高考数学模拟试题及答案.docx
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高考数学模拟试题及答案
高考数学模拟试题
(满分150分,时间150分钟)
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.
1.
已知f(x)=
1
,则函数
f[f(x)]的定义域是(
).
x
1
A.xx
1
B.xx
2C.
xx
1,且x
2
D.xx
1,或x2
2.
已知全集
U=R,则正确表示集合
M
{1,0,1}和N
x|x2
x0关系的图是
(
)
3.
已知函数
yf(x)的图象如图,则以下四个函数
yf(x),y
f(x),yf(x),与
y
f(x)
的图象分别和下面四个图的正确对应关系是
(
)
①
A.①②④③
B.①②③④
C.④③②①
D.④③①②
4.已知等比数列{an},首项为a1,公比为q,则{an}为递增数列的充要条件是
(
)
A.q
1
B.a1
0且q
0
C.a1
0且q
1
D.a1
0,q
1或a1
0,0
q1
5.设等差数列{
Sn
2n
,则lim
an
=
an},{bn}的前n项的和分别为Sn与Tn,若
Tn
3n
1
n
bn
(
)
A.1
2
6
4
B.
C.
D.
3
3
9
6.已知α、β是平面,m、n是直线,则下列命题不正确
的是
(
)
...
A.若m∥n,m⊥α,则n⊥α
B.若m⊥α,m⊥β,则α∥β
C.若m⊥α,m∥n,nβ,则α⊥β
D.若m∥α,α∩β,=n则m∥n
7.已知a,b是任意两个向量,下列条件:
①
ab;
②|a|
|b|;
③a与b的方向相反;
④a
0或b
0;⑤a与b都是单位向量;其中为向量
a与b共线的充分不必要条件
的个数是
(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
8.若不等式
x
a
0
的解集是区间[-2,3),那么不等式
x2
的解集是区间
(
)
b
x
+ax-b<0
②
A.(-1,3)
B.(-∞,-1)∪(3,+∞)
C.(-2,-1)
D.(-∞,-2)∪(-1,+∞)
9.已知m∈R,直线l:
(2m-1)x+(m+1)y-3=0,l
:
mx+2y-2=0.则
(
)
1
2
A.m=2时,l1∥l2
B.m≠2时,l1与l2相交
C.m=2时,l1⊥l2
D.对任意m∈R,l1不垂直于l2
10.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当
x
0时,f(x)=x
2,若对任意x[t,t
2]
,不
等式f(x+t)
2f(x)恒成立,则实数
t的取值范围是。
A.[2,
)
B.[2,+)
C.[0,2]
D.[
2,1
][
2,3]
2
y
2
11.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F恰好是双曲线x2
2
=1的右焦点,且两曲线的公共
a
b
点的连线过F,则该双曲线的离心率为
(
)
A.
2
B.
2-1
C.
5
1
D.
2
1
2
12.若
1满足2x+
2
x=5,
2
满足2x+2log2
(x-1)=5,
则
1+
x
2=(
)
x
x
x
A.5
B.3
C.7
D.4
2
2
二、填空题.本大题共4小题,每小题5分,共
20分,请将答案填在答题纸上
13.已知cos(
4
)=3,
2
3
.则cos(2
)=
.
5
2
4
14.方程x1x2
x3
x4
6的非负整数解有
个。
4
x
2
10x
5
1
15.函数y
(x
)的值域为
。
2
2
4x
12x
6
16.给出下列命题
(1)f(x)是周期函数
T为其周期,则
kT(k为整数,k不为0)也为f(x)的周期。
(2){an}为等比数列,
sn为其前n项和。
则sn,s2n
sn,
s3n
s2n也是等比数列。
(3)有两个面互相平行,其余各面是平行四边形的凸多面体是棱柱。
(4)两直线
A1x
B1yC1
0,
A2xB2yC20平行的充要条件是
AB
2
AB
0且
BC2
B
C1
0。
1
2
1
1
2
(5)函数f(a+x)与f(a-x)的图象关于
x=0对称。
其中真命题的序号是
。
③
三、解答题:
本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
π
3π
12
,sin(α+β)=
3
17.(本题满分
10分)已知
<β<α<
,cos(αβ)=
13
5
,求sin2α的
2
4
值.
18.(本题满分
12分)在一个盒子中,放有标号分别为
1,2,3的三张卡片,现从这个
盒子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为
x、
y
,记
x2yx
.
...
(1)求随机变量的最大值,并求事件“取得最大值”的概率;
(2)求随机变量的分布列和数学期望.
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)x3ax2x1,aR.
(1)讨论函数f(x)的单调区间;
(2)设函数f(x)在区间2,1内是减函数,求a的取值范围.
33
20.(本小题满分12分)如图,四棱锥SABCD中,底面ABCD为矩形,SD底
面ABCD,AD2,DCSD2,点M在侧棱SC上,
o
∠ABM=60。
(1)证明:
M是侧棱SC的中点;
(2)求二面角SAMB的大小。
x2
y2
3
21.(本小题满分
12分)已知椭圆C:
a2
b2
1(ab0)的离心率为
,过右焦
3
④
点F的直线l与C相交于A、B两点,当l的斜率为1时,坐标原点O到l的距离为
2
2
(1)求a,b的值;
(2)C上是否存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有
OP=OA+OB成立?
若存在,求出所有的P的坐标与l的方程;若不存在,说明理由。
22.(本小题满分12分)设函数f(x)xxlnx.数列an满足0a11,
an1f(an).
