+c,若f(2+)-f(+1)=,g(x)的图象过点A(4,-5)及B(-2,-5),则a=__________,函数f[g(x)]的定义域为__________. 答案: 2 (-1,3) 7.(2009年高考天津卷改编)设函数f(x)=,则不等式f(x)>f (1)的解集是________. 解析: 由已知,函数先增后减再增,当x≥0,f(x)>f (1)=3时,令f(x)=3, 解得x=1,x=3.故f(x)>f (1)的解集为0≤x<1或x>3. 当x<0,x+6=3时,x=-3,故f(x)>f (1)=3,解得-3 综上,f(x)>f (1)的解集为{x|-3 {x|-3 8.(2009年高考山东卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=则f(3)的值为________. 解析: ∵f(3)=f (2)-f (1),又f (2)=f (1)-f(0),∴f(3)=-f(0),∵f(0)=log24=2,∴f(3)=-2.答案: -2 9.有一个有进水管和出水管的容器,每单位时间进水量是一定的,设从某时刻开始,5分钟内只进水,不出水,在随后的15分钟内既进水,又出水,得到时间x与容器中的水量y之间关系如图.再随后,只放水不进水,水放完为止,则这段时间内(即x≥20),y与x之间函数的函数关系是________. 解析: 设进水速度为a1升/分钟,出水速度为a2升/分钟,则由题意得,得,则y=35-3(x-20),得y=-3x+95,又因为水放完为止,所以时间为x≤,又知x≥20,故解析式为y=-3x+95(20≤x≤).答案: y=-3x+95(20≤x≤) 10.函数f(x)=. (1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围; (2)若f(x)的定义域为[-2,1],求实数a的值. 解: (1)①若1-a2=0,即a=±1, (ⅰ)若a=1时,f(x)=,定义域为R,符合题意; (ⅱ)当a=-1时,f(x)=,定义域为[-1,+∞),不合题意. ②若1-a2≠0,则g(x)=(1-a2)x2+3(1-a)x+6为二次函数. 由题意知g(x)≥0对x∈R恒成立, ∴∴ ∴-≤a<1.由①②可得-≤a≤1. (2)由题意知,不等式(1-a2)x2+3(1-a)x+6≥0的解集为[-2,1],显然1-a2≠0且-2,1是方程(1-a2)x2+3(1-a)x+6=0的两个根. ∴∴∴a=2. 11.已知f(x+2)=f(x)(x∈R),并且当x∈[-1,1]时,f(x)=-x2+1,求当x∈[2k-1,2k+1](k∈Z)时、f(x)的解析式. 解: 由f(x+2)=f(x),可推知f(x)是以2为周期的周期函数.当x∈[2k-1,2k+1]时,2k-1≤x≤2k+1,-1≤x-2k≤1.∴f(x-2k)=-(x-2k)2+1. 又f(x)=f(x-2)=f(x-4)=…=f(x-2k), ∴f(x)=-(x-2k)2+1,x∈[2k-1,2k+1],k∈Z. 12.在2008年11月4日珠海航展上,中国自主研制的ARJ21支线客机备受关注,接到了包括美国在内的多国订单.某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务,已知每件零件由4个C型装置和3个H型装置配套组成,每个工人每小时能加工6个C型装置或3个H型装置.现将工人分成两组同时开始加工,每组分别加工一种装置,设加工C型装置的工人有x位,他们加工完C型装置所需时间为g(x),其余工人加工完H型装置所需时间为h(x).(单位: h,时间可不为整数) (1)写出g(x),h(x)的解析式; (2)写出这216名工人完成总任务的时间f(x)的解析式; (3)应怎样分组,才能使完成总任务的时间最少? 解: (1)g(x)=(0 (2)f(x)=(3)分别为86、130或87、129. 第二节函数的单调性 A组 1.(2009年高考福建卷改编)下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1 ①f(x)= ②f(x)=(x-1)2③f(x)=ex ④f(x)=ln(x+1) 解析: ∵对任意的x1,x2∈(0,+∞),当x1 ① 2.函数f(x)(x∈R)的图象如右图所示,则函数g(x)=f(logax)(0 解析: ∵0 由0≤logax≤≤x≤1.答案: [,1](或(,1)) 3.函数y=+的值域是________. 解析: 令x=4+sin2α,α∈[0,],y=sinα+cosα=2sin(α+),∴1≤y≤2. 答案: [1,2] 4.已知函数f(x)=|ex+|(a∈R)在区间[0,1]上单调递增,则实数a的取值范围__. 