中考数学压轴题函数直角三角形问题一.doc
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中考数学压轴题函数直角三角形问题一.doc
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2012中考数学压轴题函数直角三角形问题
(一)
例1
如图1,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C(0,-3),对称轴是直线x=1,直线BC与抛物线的对称轴交于点D.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)求直线BC的函数表达式;
(3)点E为y轴上一动点,CE的垂直平分线交CE于点F,交抛物线于P、Q两点,且点P在第三象限.
①当线段时,求tan∠CED的值;
②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时,请直接写出点P的坐标.
温馨提示:
考生可以根据第(3)问的题意,在图中补出图形,以便作答.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11沈阳25”,拖动点E或F在y轴上运动,可以体验到,△CDE有两次机会成为等腰直角三角形.双击按钮“PQ=3”可以准确显示时的位置.
思路点拨
1.第
(1)、
(2)题用待定系数法求解析式,它们的结果直接影响后续的解题.
2.第(3)题的关键是求点E的坐标,反复用到数形结合,注意y轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系.
3.根据C、D的坐标,可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形,这样写点E的坐标就简单了.
满分解答
(1)设抛物线的函数表达式为,代入点C(0,-3),得.所以抛物线的函数表达式为.
(2)由,知A(-1,0),B(3,0).设直线BC的函数表达式为,代入点B(3,0)和点C(0,-3),得解得,.所以直线BC的函数表达式为.
(3)①因为AB=4,所以.因为P、Q关于直线x=1对称,所以点P的横坐标为.于是得到点P的坐标为,点F的坐标为.所以,.
进而得到,点E的坐标为.
直线BC:
与抛物线的对称轴x=1的交点D的坐标为(1,-2).
过点D作DH⊥y轴,垂足为H.
在Rt△EDH中,DH=1,,所以tan∠CED.
②,.
图2图3图4
考点伸展
第(3)题②求点P的坐标的步骤是:
如图3,图4,先分两种情况求出等腰直角三角形CDE的顶点E的坐标,再求出CE的中点F的坐标,把点F的纵坐标代入抛物线的解析式,解得的x的较小的一个值就是点P的横坐标.
例2
设直线l1:
y=k1x+b1与l2:
y=k2x+b2,若l1⊥l2,垂足为H,则称直线l1与l2是点H的直角线.
(1)已知直线①;②;③;④和点C(0,2),则直线_______和_______是点C的直角线(填序号即可);
(2)如图,在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的顶点A(3,0)、B(2,7)、C(0,7),P为线段OC上一点,设过B、P两点的直线为l1,过A、P两点的直线为l2,若l1与l2是点P的直角线,求直线l1与l2的解析式.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11浙江23”,拖动点P在OC上运动,可以体验到,∠APB有两个时刻可以成为直角,此时△BCP∽△POA.
答案
(1)直线①和③是点C的直角线.
(2)当∠APB=90°时,△BCP∽△POA.那么,即.解得OP=6或OP=1.
如图2,当OP=6时,l1:
,l2:
y=-2x+6.
如图3,当OP=1时,l1:
y=3x+1,l2:
.
图2图3
5
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