(1)证明:
函数f(x)在区间(0,1)上是增函数;
(2)证明:
anan11;
(3)设b
(a1,1),整数k≥a1b.证明:
ak1b.
a1lnb
数学答案
一、选择题:
CBAD..BDCADADC
二、填空题13.
312
14.84
15.(,1](1,)
16.(5)
50
2
三、解答题:
本大题共
6小题,共
70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
π
α
3π
π
3π
2
4
3π
β<α
πα+β
17解:
由于
,可得到
π
3π
,
2
4
β
2
2
4
πα3π
2
3π
4
π
π
π
β
αβ
π
4
2
4
40<αβ.5分
αβ>0
4
βα
4
5
∴cos(αβ)
,sin(αβ).
5
13
又2α=(α+β)+(α-β)
⑤
∴sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)
(3)12(4)
5
56.
10分
5
13
5
13
65
18.(本题满分
12分)
(1)
x、y可能的取值为
1、2、3,
x21,yx2,
3,且当x1,y
3
或x
3,y
1
时,
3.因此,随机变量
的最大值为3.
有放回抽两张卡片的所有情况有
3
39
种,
P(
2
.
6分
3)
9
(2)
的所有取值为0,1,2,3.
0时,只有x
2,y
2这一种情况,
1时,有x
1,y
1或x
2,y
1或x
2,y
3或x
3,y
3四种情况,
2时,有x
1,y
2或x
3,y
2两种情况.
P(
0)
1
1)
4
2)
2
,P(
,P(
.
9
9
9
则随机变量
的分布列为:
0
1
2
3
P
1
4
2
2
9
9
9
9
因此,数学期望
E
0
1
1
4
2
2
3
2
14
.12分
9
9
9
9
9
19.解:
(1)f(x)
x3
ax2
x
1求导:
f(x)3x2
2ax
1
当a2
≤3时,
≤0
,f
(x)≥0,f(x)在R上递增
当a2
3,f
(x)
0求得两根为x
a
a2
3
3
即f(x)在
,a
a2
3
递增,
a
a2
3,a
a2
3递减,
3
3
3
a
a2
3,
递增6分
3
⑥
a
a2
3≤
2
(2)
3
3,且a2
3解得:
a2
12分
a
a2
3≥
1
3
3
20.(本小题满分12分).解法一:
(1)作ME//CD交于点E,则ME//AB,ME平面SAD
连接AE,则四边形ABME为直角梯形
作MF
AB,垂足为F,则AFME为矩形
设ME
x,则SE
x,AE
ED2
AD2
2
2
2
x
MF
AE
2
2
2,FB
2
x
x
由MF
FB
tan60,得
2-x
2
2
32x
解得:
x1
即ME
1,从而ME
1DC
2
所以M为侧棱SC的中点6分
(II)MB
BC2
MC2
2,又ABM
60,AB
2,所以ABM为等边三角形
又由(I)知M为SC中点
SM
2,SA
6,AM
2,故SA2
SM2
AM2,
SMA
90
取AM中点G,连接BG,取SA中点H,连接GH,则BG
AM,GHAM
由此知为
BGH二面角S-AM-B
的平面角
连接BH,在BGH中,
BG
3AM
3,GH
1SM
2,BH
AB2
AH222
2
2
2
2
所以cos
BGH
BG2GH2
BH2
6
2BGGH
3
二面角S-AM-B的大小为arccos
6
3
12分
解法二:
以D为坐标原点,射线DA为x轴正半轴,建立如图所示的直角坐标系D-xyz
⑦
设A2,0,0
则B
2,2,0
S
0,0,2
uuur
uuuur
0),则
(I)设SM
MC(
M0,2
2
uuur
2,
2,
2
MB
1
1
1
1
uuur
uuur
uuur
又AB(0,2,0),MB,AB60
uuuruuur
uuur
uuur
故MB,AB
MB
ABcos60
2
2
2
4=
2
+
2
即
2+
1
1
1
uuur
uuuur
解得
1,即SM
MC
所以M为侧棱SC的中点。
(II)由M0,1,1,A
2
1
1
2,0,0,得AM的中点G
,,
2
2
2
uuur
3,3,
1
uuur
0,
uuuur
2,1,1
又GB
MS
1,1,AM
2
2
2
uuur
uuuur
uuur
uuuur
GB
AM
0,MS
AM
0
uuur
uuuuruuur
uuuur
所以GB
AM,MS
AM
uuur
uuur
因此
GB,MS等于三角形S-AM-B
的平面角
uuuruuur
uuur
uuur
6
cos
GB
MS
GB,MS
uuur
uuur
3
GB
MS
21(本小题满分
12分)
解:
(I)设F(c,0),直线l:
x
y
c
0,由坐标原点
2
O到l的距离为
2
则|0
0c|
2,解得c
1.又e
c
3,a
3,b2.4分
2
2
a
3
(II)由(I)知椭圆的方程为
C:
x2
y2
1.设A(x1,y1)、B(x2,y2)
3
2
由题意知l
的斜率为一定不为
0,故不妨设
l:
x
my1
⑧
代入椭圆的方程中整理得
(2m2
3)y2
4my
4
0,显然
0。
由韦达定理有:
y1
y2
4m
y1y2
4
........①
2m2
2m2
3
3
uuur
uuur
uuur
.假设存在点P,使OP
OA
OB成立,则其充要条件为:
点P的坐标为(x1
x2,y1
y2),点P在椭圆上,即
(x1
x2)2
(y1
y2)2
1。
3
2
整理得
2x12
3y1
2
2x2
2
3y2
2
4x1x26y1y2
6
。
又A、B在椭圆上,即
2x12
3y1
2
6,2x2
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