高中三角形中的常见结论.doc
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高中三角形中的常见结论.doc
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C
B
A
D
高中三角形中的常见结论
以下很多结论都是只有在三角形中才成立的,离开三角形
这个前提条件就不一定成立!
在中,内角的对边分别为。
1、内角和定理:
。
2、边角关系:
大边对大角,等边对等角,小边对小角,反之亦成立,
即:
,,。
3、三边关系:
任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,
即:
,,
,,
4、三角形的四心:
外心:
外接圆圆心,三边中垂线的交点。
内心:
内切圆圆心,三内角角平分线的交点。
垂心:
三边高线的交点。
重心:
三边中线的交点。
重心的性质:
(1)重心是中线的三等分点;
(2);
(3)若、、,则。
等腰三角形中顶角角平分线、底边中线、底边高线三线合一。
等边三角形四心合一。
5、正弦定理:
(为外接圆的半径)。
正弦定理的变形:
(1),,;
(2),,;
(3),,;
(4),,;
(5);
(6)。
正弦定理的用途:
(1)已知两角和任一边,求其他两边和一角;
(2)已知两边及其中一边的对角,求另一边和另两角;(此种情况一定要注意如何取舍角,利用内角和定理、边角关系进行取舍!
)
(3)判断三角形的形状。
(边化角或角化边)
6、余弦定理:
,,
或,,。
余弦定理的用途:
(1)已知三边,求三角;
(2)已知两边及其夹角,求另一边和另两角;
(3)判断三角形的形状。
余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例。
为锐角
为直角
为钝角
7、三角形内的诱导公式:
8、对任意三角形,都有。
9、,
,
。
10、若,则或。
11、
12、在中,给定、的正弦或余弦值,则的正弦或余弦有解(即存在)的充要条件是。
(也可以用9中的结论来判断)
13、在中,。
14、在中,、、成等差数列。
15、为正三角形、、成等差数列且、、成等比数列。
16、的面积公式:
(1)(,,分别为边上的高)
(2)
17、正余弦定理综合:
D
C
B
A
18、射影定理:
19、角平分线定理:
为的角平分线,则
20、的面积公式:
(1)(,,分别为边上的高)
(2)
(3)(为外接圆的半径)
(4)
(5)(其中)
(6)(为内切圆的半径)
21、直角三角形中的结论:
(1)两锐角互余,即。
(2)角所对的直角边等于斜边的一半。
(3)勾股定理:
。
(4)斜边上的中线等于斜边的一半,外接圆的圆心为斜边的中点,垂心为直角顶点。
(5)如图可得:
D
C
B
A
(6)由
(2)可得直角三角形中的射影定理:
3
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