解析: 当a<0,且ex+≥0时,只需满足e0+≥0即可,则-1≤a<0;当a=0时,f(x)=|ex|=ex符合题意;当a>0时,f(x)=ex+,则满足f′(x)=ex-≥0在x∈[0,1]上恒成立.只需满足a≤(e2x)min成立即可,故a≤1,综上-1≤a≤1. 答案: -1≤a≤1 5.(原创题)如果对于函数f(x)定义域内任意的x,都有f(x)≥M(M为常数),称M为f(x)的下界,下界M中的最大值叫做f(x)的下确界,下列函数中,有下确界的所有函数是________. ①f(x)=sinx;②f(x)=lgx;③f(x)=ex;④f(x)= 解析: ∵sinx≥-1,∴f(x)=sinx的下确界为-1,即f(x)=sinx是有下确界的函数;∵f(x)=lgx的值域为(-∞,+∞),∴f(x)=lgx没有下确界;∴f(x)=ex的值域为(0,+∞),∴f(x)=ex的下确界为0,即f(x)=ex是有下确界的函数; ∵f(x)=的下确界为-1.∴f(x)=是有下确界的函数.答案: ①③④ 6.已知函数f(x)=x2,g(x)=x-1. (1)若存在x∈R使f(x) (2)设F(x)=f(x)-mg(x)+1-m-m2,且|F(x)|在[0,1]上单调递增,求实数m的取值范围. 解: (1)x∈R,f(x)0b<0或b>4. (2)F(x)=x2-mx+1-m2,Δ=m2-4(1-m2)=5m2-4, ①当Δ≤0即-≤m≤时,则必需 -≤m≤0. ②当Δ>0即m<-或m>时,设方程F(x)=0的根为x1,x2(x1 m≥2. 若≤0,则x2≤0, -1≤m<-.综上所述: -1≤m≤0或m≥2. B组 1.(2010年山东东营模拟)下列函数中,单调增区间是(-∞,0]的是________. ①y=- ②y=-(x-1) ③y=x2-2 ④y=-|x| 解析: 由函数y=-|x|的图象可知其增区间为(-∞,0].答案: ④ 2.若函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是________. 解析: 令g(x)=x2-ax+3a,由题知g(x)在[2,+∞)上是增函数,且g (2)>0. ∴∴-4 -4 3.若函数f(x)=x+(a>0)在(,+∞)上是单调增函数,则实数a的取值范围__. 解析: ∵f(x)=x+(a>0)在(,+∞)上为增函数,∴≤,0 答案: (0,] 4.(2009年高考陕西卷改编)定义在R上的偶函数f(x),对任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有<0,则下列结论正确的是________. ①f(3) (1) ②f (1) ③f(-2) (1) (1) 解析: 由已知<0,得f(x)在x∈[0,+∞)上单调递减,由偶函数性质得f (2)=f(-2),即f(3) (1).答案: ① 5.(2010年陕西西安模拟)已知函数f(x)=满足对任意x1≠x2,都有<0成立,则a的取值范围是________. 解析: 由题意知,f(x)为减函数,所以解得0 6.(2010年宁夏石嘴山模拟)函数f(x)的图象是如下图所示的折线段OAB,点A的坐标为(1,2),点B的坐标为(3,0),定义函数g(x)=f(x)·(x-1),则函数g(x)的最大值为________. 解析: g(x)= 当0≤x<1时,最大值为0;当1≤x≤3时, 在x=2取得最大值1.答案: 1 7.(2010年安徽合肥模拟)已知定义域在[-1,1]上的函数y=f(x)的值域为[-2,0],则函数y=f(cos)的值域是________. 解析: ∵cos∈[-1,1],函数y=f(x)的值域为[-2,0],∴y=f(cos)的值域为[-2,0].答案: [-2,0] 8.已知f(x)=log3x+2,x∈[1,9],则函数y=[f(x)]2+f(x2)的最大值是________. 解析: ∵函数y=[f(x)]2+f(x2)的定义域为 ∴x∈[1,3],令log3x=t,t∈[0,1], ∴y=(t+2)2+2t+2=(t+3)2-3,∴当t=1时,ymax=13.答案: 13 9.若函数f(x)=loga(2x2+x)(a>0,a≠1)在区间(0,)内恒有f(x)>0,则f(x)的单调递增区间为__________. 解析: 令μ=2x2+x,当x∈(0,)时,μ∈(0,1),而此时f(x)>0恒成立,∴0 μ=2(x+)2-,则减区间为(-∞,-).而必然有2x2+x>0,即x>0或x<-.∴f(x)的单调递增区间为(-∞,-).答案: (-∞,-) 10.试讨论函数y=2(logx)2-2logx+1的单调性. 解: 易知函数的定义域为(0,+∞).如果令u=g(x)=logx,y=f(u)=2u2-2u+1,那么原函数y=f[g(x)]是由g(x)与f(u)复合而成的复合函数,而u=logx在x∈(0,+∞)内是减函数,y=2u2-2u+1=2(u-)2+在u∈(-∞,)上是减函数,在u∈(,+∞)上是增函数.