江苏省常州市2015-2016学年高二上学期期末考试数学试卷.doc
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高二数学试题2016年1月
注意事项:
1.本试卷满分160分,考试用时120分钟.
本试卷部分试题设置文科及理科选做题,请考生根据选科类别答题.
2.答题时,填空题和解答题的答案写在答题卡上对应题目的区域内,答案写在试卷上无效.本卷考试结束后,上交答题卡.
3.本场考试不得使用计算器或带有计算功能的电子词典等.
参考公式:
锥体的体积公式:
,其中表示底面积,表示高.
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共计70分.不需要写出解答过程,请将答案填写在答题卡相应的位置上.
1.若点在直线上,则实数a的值为▲.
2.抛物线的焦点到准线的距离为▲.
3.命题“若是锐角,则”的逆否命题为▲.
4.若直线与直线垂直,则实数a的值为▲.
5.(文科做)当函数取到极值时,实数x的值为▲.
(理科做)已知空间向量,且,则实数的值为▲.
6.已知双曲线上一点M到一个焦点的距离等于2,则点M到另一个焦点的
距离为▲.
7.已知正四棱锥的高为4,侧棱长为,则该棱锥的体积为▲.
P
A
B
C
E
F
(第9题理科图)
8.若两条直线互相平行,
则这两条直线之间的距离为▲.
9.(文科做)已知曲线在点处的切线方程
是,则的值为▲.
(理科做)如图,在三棱锥中,已知平面,
,分别为棱的中点,
则异面直线与所成的角的余弦值为▲.
10.已知集合,.若“”是“”的充
分不必要条件,则实数a的取值范围为▲.
11.已知圆,圆,若过点的直线被圆所
截得的弦长为,则直线的方程为▲.
12.已知椭圆与定点,F是椭圆C的右焦点,点M是椭圆C上的动点,
则当取最小值时,点M的坐标为▲.
13.给出下列四个命题:
①“直线没有公共点”是“直线为异面直线”的必要不充分条件;
②“直线和平面所成的角相等”是“直线平行”的充分不必要条件;
③“直线l平行于两个相交平面”是“直线l与平面的交线平行”的充要条件;
④“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线”的必要不充分条件.
其中,所有真命题的序号是▲.
14.在平面直角坐标系中,设A,B,P是椭圆上的三个动点,且.
动点Q在线段AB上,且,则的取值范围为▲.
1、本题学生可能从特殊情况入手处理;
2、Q点的轨迹是重点,在处理完之后还涉及到两个二次曲线上的点的距离。
有相当难度。
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.请在答题纸指定区域内作答,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
已知函数,.:
,;
:
,.
(1)若为真命题,求的取值范围;
(2)若为真命题,求的取值范围;
(3)若“且”为假命题,“非”为假命题,求的取值范围.
16.(本小题满分14分)
在平面直角坐标系中,已知中心在原点,焦点在x轴上的双曲线C的离心率为,且双曲线C与斜率为2的直线有一个公共点.
(1)求双曲线C的方程及它的渐近线方程;
(2)求以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程.
17.(本小题满分15分)
如图,在三棱柱中,,分别为的中点,
A
B
C
A1
B1
C1
D
E
F
G
H
(第17题图)
平面平面.分别在上,且∥.求证:
(1);
(2)平面∥平面.
18.(本小题满分15分)
双曲线C多余
设是椭圆上的点,过作x轴的垂线l,垂足为N,P为直线l上一点,且,当点在椭圆上运动时,记点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)设椭圆的右焦点为F,上顶点为A,求的取值范围.
19.(本小题满分16分)
(文科做)已知函数,其中实数.
P
A
B
C
D
M
N
(第19题理科图)
(1)若,求函数在上的最值;
(2)若,讨论函数的单调性.
(理科做)如图,正四棱锥中,,
点为的交点,点为中点.
(1)求证:
;
(2)求所成角的正弦值;
(3)求所成的二面角的余弦值.
20.(本小题满分16分)
本题有A、B两道选做题,请各校根据本校学生情况选做.
组.在平面直角坐标系中,若直线与椭圆
相交于A,B两点,点M为AB的中点,直线OM的斜率为.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若,求:
①椭圆C的方程;②三角形OAB的面积.
组.在平面直角坐标系中,已知动圆M过定点,且与定圆
相切,记动圆圆心M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)已知P,Q是曲线C上的动点,且满足直线OP,OQ的斜率乘积等于.
设动点满足.
①若,,求证:
为定值;
②是否存在定值,使得点N也在曲线C上,若存在,求出的值以及满足的条
件;若不存在,说明理由.
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高二数学答案2016年1月
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共计70分.
