历年安徽高考数学试卷文、理及答案.doc
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历年安徽高考数学试卷文、理及答案.doc
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2007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数 学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第1至第2页,第Ⅱ卷第3至第4页。
全卷满分150分,考试时间120分钟。
考生注意事项:
1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。
2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动、用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
3.答第Ⅱ卷时,必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写。
在试题卷上作答无效。
4.考试结束,监考员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式:
如果事件A、B互斥,那么球的表面积公式
P(A+B)=PA.+PB.S=4лR2
如果事件A、B相互独立,那么其中R表示球的半径
P(A·B)=PA.+PB.球的体积公式
1+2+…+n V=
12+22+…+n2= 其中R表示球的半径
13+23++n3=
第Ⅰ卷(选择题 共55分)
一、选择题:
本大题共11小题,每小题5分,共55分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中,反函数是其自身的函数为
A.
B.
C.
D.
2.设l,m,n均为直线,其中m,n在平面内,“l”是lm且“ln”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
3.若对任意R,不等式≥ax恒成立,则实数a的取值范围是
A.a<-1
B.≤1
C.<1
D.a≥1
4.若a为实数,=-i,则a等于
A.
B.—
C.2
D.—2
5.若,,则的元素个数为
A.0
B.1
C.2
D.3
6.函数的图象为C,
①图象关于直线对称;
②函灶在区间内是增函数;
③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象.
以上三个论断中,正确论断的个数是
A.0
B.1
C.2
D.3
7.如果点在平面区域上,点在曲线上,那么的最小值为
A.
B.
C.
D.
8.半径为1的球面上的四点是正四面体的顶点,则与两点间的球面距离为
A.
B.
C.
D.
9.如图,和分别是双曲线的两个焦点,和是以为圆心,以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△是等边三角形,则双曲线的离心率为
A.
B.
C.
D.
10.以表示标准正态总体在区间()内取值的概率,若随机变量服从正态分布,则概率等于
A.-
B.
C.
D.
11.定义在R上的函数既是奇函数,又是周期函数,是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为,则可能为
A.0
B.1
C.3
D.5
第Ⅱ卷(非选择题 共95分)
注意事项:
请用0.5毫米黑色水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上书写作答无效.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题4分,共16分。
把答案填在答题卡的相应位置。
12.若(2x3+)n的展开式中含有常数项,则最小的正整数n等于。
13.在四面体O-ABC中,为BC的中点,E为AD的中点,则=(用a,b,c表示)。
14.如图,抛物线y=--x2+1与x轴的正半轴交于点A,将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1,P2,…,Pn-1,过这些分点分别作x轴的垂线,与抛物线的交点依次为Q1,Q2,…,Qn-1,从而得到n-1个直角三角形△Q1OP1,△Q2P1P2,…,△Qn-1Pn-1Pn-1,当n→∞时,这些三角形的面积之和的极限为。
15.在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何形体的4个顶点,这些几何形体是(写出所有正确结论的编号)。
①矩形;
②不是矩形的平行四边形;
③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体;
④每个面都是等边三角形的四面体;
⑤每个面都是直角三角形的四面体。
三、解答题:
本大题共6小题,共79分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.(本小题满分12分)
已知0<a<的最小正周期,b=(cosa,2),且a·b=m。
求的值。
17.(本小题满分14分)
如图,在六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD是边长为2的正方形,四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形,DD1⊥平面A1B1C1D1,DD1⊥平面ABCD,DD1=2。
(Ⅰ)求证:
A1C1与AC共面,B1D1与BD共面;
(Ⅱ)求证:
平面A1ACC1⊥平面B1BDD1;
(Ⅲ)求二面角A-BB1-C的大小(用反三角函数值圾示)。
18.(本小题满分14分)
设a≥0,f(x)=x-1-ln2x+2alnx(x>0)。
(Ⅰ)令F(x)=xf'(x),讨论F(x)在(0,+∞)内的单调性并求极值;
(Ⅱ)求证:
当x>1时,恒有x>ln2x-2alnx+1。
19.(本小题满分12分)
如图,曲线G的方程为y2=2x(y≥0)。
以原点为圆心,以t(t>0)为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B。
直线AB与x轴相交于点C。
(Ⅰ)求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式;
(Ⅱ)设曲线G上点D的横坐标为a+2,求证:
直线CD的斜率为定值。
20.(本小题满分13分)
在医学生物学试验中,经常以果蝇作为试验对象,一个关有6只果蝇的笼子里,不慎混入了两只苍蝇(此时笼内共有8只蝇子:
6只果蝇和2只苍蝇),只好把笼子打开一个小孔,让蝇子一只一只地往外飞,直到两只苍蝇都飞出,再关闭小孔。
以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数。
(Ⅰ)写出ξ的分布列(不要求写出计算过程);
(Ⅱ)求数学期望Eξ;
(Ⅲ)求概率P(ξ≥Eξ)。
21.(本小题满分14分)
某国采用养老储备金制度。
公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为a1,以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0),因此,历年所交纳的储务金数目a1,a2,…是一个公差为d的等差数列,与此同时,国家给予优惠的计息政策,不仅采用固定利率,而且计算复利。
这就是说,如果固定年利率为r(r>0),那么,在第n年末,第一年所交纳的储备金就变为a1(1+r)n-1,第二年所交纳的储备金就变为a2(1+r)n-2,……,以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额。
(Ⅰ)写出Tn与Tn-1(n≥2)的递推关系式;
(Ⅱ)求证:
Tn=An+Bn,其中{An}是一个等比数列,{Bn}是一个等差数列。
2007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数 学(理科)
参考答案
一、选择题:
本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分55分。
1.D 2.A 3.B 4.B 5.C 6.C
7.A 8.C 9.D 10.B 11.D
二、填空题:
本题考查基本知识和基本运算,每小题4分,满分16分。
12.7
13.
