金山区高三一模数学卷及答案.doc
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金山区2015学年第一学期期末考试
高三数学试卷
(满分:
150分,完卷时间:
120分钟)
(答题请写在答题纸上)
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1.=.
2.已知全集U=R,集合M={x|x2–4x–5<0},N={x|x≥1},则M∩(UN)=.
3.若复数满足(i为虚数单位),则=.
4.若直线l1:
6x+my–1=0与直线l2:
2x-y+1=0平行,则m=.
5.若线性方程组的增广矩阵为,解为,则c1–c2=.
6.方程4x–6´2x+8=0的解是.
7.函数y=secx×sinx的最小正周期T=.
8.二项式展开式中系数的值是.
9.以椭圆的中心为顶点,且以该椭圆的右焦点为焦点的抛物线方程是.
10.在报名的5名男生和3名女生中,选取5人参加数学竞赛,要求男、女生都有,则不同的选取方式的种数为.(结果用数值表示)
11.方程cos2x+sinx=1在(0,p)上的解集是.
12.行列式(a、b、c、dÎ{–1,1,2})所有可能的值中,最小值为.
13.已知点P、Q分别为函数(x≥0)和图像上的点,则点P和Q两点距离的最小值为.
14.某种游戏中,用黑、黄两个点表示黑、黄两个“电子狗”,它们从棱长为1的正方体ABCD–A1B1C1D1的顶点A出发沿棱向前爬行,每爬完一条棱称为“爬完一段”.黑“电子狗”爬行的路线是AA1→A1D1→…,黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB1→…,它们都遵循如下规则:
所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线(其中i是正整数).设黑“电子狗”爬完2015段、黄“电子狗”爬完2014段后各自停止在正方体的某个顶点处,这时黑、黄“电子狗”间的距离是.
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
15.“直线l1、l2互相垂直”是“直线l1、l2的斜率之积等于–1”的().
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(C)充要条件(D)既非充分也非必要条件
16.若m、n是任意实数,且m>n,则().
(A)m2>n2(B)
(C)lg(m–n)>0(D)
17.已知,是单位向量,,且向量满足=1,则||的取值范围是().
(A) (B)
(C) (D)
18.如图,AB为定圆O的直径,点P为半圆AB上的动点.过点P
作AB的垂线,垂足为Q,过Q作OP的垂线,垂足为M.记
(A))
x
y
O
(B)
x
y
O
(C)
x
y
O
(D)
x
y
O
弧AP的长为x,线段QM的长为y,则函数y=f(x)的大致图像是().
三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分)
在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a=3,cosA=,B=A+.
试求b的大小及△ABC的面积S.
20.(本题满分14分,第
(1)小题6分,第
(2)小题8分)
A
B
C
A1
B1
C1
在直三棱柱中,,,且异面直线与所成的角等于,设.
(1)求的值;
(2)求三棱锥的体积.
21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.
在平面直角坐标系中,已知椭圆,设点是椭圆上一点,从原点向圆作两条切线,切点分别为.
(1)若直线互相垂直,且点在第一象限内,求点的坐标;
(2)若直线的斜率都存在,并记为,求证:
.
22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
已知函数.
(1)当m=2时,证明f(x)在(–∞,0)上是单调递减函数;
(2)若对任意xÎR,不等式f(2x)>0恒成立,求m的取值范围;
(3)讨论函数y=f(x)的零点个数.
23.(本小题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足S1>1,且(nÎN*).
(1)求{an}的通项公式;
(2)设数列满足,Tn为数列{bn}的前n项和,求Tn;
(3)设,问是否存在正整数,使得当任意正整数n>N时恒有Cn>2015成立?
若存在,请求出正整数的取值范围;若不存在,请说明理由.
金山区2015学年第一学期期末考试高三数学试卷
评分参考意见
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1.;2.{x|–1 6.x=1或x=2;7.p;8.–6;9.y2=12x;10.55 11.;12.–6;13.;14.. 二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 15.B;16.D;17.A;18.A 三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.解: 因为cosA=,所以sinA=,………………………………………………1分 又B=A+,所以sinB=sin(A+)=cosA=,……………………………………………2分 又因为,………………………………………………………………………4分 所以b==,……………………………………………………………………6分 cosB=cos(A+)=–sinA=–………………………………………………………………8分 sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=,…………………………………………………10分 所以△ABC的面积S==.……………………………………………12分 或解: 因为a2=b2+c2–2bccosA(2分) 即: c2–4c+9=0,解之得: c=3(舍去),c=,(2分) △ABC的面积S==.(2分) 20.解 (1)∵BC∥B1C1,∴∠A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角, 即∠A1BC=60°,…………………………………………………………………………2分 又AA1⊥平面ABC,AB=AC,则A1B=A1C,∴△A1BC为等边三角形,…………4分 由,, ∴;……………………………………………6分 (2)连接B1C,则三棱锥B1–A1BC的体积等于三棱锥C–A1B1B的体积, 即: ,………………………………………………………………9分 △的面积,……………………………………………………………11分 又平面, 所以,所以.………………………………14分 21.解: (1)由题意得: 圆的半径为,因为直线互相垂直,且与圆相切,所以四边形OPRQ为正方形,故,即①………………3分 又在椭圆C上,所以②…………………………………5分 由①②及在第一象限,解得,…………………………………………7分 (2)证明: 因为直线OP: y=k1x,OQ: y=k2x均与圆R相切,……………………8分 所以,化简得 同理有………………………………………………10分 所以k1、k2是方程的两个不相等的实数根, 所以,………………………………………………………………………11分 又因为在椭圆C上,所以, 即,所以,即2k1k2+1=0.………………………14分 22.解: (1)当m=2,且x<0时,,………………………………1分 证明: 设x1 又x1 所以f(x1)–f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 故当m=2时,在(–∞,0)上单调递减的.…………………………4分 (2)由f(2x)>0得, 变形为,即, 当即x=–1时,,所以.…………………………10分 (3)由f(x)=0,可得x|x|–x+m=0(x≠0),变为m=–x|x|+x(x≠0), 令,,作y=g(x)的图像及直线y=m,由图像可得: 当或时,y=f(x)有1个零点. 当或m=0或时,y=f(x)有2个零点; 当或时,y=f(x)有3个零点.………………………………16分 23.解: (1)时,,且,解得 时,,两式相减得: 即,, ,为等差数列,.……………………………4分 (2),. 当为偶数时,Tn=(b1+b3+…+bn–1)+(b2+b4+…+bn), 当为奇数时,Tn=(b1+b3+…+bn)+(b2+b4+…+bn–1) ………………………………10分 (3), 当n为奇数时,, ∴Cn+2 因此不存在满足条件的正整数N.……………………………………………………18分 ______________________________________________________________ 8 跃龙学堂您身边的中小学生辅导专家
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