原创高三导数压轴题题型归纳.doc
- 文档编号:6147200
- 上传时间:2023-05-09
- 格式:DOC
- 页数:59
- 大小:3.43MB
原创高三导数压轴题题型归纳.doc
《原创高三导数压轴题题型归纳.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《原创高三导数压轴题题型归纳.doc(59页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
导数压轴题题型归纳
1.高考命题回顾
例1已知函数f(x)=ex-ln(x+m).(2013全国新课标Ⅱ卷)
(1)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;
(2)当m≤2时,证明f(x)>0.
例2已知函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2(2013全国新课标Ⅰ卷)
(Ⅰ)求a,b,c,d的值
(Ⅱ)若x≥-2时,,求k的取值范围。
例3已知函数满足(2012全国新课标)
(1)求的解析式及单调区间;
(2)若,求的最大值。
例4已知函数,曲线在点处的切线方程为。
(2011全国新课标)
(Ⅰ)求、的值;
(Ⅱ)如果当,且时,,求的取值范围。
例5设函数(2010全国新课标)
(1)若,求的单调区间;
(2)若当时,求的取值范围
例6已知函数f(x)=(x3+3x2+ax+b)e-x.(2009宁夏、海南)
(1)若a=b=-3,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在(-∞,α),(2,β)单调增加,在(α,2),(β,+∞)单调减少,证明β-α>6.
2.在解题中常用的有关结论※
(1)曲线在处的切线的斜率等于,且切线方程为
。
(2)若可导函数在处取得极值,则。
反之,不成立。
(3)对于可导函数,不等式的解集决定函数的递增(减)区间。
(4)函数在区间I上递增(减)的充要条件是:
恒成立(不恒为0).
(5)函数(非常量函数)在区间I上不单调等价于在区间I上有极值,则可等价转化为方程在区间I上有实根且为非二重根。
(若为二次函数且I=R,则有)。
(6)在区间I上无极值等价于在区间在上是单调函数,进而得到或在I上恒成立
(7)若,恒成立,则;若,恒成立,则
(8)若,使得,则;若,使得,则.
(9)设与的定义域的交集为D,若D恒成立,则有
.
(10)若对、,恒成立,则.
若对,,使得,则.
若对,,使得,则.
(11)已知在区间上的值域为A,,在区间上值域为B,
若对,,使得=成立,则。
(12)若三次函数f(x)有三个零点,则方程有两个不等实根,且极大值大于0,极小值小于0.
(13)证题中常用的不等式:
①②
1
x
x
+
≤
③④
⑤⑥
3.题型归纳
①导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用
例7(构造函数,最值定位)设函数(其中).
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)当时,求函数在上的最大值.
例8(分类讨论,区间划分)已知函数,为函数的导函数.
(1)设函数f(x)的图象与x轴交点为A,曲线y=f(x)在A点处的切线方程是,求的值;
(2)若函数,求函数的单调区间.
例9(切线)设函数.
(1)当时,求函数在区间上的最小值;
(2)当时,曲线在点处的切线为,与轴交于点求证:
.
例10(极值比较)已知函数其中
⑴当时,求曲线处的切线的斜率;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
⑵当时,求函数的单调区间与极值.
例11(零点存在性定理应用)已知函数
⑴若函数φ(x)=f(x)-,求函数φ(x)的单调区间;
⑵设直线l为函数f(x)的图象上一点A(x0,f(x0))处的切线,证明:
在区间(1,+∞)上存在唯一的x0,使得直线l与曲线y=g(x)相切.
例12(最值问题,两边分求)已知函数.
⑴当时,讨论的单调性;
⑵设当时,若对任意,存在,使,求实数取值范围.
例13(二阶导转换)已知函数
⑴若,求的极大值;
⑵若在定义域内单调递减,求满足此条件的实数k的取值范围.
例14(综合技巧)设函数
⑴讨论函数的单调性;
⑵若有两个极值点,记过点的直线斜率为,问:
是否存在,使得?
若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
②交点与根的分布
例15(切线交点)已知函数在点处的切线方程为.
⑴求函数的解析式;
⑵若对于区间上任意两个自变量的值都有,求实数的最小值;
⑶若过点可作曲线的三条切线,求实数的取值范围.
例16(根的个数)已知函数,函数是区间[-1,1]上的减函数.