1.2.13.“若,则不是锐角”4.5.(文科做)1(理科做)3
6.107.8.9.(文科做)9(理科做)10.
11.或12.13.①④14.
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.
15.(本小题满分14分)
[解:
(1)若为真命题,由题意,.………………………………2分
∵的图象为开口向上,对称轴为的抛物线,
∴当时,.………………………………4分
∴.∴.………………………………6分
(2)若为真命题,,,∴.……………………8分
∵,∴.………………………………10分
(3)若“且”为假命题,“非”为假命题,∴p为真命题,q为假命题.………12分
∴ ∴.………………………………14分
16.(本小题满分14分)
解:
(1)由题意,设双曲线的方程为.……………………………2分
∵点在双曲线上,∴.
∵双曲线C的离心率为,∴.∵,∴.
∴双曲线的方程为:
,…………………………………4分
其渐近线方程为:
.………………………………6分
(2)由题意,直线的方程为,即,………………………………8分
直线与坐标轴交点分别为.………………………………10分
∴以为焦点的抛物线的标准方程为;………………………………12分
A
B
C
A1
B1
C1
D
E
F
G
H
P
(第17题图)
以为焦点的抛物线的标准方程为.………………………………14分
17.(本小题满分15分)
证明:
(1)取的中点,连接.
∵,∴.……………2分
∵平面平面,
平面∩平面,
平面,
∴平面.…………………4分
∵平面,∴.……………6分
在三棱柱中,分别为的中点,
∴∥且,∴四边形是平行四边形,∴∥.
又∵,∴.…………………………………8分
(2)∵∥,,,∴∥平面.………10分
∵∥,∴.
又∵为的中点,∴∥.
∵∥,∴∥.
又∵,,
∴∥平面.……………………………13分
∵,,∩,且∥平面,∥平面,
∴平面∥平面.……………………………15分
18.(本小题满分15分)
(1)设,∵,
∴,………………………………3分
∵点M在椭圆上,∴,………………………………5分
即,整理得.∴曲线C的方程为.………………7分
(2)∵椭圆的右焦点F,上顶点A,………………………………9分
∴,
………………………………11分
设,即,∵,
∴,………………………………13分
∴,∴的取值范围为.………………………………15分
19.(本小题满分16分)
(文科做)
(1)∵,∴,……………………………2分
令,∴.列表如下,
1
2
3
0
1
↘
↗
…………………………………5分
从上表可知,∵,∴,函数在区间上的最大值是1,最小值为.……………………………7分
(2).……………………………9分
①当时,时,;当时,.
∴的单调增区间为,,单调减区间为.…………………………11分
②当时,∵.∴的单调增区间为.…………13分
③当时,时,;当时,
∴的单调增区间为,,单调减区间为.…………………………15分
综上,当时,的单调增区间为,,单调减区间为;
P
A
B
C
D
M
N
x
z
y
(第19题理科图)
当时,的单调增区间为;
当时,的单调增区间为,,单调减区间为.
………………………16分
(理科做)
(1)以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系
,设,则,各点的坐标为:
,,
.………………………2分
由题意得,则.
∴,∴∥,………4分
又∵,,
∴.……………………………………6分
(2)设平面PAD的法向量为,由题意得,
∵∴令,得到,
……………………………………8分
∴.……………………10分
∴所成角的正弦值为.……………………………………11分
(3)设平面PBC的法向量为,由题意得,
∵∴令,得到,…………………13分
∵平面PAD的法向量,平面PBC的法向量,
∴.………………………………15分
∴所成的二面角的余弦值为.………………………………16分
20.(本小题满分16分)
组.
(1)由消去y化简得.
当时,
设则,………………………………2分
弦AB的中点M的坐标为,
∴直线OM的斜率为,∴,………………………………4分
∴椭圆C的方程为,即∴,∴,
∴椭圆C的离心率.………………………………6分
(2)①∵,∴,∴.
而,
∴,………………………………8分
又∵,∴,且满足,…………………………10分
∴椭圆C的方程为.………………………………11分
②
,………………………………13分
原点O到AB的距离,………………………………15分
∴三角形OAB的面积为.………………………………16分
组.
(1)设圆M的半径为,
∵点在圆内,
∴,,
∴,
∴圆心M的轨迹为以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆.………………………………2分
∴,,∴,,∴,
∴曲线C的方程为.………………………………4分
(2)①设,∵∴.………6分
∵在曲线C上,∴.
又∵,∴.………………………………8分
于是
.
故为定值.………………………………10分
②假设存在定值,使得点N也在曲线上.
∵∴.
∵在曲线C上,∴.
又,∴.………………………………12分
于是
.………………………………14分
∵点N也在曲线C上,故为定值,
∴,
∴存在定值,实数满足的条件为.……………………………16分
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