14.
15.①③④⑤
三、解答题
16.(本小题满分12分)
本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式,考查运算能力和推理能力.本小题满分12分。
解:
因为为的最小正周期,故
因a·b=m,又a·b=,
故
由于,所以
=
=
17.(本小题满分14分)
本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识,考查空间想象能力和思维能力,应用向量知识解决立体几何问题的能力.本小题满分14分。
解法1(向量法):
以D为原点,以DA,DC,所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系如图,则有
A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),
(Ⅰ)证明:
于是与AC共面,与BD共面.
(Ⅱ)证明:
内的两条相交直线,
又平面
(Ⅲ)解:
设
于是
设
于是
解法2(综合法):
(Ⅰ)证明:
∥平面ABCD.
于是∥CD,∥DA.
设E,F分别为DA,DC的中点,连结EF,
有∥∥
∴∥
于是∥
由DE=DF=1,得EF∥AC,
故∥
与AC共面.
过点
于是
所以点O在BD上,故
(Ⅱ)证明:
又BD⊥AC(正方形的对角线互相垂直),
内的两条相交直线,
又平面
(Ⅲ)解:
∵直线DB是直线
根据三垂线定理,有AC⊥
过点A在平面
则
于是
所以,∠AMC是二面角
根据勾股定理,有
二面角
18.(本小题满分14分)
本小题主要考查函数导数的概念与计算,利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法,考查综合运用有关知识解决问题的能力,本小题满分14分.
(Ⅰ)解:
根据求导法则得
故
于是
列表如下:
x
(0,2)
2
(2,+∞)
F′(x)
-
0
+
F(x)
↓
极小值F
(2)
↑
故知F(x)在(0,2)内是减函数,在(2,+∞)内是增函数,所以,在x=2处取得极小值F
(2)=2-2In2+2a.
(Ⅱ)证明:
由
于是由上表知,对一切
从而当
所以当
故当
19.(本小题满分12分)
本小题综合考查平面解析几何知识,主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系,考查运算能力与思维能力,综合分析问题的能力.本小题满分12分.
解:
(Ⅰ)由题意知,A()
因为
由于
由点B(0,t)C(c,0)的坐标知,直线BC的方程为
又因点A在直线BC上,故有
将
(1)代入上式,得
解得
(Ⅱ)因为
所以直线CD的斜率为定值.
20.(本小题满分13分)
本小题主要考查等可能场合下的事件概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期望的概念及其计算,考查分析问题及解决实际问题的能力.本小题满分13分.
解:
(1)的分布列为
(Ⅱ)数学期望为E=
(Ⅲ)所求的概率
21.(本小题满分14分)
本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法,考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力,考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力.本小题满分14分.