(I)求的最大值;
(II)若上恒成立,求t的取值范围;
(Ⅲ)讨论关于x的方程的根的个数.
例17(综合应用)已知函数
⑴求f(x)在[0,1]上的极值;
⑵若对任意成立,求实数a的取值范围;
⑶若关于x的方程在[0,1]上恰有两个不同的实根,求实数b的取值范围.
③不等式证明
例18(变形构造法)已知函数,a为正常数.
⑴若,且a,求函数的单调增区间;
⑵在⑴中当时,函数的图象上任意不同的两点,,线段的中点为,记直线的斜率为,试证明:
.
⑶若,且对任意的,,都有,求a的取值范围.
例19(高次处理证明不等式、取对数技巧)已知函数.
(1)若对任意的恒成立,求实数的取值范围;
(2)当时,设函数,若,求证
例20(绝对值处理)已知函数的图象经过坐标原点,且在处取得极大值.
(I)求实数的取值范围;
(II)若方程恰好有两个不同的根,求的解析式;
(III)对于(II)中的函数,对任意,求证:
.
例21(等价变形)已知函数.
(Ⅰ)讨论函数在定义域内的极值点的个数;
(Ⅱ)若函数在处取得极值,对,恒成立,
求实数的取值范围;
(Ⅲ)当且时,试比较的大小.
例22(前后问联系法证明不等式)已知,直线与函数的图像都相切,且与函数的图像的切点的横坐标为1。
(I)求直线的方程及m的值;
(II)若,求函数的最大值。
(III)当时,求证:
例23(整体把握,贯穿全题)已知函数.
(1)试判断函数的单调性;
(2)设,求在上的最大值;
(3)试证明:
对任意,不等式都成立(其中是自然对数的底数).
例24(化简为繁,统一变量)设,函数.
(Ⅰ)若,求曲线在处的切线方程;
(Ⅱ)若无零点,求实数的取值范围;
(Ⅲ)若有两个相异零点,求证:
.
例25(导数与常见不等式综合)已知函数,其中为正常数.
(Ⅰ)求函数在上的最大值;
(Ⅱ)设数列满足:
,,
(1)求数列的通项公式;
(2)证明:
对任意的,;
(Ⅲ)证明:
.
例26(利用前几问结论证明立体不等式)已知函数f(x)=ex-ax(e为自然对数的底数).
(I)求函数f(x)的单调区间;
(II)如果对任意,都有不等式f(x)>x+x2成立,求实数a的取值范围;
(III)设,证明:
+++…+<
例27已知函数.若函数满足下列条件:
①;②对一切实数,不等式恒成立.
(Ⅰ)求函数的表达式;
(Ⅱ)若对,恒成立,求实数的取值范围;
(Ⅲ)求证:
.
例28(数学归纳法)已知函数,当时,函数取得极大值.
(1)求实数的值;
(2)已知结论:
若函数在区间内导数都存在,且,则存在,使得.试用这个结论证明:
若,函数,则对任意,都有;
(3)已知正数,满足,求证:
当,时,对任意大于,且互不相等的实数,都有.
④恒成立、存在性问题求参数范围
例29(传统讨论参数取值范围)已知函数,(为自然对数的底数)
(1)当时,求的单调区间;
(2)对任意的恒成立,求的最小值;
(3)若对任意给定的,
使得成立,求的取值范围。
例30已知函数
(1)求证:
函数上是增函数.
(2)若上恒成立,求实数a的取值范围.
(3)若函数上的值域是,求实数a的取值范围.
例31已知函数.
(1)若为的极值点,求实数的值;
(2)若在上为增函数,求实数的取值范围;
(3)当时,方程有实根,求实数的最大值.
例32(分离变量)已知函数(a为实常数).
(1)若,求证:
函数在(1,+∞)上是增函数;
(2)求函数在[1,e]上的最小值及相应的值;
(3)若存在,使得成立,求实数a的取值范围.
例33(多变量问题,分离变量)已知函数,.
(1)若函数依次在处取到极值.
①求的取值范围;②若,求的值.
(2)若存在实数,使对任意的,不等式恒成立.求正整数的最大值.
例34(分离变量综合应用)设函数.
⑴若函数在处与直线相切:
①求实数的值;②求函数在上的最大值;
⑵当时,若不等式≥对所有的都成立,求实数的取值范围.