又u≤,即logx≤,得x≥;u>,得0 函数 单调性 (0,) (,+∞) u=logx f(u)=2u2-2u+1 y=2(logx)2-2logx+1 故函数y=2(logx)2-2logx+1在区间(0,)上单调递减,在区间(,+∞)上单调递增. 11.(2010年广西河池模拟)已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f()=f(x1)-f(x2),且当x>1时,f(x)<0. (1)求f (1)的值; (2)判断f(x)的单调性;(3)若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-2. 解: (1)令x1=x2>0,代入得f (1)=f(x1)-f(x1)=0,故f (1)=0. (2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则>1,由于当x>1时,f(x)<0, 所以f()<0,即f(x1)-f(x2)<0,因此f(x1) 所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数. (3)由f()=f(x1)-f(x2)得f()=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2. 由于函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数, 由f(|x|) 12.已知: f(x)=log3,x∈(0,+∞),是否存在实数a,b,使f(x)同时满足下列三个条件: (1)在(0,1]上是减函数, (2)在[1,+∞)上是增函数,(3)f(x)的最小值是1.若存在,求出a、b;若不存在,说明理由. 解: ∵f(x)在(0,1]上是减函数,[1,+∞)上是增函数,∴x=1时,f(x)最小,log3=1.即a+b=2. 设0<x1<x2≤1,则f(x1)>f(x2).即>恒成立. 由此得>0恒成立. 又∵x1-x2<0,x1x2>0,∴x1x2-b<0恒成立,∴b≥1. 设1≤x3<x4,则f(x3)<f(x4)恒成立.∴<0恒成立. ∵x3-x4<0,x3x4>0,∴x3x4>b恒成立.∴b≤1.由b≥1且b≤1可知b=1,∴a=1.∴存在a、b,使f(x)同时满足三个条件. 第三节函数的性质 A组 1.设偶函数f(x)=loga|x-b|在(-∞,0)上单调递增,则f(a+1)与f(b+2)的大小关系为________. 解析: 由f(x)为偶函数,知b=0,∴f(x)=loga|x|,又f(x)在(-∞,0)上单调递增,所以0f(b+2).答案: f(a+1)>f(b+2) 2.(2010年广东三校模拟)定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是以2为周期的周期函数,则f (1)+f(4)+f(7)等于________. 解析: f(x)为奇函数,且x∈R,所以f(0)=0,由周期为2可知,f(4)=0,f(7)=f (1),又由f(x+2)=f(x),令x=-1得f (1)=f(-1)=-f (1)⇒f (1)=0,所以f (1)+f(4)+f(7)=0.答案: 0 3.(2009年高考山东卷改编)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则f(-25)、f(11)、f(80)的大小关系为________. 解析: 因为f(x)满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=f(x),所以函数是以8为周期的周期函数,则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3),又因为f(x)在R上是奇函数,f(0)=0,得f(80)=f(0)=0,f(-25)=f(-1)=-f (1),而由f(x-4)=-f(x)得f(11)=f(3)=-f(-3)=-f(1-4)=f (1),又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f (1)>f(0)=0,所以-f (1)<0,即f(-25) 答案: f(-25) 4.(2009年高考辽宁卷改编)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调增加,则满足f(2x-1) 解析: 由于f(x)是偶函数,故f(x)=f(|x|),由f(|2x-1|) (,) 5.(原创题)已知定义在R上的函数f(x)是偶函数,对x∈R,f(2+x)=f(2-x),当f(-3)=-2时,f(2011)的值为________. 