解:
(Ⅰ)我们有
(Ⅱ)
= ①
在①式两端同乘1+r,得
②
②-①,得
=
即
如果记
则
其中
。
2007年普通高等学招生全国统一考试(安徽卷)
数学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第1至第2页,第Ⅱ卷第3至第4页。
全卷满分150分,考试时间120分钟。
考生注意事项:
1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名,并认真核对答
题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。
2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
3.答第Ⅱ卷时,必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写。
在试题卷上作答无效。
4.考试结束,监考员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式:
如果事件、互斥,那么 球的表面积公式
如果事件、相互独立,那么 其中表示球的半径
球的体积公式
1+2…+n=
…+ 其中表示球的半径
…+
第Ⅰ卷(选择题共55分)
一、选择题:
本大题共11小题,每小题5分,共55分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)若,则=
(A) (B) (C) (D)
(2)椭圆的离心率为
(A) (B) (C) (D)
(3)等差数列的前项和为若
(A)12 (B)10 (C)8 (D)6
(4)下列函数中,反函数是其自身的函数为
(A) (B)
(C) (D)
(5)若圆的圆心到直线的距离为,则a的值为
(A)-2或2 (B) (C)2或0 (D)-2或0
(6)设均为直线,其中在平面的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
(7)图中的图象所表示的函数的解析式为
(A) (0≤x≤2)
(B)(0≤x≤2)
(C) (0≤x≤2)
(D) (0≤x≤2)
(8)设a>1,且,则的大小关系为
(A)n>m>p (B)m>p>n (C)m>n>p (D)p>m>n
(9)如果点P在平面区域上,点O在曲线最小值为
(A) (B) (C) (D)
(10)把边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角,折成直二面角后,在A,B,C,D四点所在的球面上,B与D两点之间的球面距离为
(A) (B) (C) (D)
(11)定义在R上的函数f(x)既是奇函数,又是周期函数,T是它的一个正周期.若将方程f(x)=0在闭区[-T,T]上的根的个数记为n,则n可能为
(A)0 (B)1 (C)3 (D)5
(在此卷上答题无效)
绝密★启用前
2007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数学(理科)
第Ⅱ卷(非选择题共95分)
注意事项:
请用0.5毫米黑色水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上书写作答无效.
二、填空题:
本大共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置.
(12)已知,则(的值等于.
(13)在四面体O-ABC中,D为BC的中点,E为AD的中点,则=(用a,b,c表示).
(14)在正方体上任意选择两条棱,则这两条棱相互平行的概率为.
(15)函数的图象为C,如下结论中正确的是(写出所有正确结论的编号).
①图象C关于直线对称;
②图象C关于点对称;
③函数)内是增函数;
④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.
三、解答题:
本大题共6小题,共79分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(16)(本小题满分10分)
解不等式>0.
(17)(本小题满分14分)
如图,在六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD是边长为2的正方形,四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形,DD1⊥平面A1B1C1D1,DD1⊥平面ABCD,DD1=2.
(Ⅰ)求证:
A1C1与AC共面,B1D1与BD共面;
(Ⅱ)求证:
平面A1ACC1⊥平面B1BDD1;
(Ⅲ)求二面角A-BB1-C的大小(用反三角函数值表示)
(18)(本小题满分14分)
设F是抛物线G:
x2=4y的焦点.
(Ⅰ)过点P(0,-4)作抛物线G的切线,求切线方程:
(Ⅱ)设A、B为势物线G上异于原点的两点,且满足,延长AF、BF分别交抛物线G于点C,D,求四边形ABCD面积的最小值.
(19)(本小题满分13分)
在医学生物学试验中,经常以果蝇作为试验对象.一个关有6只果蝇的笼子里,不慎混入了两只苍蝇(此时笼内共有8只蝇子:
6只果蝇和2只苍蝇),只好把笼子打开一个小孔,让蝇子一只一只地往外飞,直到两只苍蝇都飞出,再关闭小孔.
(Ⅰ)求笼内恰好剩下1只果蝇的概率;
(Ⅱ)求笼内至少剩下5只果蝇的概率.
(20)(本小题满分14分)
设函数
f(x)=-cos2x-4tsincos+4t3+t2-3t+4,x∈R,
其中≤1,将f(x)的最小值记为g(t).
(Ⅰ)求g(t)的表达式;
(Ⅱ)讨论g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值.
(21)(本小题满分14分)
某国采用养老储备金制度,公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为a1,以后第年交纳的数目均比上一年增加d(d>0),因此,历年所交纳的储备金数目a1,a2,…是一个公差为d的等差数列,与此同时,国家给予优惠的计息政策,不仅采用固定利率,而且计算复利,这就是说,如果固定年利率为r(r>0),那么,在第n年末,第一年所交纳的储备金就变为n(1+r)n-1,第二年所交纳的储备金就变为a2(1+r)n-2,……,以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.
(Ⅰ)写出Tn与Tn-1(n≥2)的递推关系式;
(Ⅱ)求证:
Tn=An+Bn,其中是一个等比数列,是一个等差数列.
2007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数学(文史)参考答案
一、选择题:
本题考查基本知识的基本运算.每小题5分,满分55分.