例35(先猜后证技巧)已知函数
(Ⅰ)求函数f(x)的定义域
(Ⅱ)确定函数f(x)在定义域上的单调性,并证明你的结论.
(Ⅲ)若x>0时恒成立,求正整数k的最大值.
例36(创新题型)设函数f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)-g(x).
(Ⅰ)若x=0是F(x)的极值点,求a的值;
(Ⅱ)当a=1时,设P(x1,f(x1)),Q(x2,g(x2))(x1>0,x2>0),且PQ//x轴,求P、Q两点间的最短距离;
(Ⅲ)若x≥0时,函数y=F(x)的图象恒在y=F(-x)的图象上方,求实数a的取值范围.
例37(创新题型)已知函数=,.
(Ⅰ)求函数在区间上的值域;
(Ⅱ)是否存在实数,对任意给定的,在区间上都存在两个不同的,使得成立.若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)给出如下定义:
对于函数图象上任意不同的两点,如果对于函数图象上的点(其中总能使得成立,则称函数具备性质“”,试判断函数是不是具备性质“”,并说明理由.
例38(图像分析,综合应用)已知函数,在区间上有最大值4,最小值1,设.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)不等式在上恒成立,求实数的范围;
(Ⅲ)方程有三个不同的实数解,求实数的范围.
⑤导数与数列
例39(创新型问题)设函数,,是的一个极大值点.
⑴若,求的取值范围;
⑵当是给定的实常数,设是的3个极值点,问是否存在实数,可找到,使得的某种排列(其中=)依次成等差数列?
若存在,求所有的及相应的;若不存在,说明理由.
例40(数列求和,导数结合)给定函数
(1)试求函数的单调减区间;
(2)已知各项均为负的数列满足,求证:
;
(3)设,为数列的前项和,求证:
.
⑥导数与曲线新题型
例41(形数转换)已知函数,.
(1)若,函数在其定义域是增函数,求b的取值范围;
(2)在
(1)的结论下,设函数的最小值;
(3)设函数的图象C1与函数的图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点R作轴的垂线分别交C1、C2于点、,问是否存在点R,使C1在处的切线与C2在处的切线平行?
若存在,求出R的横坐标;若不存在,请说明理由.
例42(全综合应用)已知函数.
(1)是否存在点,使得函数的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数的图像上?
若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;
(2)定义,其中,求;
(3)在
(2)的条件下,令,若不等式对且恒成立,求实数的取值范围.
⑦导数与三角函数综合
例43(换元替代,消除三角)设函数(),其中.
(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)当时,求函数的极大值和极小值;
(Ⅲ)当,时,若不等式对任意的恒成立,求的值。
例44(新题型,第7次晚课练习)设函数.
(1)讨论的单调性
(2)设,求的取值范围.
⑧创新问题积累
例45已知函数.
I、求的极值.
II、求证的图象是中心对称图形.
III、设的定义域为,是否存在.当时,的取值范围是?
若存在,求实数、的值;若不存在,说明理由
例46已知函数在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减.
(1)求a的值;
(2)设,若方程的解集恰好有3个元素,求的取值范围;
(3)在
(2)的条件下,是否存在实数对,使为偶函数?
如存在,求出如不存在,说明理由.
导数压轴题题型归纳参考答案
例1
(1)解 f(x)=ex-ln(x+m)⇒f′(x)=ex-⇒f′(0)=e0-=0⇒m=1,
定义域为{x|x>-1},
f′(x)=ex-=,
显然f(x)在(-1,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增.
(2)证明 g(x)=ex-ln(x+2),
则g′(x)=ex-(x>-2).