解析: 因为定义在R上的函数f(x)是偶函数,所以f(2+x)=f(2-x)=f(x-2),故函数f(x)是以4为周期的函数,所以f(2011)=f(3+502×4)=f(3)=f(-3)=-2.答案: -2 6.已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数,周期T=5,函数y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在x=2时函数取得最小值-5. (1)证明: f (1)+f(4)=0; (2)求y=f(x),x∈[1,4]的解析式;(3)求y=f(x)在[4,9]上的解析式. 解: (1)证明: ∵f(x)是以5为周期的周期函数,∴f(4)=f(4-5)=f(-1), 又∵y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,∴f (1)=-f(-1)=-f(4),∴f (1)+f(4)=0. (2)当x∈[1,4]时,由题意可设f(x)=a(x-2)2-5(a>0),由f (1)+f(4)=0,得a(1-2)2-5+a(4-2)2-5=0,∴a=2,∴f(x)=2(x-2)2-5(1≤x≤4). (3)∵y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,∴f(0)=0,又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数,∴可设f(x)=kx(0≤x≤1),而f (1)=2(1-2)2-5=-3,∴k=-3,∴当0≤x≤1时,f(x)=-3x,从而当-1≤x<0时,f(x)=-f(-x)=-3x,故-1≤x≤1时,f(x)=-3x.∴当4≤x≤6时,有-1≤x-5≤1,∴f(x)=f(x-5)=-3(x-5)=-3x+15.当6 ∴f(x)=. B组 1.(2009年高考全国卷Ⅰ改编)函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则下列结论正确的是________. ①f(x)是偶函数 ②f(x)是奇函数 ③f(x)=f(x+2) ④f(x+3)是奇函数 解析: ∵f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,∴f(-x+1)=-f(x+1),f(-x-1)=-f(x-1),∴函数f(x)关于点(1,0),及点(-1,0)对称,函数f(x)是周期T=2[1-(-1)]=4的周期函数.∴f(-x-1+4)=-f(x-1+4),f(-x+3)=-f(x+3),即f(x+3)是奇函数.答案: ④ 2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-f(x+),且f(-2)=f(-1)=-1,f(0)=2,f (1)+f (2)+…+f(2009)+f(2010)=________. 解析: f(x)=-f(x+)⇒f(x+3)=f(x),即周期为3,由f(-2)=f(-1)=-1,f(0)=2,所以f (1)=-1,f (2)=-1,f(3)=2,所以f (1)+f (2)+…+f(2009)+f(2010)=f(2008)+f(2009)+f(2010)=f (1)+f (2)+f(3)=0.答案: 0 3.(2010年浙江台州模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f (1)=1,若将f(x)的图象向右平移一个单位后,得到一个偶函数的图象,则f (1)+f (2)+f(3)+…+f(2010)=________. 解析: f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),将f(x)的图象向右平移一个单位后,得到一个偶函数的图象,则满足f(-2+x)=-f(x),即f(x+2)=-f(x),所以周期为4,f (1)=1,f (2)=f(0)=0,f(3)=-f (1)=-1,f(4)=0,所以f (1)+f (2)+f(3)+f(4)=0,则f (1)+f (2)+f(3)+…+f(2010)=f(4)×502+f (2)=0.答案: 0 4.(2010年湖南郴州质检)已知函数f(x)是R上的偶函数,且在(0,+∞)上有f′(x)>0,若f(-1)=0,那么关于x的不等式xf(x)<0的解集是________. 解析: 在(0,+∞)上有f′(x)>0,则在(0,+∞)上f(x)是增函数,在(-∞,0)上是减函数,又f(x)在R上是偶函数,且f(-1)=0,∴f (1)=0.从而可知x∈(-∞,-1)时,f(x)>0
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