1.D 2.A 3.C 4.D 5.C 6.A
7.B 8.B 9.A 10.C 11.D
二、填空题:
本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.
12. 13. 14. 15.①②③
三、解答题
16.本小题主要考查三角函数的基本性质,含绝对值不等式的解法,考查基本运算能力.本小题满分10分.
解:
因为对任意,,所以原不等式等价于.
即,,,故解为.
所以原不等式的解集为.
17.本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识,考查空间想象能力和思维能力,应用向量知识解决立体几何问题的能力.本小题满分14分.
解法1(向量法):
A
B
C
D
以为原点,以所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系如图,
则有.
(Ⅰ)证明:
.
.
与平行,与平行,
于是与共面,与共面.
(Ⅱ)证明:
,,
,.
与是平面内的两条相交直线.
平面.
又平面过.
平面平面.
(Ⅲ)解:
.
设为平面的法向量,
,.
于是,取,则,.
设为平面的法向量,
,.
于是,取,则,.
A
B
C
D
.
二面角的大小为.
解法2(综合法):
(Ⅰ)证明:
平面,平面.
,,平面平面.
于是,.
设分别为的中点,连结,
有.
,
于是.
由,得,
故,与共面.
过点作平面于点,
则,连结,
于是,,.
,.
,.
所以点在上,故与共面.
(Ⅱ)证明:
平面,,
又(正方形的对角线互相垂直),
与是平面内的两条相交直线,
平面.
又平面过,平面平面.
(Ⅲ)解:
直线是直线在平面上的射影,,
根据三垂线定理,有.
过点在平面内作于,连结,
则平面,
于是,
所以,是二面角的一个平面角.
根据勾股定理,有.
,有,,,.
,,
二面角的大小为.
18.本小题主要考查抛物线的方程与性质,抛物线的切点与焦点,向量的数量积,直线与抛物线的位置关系,平均不等式等基础知识,考查综合分析问题、解决问题的能力.本小题满分14分.
解:
(I)设切点.由,知抛物线在点处的切线斜率为,故所求切线方程为.
即.
因为点在切线上.
所以,,.
所求切线方程为.
(II)设,.
由题意知,直线的斜率存在,由对称性,不妨设.
因直线过焦点,所以直线的方程为.
点的坐标满足方程组
得,
由根与系数的关系知
.
因为,所以的斜率为,从而的方程为.
同理可求得.
.
当时,等号成立.所以,四边形面积的最小值为.
19.本小题主要考查排列、组合知识与等可能事件、互斥事件概率的计算,运用概率知识分析问题及解决实际问题的能力.本小题满分13分.
解:
以表示恰剩下只果蝇的事件.
以表示至少剩下只果蝇的事件.
可以有多种不同的计算的方法.
方法1(组合模式):
当事件发生时,第只飞出的蝇子是苍蝇,且在前只飞出的蝇子中有1只是苍蝇,所以.
方法2(排列模式):
当事件发生时,共飞走只蝇子,其中第只飞出的蝇子是苍蝇,哪一只?
有两种不同可能.在前只飞出的蝇子中有只是果蝇,有种不同的选择可能,还需考虑这只蝇子的排列顺序.所以.
由上式立得;
.
20.本小题主要考查同角三角函数的基本关系,倍角的正弦公式,正弦函数的值域,多项式函数的导数,函数的单调性,考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间,极值与最值等问题的综合能力.本小题满分14分.
解:
(I)我们有
.
由于,,故当时,达到其最小值,即
.
(II)我们有.
列表如下:
极大值
极小值
由此可见,在区间和单调增加,在区间单调减小,极小值为,极大值为.
21.本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法,考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力.本小题满分14分.
解:
(Ⅰ)我们有.
(Ⅱ),对反复使用上述关系式,得
, ①
在①式两端同乘,得
②
②①,得
.
即.
如果记,,
则.
其中是以为首项,以为公比的等比数列;是以为首项,为公差的等差数列.
2008年普通高等学校招生一考试(安徽卷)数学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第1至第2页,第Ⅱ卷第3至第4页.全卷满分150分,考试时间120分钟.
考生注意事项:
答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致.
1.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答第Ⅱ卷时,必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写.在试题卷上作答无效.考试结束,监考员将试题卷和答题卡一并收回.
参考公式:
如果事件互斥,那么 球的表面积公式
其中表示球的半径
如果事件相互独立,那么
球的体积公式
如果随机变量其中表示球的半径
第I卷(选择题共60分)
一、选择题:
只有一项是符合题目要求的.
(1).复数 ()A.2 B.-2C. D.
(2).集合,则下列结论正确的是()
A. B.
C. D.
(3).在平行
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