上海市浦东新区2019届高三一模数学卷word版(附详细答案).docx
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浦东新区2018学年度第一学期教学质量检测
高三数学试卷2018.12
1.已知全集,集合,则______________.
2.抛物线的焦点坐标为_________.
3.不等式的解为____________.
4.已知复数满足(为虚数单位),则的模为_________.
5.若函数的图像恒过点,则函数的图像一定经过定点_______.
6.已知数列为等差数列,其前项和为.若,则________.12
7.在中,内角的对边是.若,,则_____________.
8.已知圆锥的体积为,母线与底面所成角为,则该圆锥的表面积为 .
9.已知二项式的展开式中,前三项的二项式系数之和为,则展开式中的第五项为________.
10.已知函数有三个不同的零点,则实数的取值范围为_____.
11.已知数列满足:
,且若则___________.1009
12.已知函数,若对任意的,都存在唯一的,满足,则实数的取值范围为_________.
解:
当时,.
当时,
(1)若,则在上是单调递增函数,所以.若满足题目要求,则,所以.又,所以.
(2)若,则,在上是单调递增函数,此时;在上是单调递减函数,此时.若满足题目要求,则,又,所以.
综上,.
二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,选对得5分,否则一律得零分.
13.“”是“一元二次方程有实数解”的()A
(A)充分非必要条件(B)充分必要条件
(C)必要非充分条件(D)非充分非必要条件
14.下列命题正确的是()D
(A)如果两条直线垂直于同一条直线,那么这两条直线平行
(B)如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线,那么这条直线垂直于这个平面
(C)如果一条直线平行于一个平面内的一条直线,那么这条直线平行于这个平面
(D)如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行
15.将位志愿者分配到进博会的个不同场馆服务,每个场馆至少人,不同的分配方案有()种.B
(A)(B)(C)(D)
16.已知点,为曲线上任意一点,则的取值范围为()A
(A)(B)(C)(D)
三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须写出必要的步骤.
17.(本小题满分14分,第1小题满分7分,第2小题满分7分
已知直三棱柱中,.
(1)求异面直线与所成角;
(2)求点到平面的距离.
解:
(1)在直三棱柱中,,
所以,.…………………………2分
因为,,所以,为异面直线与所成的角或补角.……4分
在中,因为,,
所以,异面直线与所成角为.…………………………7分
(2)设点到平面的距离为,
由
(1)得,…………………………9分
,…………………………11分
因为,,…………………………12分
所以,,解得,.
所以,点到平面的距离为.…………………………14分
或者用空间向量:
(1)设异面直线与所成角为,如图建系,则,,…………4分
因为,
所以,异面直线与所成角为.…………7分
(2)设平面的法向量为,则.
又,,……………9分
所以,由,得.…………12分
所以,点到平面的距离.…………………………14分
18.(本小题满分14分,第1小题满分7分,第2小题满分7分)
已知函数.
(1)若角的终边与单位圆交于点,求的值;
(2)当时,求的单调递增区间和值域.
解:
(1)∵角的终边与单位圆交于点,∴……2分
…4分
(2)
…………………………6分
…………………………8分
由得,
又,所以的单调递增区间是;………………10分
∵,∴…………………………12分
∴,的值域是.………………14分
19.(本小题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”,规则如下:
①3小时以内(含3小时)为健康时间,玩家在这段时间内获得的累积经验值(单位:
)与游玩时间(小时)满足关系式:
;
②3到5小时(含5小时)为疲劳时间,玩家在这段时间内获得的经验值为0(即累积经验值不变);
③超过5小时为不健康时间,累积经验值开始损失,损失的经验值与不健康时间成正比例关系,比例系数为.
(1)当时,写出累积经验值与游玩时间的函数关系式,并求出游玩6小时的累积经验值;
(2)该游戏厂商把累积经验值与游玩时间的比值称为“玩家愉悦指数”,记作;若,且该游戏厂商希望在健康时间内,这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24,求实数的取值范围.
解:
(1)(写对一段得1分,共3分)
时,(6分)
(2)时,(8分)
①(10分)
②(12分)
综上,(14分)
20.(本小题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分)
已知双曲线:
的左、右焦点分别是、,左、右两顶点分别是、,弦和所在直线分别平行于轴与轴,线段的延长线与线段相交于点P(如图).
(1)若是的一条渐近线的一个方向向量,试求的两渐近线的夹角;
(2)若,,,,试求双曲线的方程;
(3)在
(1)的条件下,且,点与双曲线的顶点不重合,直线和直线与直线分别相交于点和,试问:
以线段为直径的圆是否恒经过定点?
若是,请求出定点的坐标;若不是,试说明理由.
解:
(1)双曲线的渐近线方程为:
20题图
即,所以,…………2分
从而,,
所以.………………………………………………………………………………………..4分
(2)设,则由条件知:
,
,即.…………6分
所以,,…………………………………………………………………..…………7分
代入双曲线方程知:
……9分
…………………………………………………………………..10分
(3)因为,所以,由
(1)知,,所以的方程为:
,
令,所以,
,令,所以,
,令,所以,…………12分
故以为直径的圆的方程为:
,
即,
即,……………………………………………….14分
若以为直径的圆恒经过定点
于是
所以圆过轴上两个定点和……………………………………………………16分
21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)
已知平面直角坐标系,在轴的正半轴上,依次取点(),并在第一象限内的抛物线上依次取点(),使得都为等边三角形,其中为坐标原点,设第个三角形的边长为.
(1)求,并猜想(不要求证明);
(2)令,记为数列中落在区间内的项的个数,设数列的前项和为,试问是否存在实数,使得对任意恒成立?
若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由;
(3)已知数列满足:
数列满足:
求证:
.
解:
(1),(2分)
猜想(2分)
(2)(5分)
由
(6分)
(7分)
(9分)
对任意恒成立(10分).
(3)记,则
(12分)
记,则
(14分)
当时,可知:
(18分)
9
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