任意角和弧度制知识点与同步练习.doc
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任意角和弧度制知识点与同步练习.doc
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1.1任意角和弧度制
学习过程
知识点1:
正角、负角、零角概念、终边相同的角
师:
为了区别起见,我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,如图2中的角为正角,它等于300与7500;我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,那么同学们猜猜看,负角怎么规定呢?
零角呢?
生:
按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成了一个零角。
终边相同的角相差360的整数倍。
例如:
7500=2×3600+300;-6900=-2×3600+300。
那么除了这些角之外,与300角终边相同的角还有:
3×360+300 -3×360+300
4×360+300 -4×360+300
……, ……,
由此,我们可以用S={β|β=k×3600+300,k∈Z}来表示所有与300角终边相同的角的集合。
师:
那好,对于任意一个角α,与它终边相同的角的集合应如何表示?
生:
S={β|β=α+k×3600,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和。
知识点2:
弧度制
弧度制—另一种度量角的单位制
它的单位是rad读作弧度
o
r
C
2rad
1rad
r
l=2r
o
A
A
B
定义:
长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
如图:
ÐAOB=1radÐAOC=2rad
周角=2prad360°=2prad∴180°=prad
∴1°=
1.正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是0
2.角a的弧度数的绝对值(为弧长,为半径)
3.用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但数量相同(都是0)
用角度制和弧度制来度量任一非零角,单位不同,量数也不同。
学习结论
1.正角、负角、零角概念
正角:
把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角
负角:
顺时针方向旋转所形成的角叫负角
零角:
如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成了一个零角。
终边相同的角的集合:
对于任意一个角α,与它终边相同的角的集合表示为;
S={β|β=α+k×,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和。
2.弧度制:
正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是0
角a的弧度数的绝对值(为弧长,为半径)
360°=2prad∴180°=prad
∴1°=
典型例题
例1、用集合表示:
(1)各象限的角组成的集合.
(2)终边落在轴右侧的角的集合.
解析:
(1)第一象限角:
{α|k360oπ<α<k360o+90o,k∈Z}
第二象限角:
{α|k360o+90o<α<k360o+180o,k∈Z}
第三象限角:
{α|k360o+180o<α<k360o+270o,k∈Z}
第四象限角:
{α|k360o+270o<α<k360o+360o,k∈Z}
(2)在~中,轴右侧的角可记为,同样把该范围“旋转”后,得,,故轴右侧角的集合为.
说明:
一个角按顺、逆时针旋转()后与原来角终边重合,同样一个“区间”内的角,按顺逆时针旋转()角后,所得“区间”仍与原区间重叠.
例2、在~间,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角
(1);
(2);(3).
解析:
(1)∵
∴与角终边相同的角是角,它是第三象限的角;
(2)∵
∴与终边相同的角是,它是第四象限的角;
(3)
所以与角终边相同的角是,它是第二象限角.
例3、利用弧度制证明扇形面积公式其中是扇形弧长,是圆的半径。
o
R
S
证明:
如图:
圆心角为1rad的扇形面积为:
l
弧长为的扇形圆心角为
∴
比较这与扇形面积公式要简单
基础练习一
1.1意角与弧度制
一、选择题
1.下列角中终边与330°相同的角是()
A.30°B.-30°C.630°D.-630°
2.终边与x轴重合的角α的集合是()
(A){α|α=k·360°,k∈Z} (B){α|α=k·180°+90°,k∈Z}
(C){α|α=k·180°,k∈Z} (D){α|α=k·90°,k∈Z}
3.在半径不等的两个圆内,1弧度的圆心角()
A.所对的弧长相等B.所对的弦长相等
C.所对的弧长等于各自的半径D.以上都不对
4.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为()
(A) (B)(C) (D)2
5.将分针拨快10分钟,则分针转过的弧度数是()
(A) (B)-(C) (D)-
*6.已知集合A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},下列四个命题:
①A=B=C②AC③CA④A∩C=B,其中正确的命题个数为()
(A)0个 (B)2个(C)3个 (D)4个
二.填空题
7.终边落在x轴负半轴的角α的集合为,
终边在一、三象限的角平分线上的角β的集合是.
8.-πrad化为角度应为.
9.若角α是第三象限角,则角的终边在,2α角的终边在.
10.已知扇形的半径为12cm,弧长为18cm,则扇形圆心角的弧度数为
三.解答题
11.写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合(不包括边界)
任意角的三角函数
知识点:
1.单位圆:
在直角坐标系中,我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆称为单位圆.
2.任意角的三角函数的定义
如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,则OP的长r=1,那么:
(1)叫做的正弦(sine),记做,即;
(2)叫做的余弦(cossine),记做,即;
(3)叫做的正切(tangent),记做,即.
说明:
(1)当时,的终边在轴上,终边上任意一点的横坐标都等于,所以无意义,除此情况外,对于确定的值,上述三个值都是唯一确定的实数.
(2)当是锐角时,此定义与初中定义相同;当不是锐角时,也能够找出三角函数,因为,既然有角,就必然有终边,终边就必然与单位圆有交点,从而就必然能够最终算出三角函数值.
(3)正弦,余弦,正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将这种函数统称为三角函数.
3.三角函数的定义域,函数值的符号
练习:
1.确定下列三角函数值的符号
(1);
(2);(3);(4).
2.求下列三角函数值:
(1);
(2).
3.已知角的终边上一点,且,求的值.
一、选择题:
1.已知sinα=,且α是第二象限角,那么tanα的值为 ( )
A. B. C. D.
2.已知α的终边经过P(),则α可能是 ( )
A. B. C. D.
3.若θ是第三象限角,且,则是 ( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
4.sin600o=________________.
5.若θ为第二象限角,则sinθcosθtan3的符号是_________________.
6.角α的终边上有一点P(m,5),且,则sinα+cosα=______.
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