h(x)=g′(x)=ex-(x>-2)⇒h′(x)=ex+>0,
所以h(x)是增函数,h(x)=0至多只有一个实数根,
又g′(-)=-<0,g′(0)=1->0,
所以h(x)=g′(x)=0的唯一实根在区间内,
设g′(x)=0的根为t,则有g′(t)=et-=0,所以,et=⇒t+2=e-t,
当x∈(-2,t)时,g′(x) 当x∈(t,+∞)时,g′(x)>g′(t)=0,g(x)单调递增; 所以g(x)min=g(t)=et-ln(t+2)=+t=>0, 当m≤2时,有ln(x+m)≤ln(x+2), 所以f(x)=ex-ln(x+m)≥ex-ln(x+2)=g(x)≥g(x)min>0. 例2(Ⅰ)由已知得, 而=,=,∴=4,=2,=2,=2;……4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,,, 设函数==(), ==, 有题设可得≥0,即, 令=0得,=,=-2, (1)若,则-2<≤0,∴当时,<0,当时,>0,即在单调递减,在单调递增,故在=取最小值,而==≥0, ∴当≥-2时,≥0,即≤恒成立, (2)若,则=, ∴当≥-2时,≥0,∴在(-2,+∞)单调递增,而=0, ∴当≥-2时,≥0,即≤恒成立, (3)若,则==<0, ∴当≥-2时,≤不可能恒成立, 综上所述,的取值范围为[1,]. 例3 (1) 令得: 得: 在上单调递增 得: 的解析式为 且单调递增区间为,单调递减区间为 (2)得 ①当时,在上单调递增 时,与矛盾 ②当时, 得: 当时, 令;则 当时, 当时,的最大值为 例4解(Ⅰ) 由于直线的斜率为,且过点,故即 解得,。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以 。 考虑函数,则。 (i)设,由知,当时,,h(x)递减。 而故当时,,可得; 当x(1,+)时,h(x)<0,可得h(x)>0 从而当x>0,且x1时,f(x)-(+)>0,即f(x)>+. (ii)设0 (1)=0,故当x(1,)时,h(x)>0,可得h(x)<0,与题设矛盾。 (iii)设k1.此时,(x)>0,而h (1)=0,故当x(1,+)时,h(x)>0,可得h(x)<0,与题设矛盾。 综合得,k的取值范围为(-,0] 例5 (1)时,,. 当时,;当时,.故在单调减少,在单调增加 (II) 由(I)知,当且仅当时等号成立.故 , 从而当,即时,,而, 于是当时,. 由可得.从而当时, , 故当时,,而,于是当时,. 综合得的取值范围为. 例6解: (1)当a=b=-3时,f(x)=(x3+3x2-3x-3)e-x,故 f′(x)=-(x3+3x2-3x-3)e-x+(3x2+6x-3)e-x =-e-x(x3-9x) =-x(x-3)(x+3)e-x. 当x<-3或0<x<3时,f′(x)>0; 当-3<x<0或x>3时,f′(x)<0. 从而f(x)在(-∞,-3),(0,3)单调增加,在(-3,0),(3,+∞)单调减少. (2)f′(x)=-(x3+3x2+ax+b)e-x+(3x2+6x+a)e-x=-e-x[x3+(a-6)x+b-a]. 由条件得f′ (2)=0,即23+2(a-6)+b-a=0,故b=4-a. 从而f′(x)=-e-x[x3+(a-6)x+4-2a]. 因为f′(α)=f′(β)=0, 所以x3+(a-6)x+4-2a=(x-2)(x-α)(x-β) =(x-2)[x2-(α+β)x+αβ]. 将右边展开,与左边比较系数,得α+β=-2,αβ=a-2. 故. 又(β-2)(α-2)<0,即αβ-2(α+β)+4<0.由此可得a<-6. 于是β-α>6. 例7(Ⅰ)当时, 令,得, 当变化时,的变化如下表: 极大值 极小值 右表可知,函数的递减区间为,递增区间为,. (Ⅱ), 令,得,, 令,则,所以在上递增, 所以,从而,所以 所以当时,;当时,; 所以 令,则, 令,则 所以在上递减,而 所以存在使得,且当时,, 当时,, 所以在上单调递增,在上单调递减. 因为,, 所以在上恒成立,当且仅当时取得“”. 综上,函数在上的最大值. 例8解: (Ⅰ)∵, ∴ ∵在处切线方程为, ∴, ∴,.(各1分) (Ⅱ). ①当时,, 0 - 0 + ↘ 极小值 ↗ 的单调递增区间为,单调递减区间为 ②当时,令,得或 (ⅰ)当,即时, 0 - 0 + 0 - ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 的单调递增区间为,单调递减区间为,; (ⅱ)当,即时,, 故在单调递减; (ⅲ)当,即时, 0 - 0 + 0 - ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 在上单调递增,在,上单调递减 综上所述,当时,的单调递增区间为,单调递减区间为; 当时,的单调递增区间为,单调递减区间为 当,的单调递减区间为 当时,的单调递增区间为,单调递减区间为、 例9解: (1)时,,由,解得. 的变化情况如下表: 0 1 - 0 + 0 ↘ 极小值 ↗ 0 所以当时,有最小值. (2)证明: 曲线在点处的切线斜率 曲线在点P处的切线方程为. 令,得,∴ ∵,∴,即. 又∵,∴ 所以. 例10⑴ ⑵w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 以下分两种情况讨论: ①>,则<.当变化时,的变化情况如下表: + 0 — 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ②<,则>,当变化时,的变化情况如下表: + 0 — 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 例11解: (Ⅰ),. ∵且,∴∴函数的单调递增区间为. (Ⅱ)∵,∴, ∴切线的方程为,即,① 设直线与曲线相切于点, ∵,∴,∴,∴. ∴直线也为,即,② 由①②得,∴. 下证: 在区间(1,+)上存在且唯一. 由(Ⅰ)可知,在区间上递增. 又,, 结合零点存在性定理,说明方程必在区间上有唯一的根,这个根就是所求的唯一,故结论成立. 例12⑴, 令 ①当时,,当,函数单调递减;当,函数单调递增. ②当时,由,即,解得. 当时,恒成立,此时,函数单调递减; 当时,,时,函数单调递减; 时,,函数单调递增; 时,,函数单调递减. 当时,当,函数单调递减; 当,函数单调递增. 综上所述: 当时,函数在单调递减,单调递增; 当时,恒成立,此时,函数在单调递减; 当时,函数在递减,递增,递减. ⑵当时,在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,所以对任意, 有, 又已知存在,使,所以,,(※) 又 当时,与(※)矛盾; 当时,也与(※)矛盾; 当时,. 综上,实数的取值范围是. 例13解: ⑴定义域为 令由 由 即上单调递增,在上单调递减 时,F(x)取得极大值 ⑵的定义域为(0,+∞), 由G(x)在定义域内单调递减知: 在(0,+∞)内恒成立 令,则由 ∵当时为增函数 当时,为减函数 ∴当x=e时,H(x)取最大值 故只需恒成立, 又当时,只有一点x=e使得不影响其单调性 例14解: ⑴的定义域为 令 ①当故上单调递增. ②当的两根都小于0,在上,,故上单调递增. ③当的两根为, 当时,;当时,;当时,,故分别在上单调递增,在上单调递减. ⑵由⑴知,若有两个极值点,则只能是情况③,故. 因为, 所以 又由⑴知,,于是 若存在,使得则.即. 亦即 再由⑴知,函数在上单调递增,而,所以这与式矛盾.故不存在,使得 例15解: ⑴. 根据题意,得即解得 所以. ⑵令,即.得. 1 2 + + 增 极大值 减 极小值 增 2 因为,, 所以当时,,. 则对于区间上任意两个自变量的值,都有 ,所以. 所以的最小值为4. ⑶因为点不在曲线上,所以可设切点为. 则. 因为,所以切线的斜率为. 则=, 即. 因为过点可作曲线的三条切线, 所以方程有三个不同的实数解. 所以函数有三个不同的零点. 则.令,则或. 0 2 + + 增 极大值 减 极小值 增 则,即,解得. 例16解: (I),上单调递减, 在[-1,1]上恒成立,,故的最大值为 (II)由题意 (其中),恒成立,令, 则,恒成立, (Ⅲ)由 令 当[来源上为增函数; 当时,为减函数; 当[来源: 学*科*网] 而方程无解; 当时,方程有一个根; 当时,方程有两个根. 例17解: ⑴, 令(舍去) 单调递增;当递减. 上的极大值. ⑵由得 设,, 依题意知上恒成立, , , 上单增,要使不等式①成立, 当且仅当 ⑶由 令, 当上递增; 上递减, 而, 恰有两个不同实根等价于 例18解: ⑴ ∵a,令得或,∴函数的单调增区间为. ⑵证明: 当时 ∴,∴,又 不妨设,要比较与的大小,即比较与的大小, 又∵,∴即比较与的大小. 令,则, ∴在上位增函数. 又,∴,∴,即 ⑶∵,∴ 由题意得在区间上是减函数. 当,∴ 由在恒成立. 设,,则 ∴在上为增函数,∴. 当,∴ 由在恒成立 设,为增函数,
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 原创 导数 压轴 题型 归纳