中考热点题之辅助圆问题.docx
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中考热点题之辅助圆问题
辅助圆问题
1.已知点A、B、C均在半径为R的⊙O上.
问题探究
(1)如图①,当∠A=45°,R=1时,求∠BOC的度数和BC的长度;
(2)如图②,当∠A为锐角时,求证:
BC=2R·sinA;
问题解决
(3)若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN上滑动,且点B、C均与点A不重合.如图③,当∠MAN=60°,BC=2时,分别作BP⊥AM,CP⊥AN,交点为P,试着探究线段BC在整个滑动过程中,P、A两点之间的距离是否为定值,若是,求出PA的长度;若不是,请说明理由.
第1题图
(1)解:
∵点A、B、C均在⊙O上,
∴∠BOC=2∠A=2×45°=90°,
又∵OB=OC=1,
∴BC=;
(2)证明:
如解图①,作直径CE,连接EB,
则∠E=∠A,CE=2R,
∴∠EBC=90°,
∴sinA=sinE==,
∴BC=2R·sinA;
图①图②
第1题解图
(3)解:
如解图②,连接AP,取AP的中点K,连接BK、CK,
在Rt△APC中,CK=AP=AK=PK,
同理可得:
BK=AK=PK,
∴CK=BK=AK=PK,
∴点A、B、P、C都在以K为圆心,以AK长为半径的⊙K上,
由
(2)可知sin60°=,
∴AP==为定值,
故线段BC在整个滑动过程中,P、A两点之间的距离是定值,PA的长度为.
2.问题探究
(1)如图①,已知四边形ABCD中,AB=a,BC=b,∠B=∠D=90°,求:
①对角线BD长度的最大值;
②四边形ABCD的最大面积;
(用含有a,b的代数式表示)
问题解决
(2)如图②,四边形ABCD是某市规划用地示意图,经测量得到如下数据:
AB=20cm,BC=30cm,∠B=120°,∠A+∠C=195°,请你用所学到的知识探索出它的最大面积,并说明理由.(结果保留根号)
第2题图
解:
(1)①∵∠B=∠D=90°,
∴四边形ABCD是圆内接四边形,AC为圆的直径,
∴BD的最大值为AC,此时BD=AC=;
②连接AC,则AC2=AB2+BC2=a2+b2=AD2+CD2,
S△ACD=AD·CD≤(AD2+CD2)=(a2+b2).
又∵S△ABC=AB·BC=ab,
∴四边形ABCD的最大面积为(a2+b2)+ab=(a+b)2;
(2)如解图,连接AC,延长CB,过点A作AE⊥CB交CB的延长线于点E,∵AB=20,∠ABE=180°-∠ABC=60°,
∴在Rt△ABE中,AE=AB·sin60°=10,EB=AB·cos60°=10,S△ABC=AE·BC=150.
∵BC=30,∴EC=EB+BC=40,AC==10,
∵∠ABC=120°,∠BAD+∠BCD=195°,∴∠D=45°,
则△ACD中,D为定角,对边AC为定边,
∴点A、C、D在同一个圆上,作AC、CD中垂线,交点即为圆心O,当点D与AC的距离最大时,△ACD的面积最大,AC的中垂线交⊙O于点D′,交AC于点F,FD′即为所求最大值,
第2题解图
连接OA、OC,∠AOC=2∠AD′C=90°,OA=OC,
∴△AOF为等腰直角三角形,
AO=OD′=·()=5,OF=AF==5,
D′F=OD′+OF=5+5,
S△ACD′=AC·D′F=×10×(5+5)=475+475,
∴S最大=S△ABC+S△ACD′=150+475+475.
3.问题探究
(1)如图①,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,作高AD,则△ABC的面积为________;
(2)如图②,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点P在对角线AC上,且CP=CB,求△PBC的面积;
问题解决
(3)如图③,△ABC是一块商业用地,其中∠B=90°,AB=30米,BC=40米,某开发商现准备再征一块地,把△ABC扩充为四边形ABCD,使∠D=90°,是否存在面积最大的四边形ABCD?
若存在,求出四边形ABCD的最大面积;若不存在,请说明理由.
第3题图
解:
(1)12;
【解法提示】如解图①,在Rt△ABD中,AB=5,BD=BC=3,
∴AD===4,
∴S△ABC=BC·AD=×6×4=12.
图①图②
第3题解图
(2)如解图②,过点P作PE⊥BC,垂足为E,则PE∥AB,
∴△CPE∽△CAB,
∴=,
在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,
∴AC===5,
∴=,
∴PE=,
∴S△PBC=BC·PE=×4×=;
(3)存在.
如解图③,作△ABC的外接圆⊙O,
第3题解图③
∵∠ABC=90°,
∴AC为⊙O的直径,
又∵∠ADC=90°,
∴点D在⊙O上,
在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=30,
BC=40,
∴AC===50,
连接OD,则OD=AC=25,
过点D作DN⊥AC,垂足为N,
∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD,
而S△ABC=AB·BC=×30×40=600,
∴只要S△ACD最大,那么S四边形ABCD最大,
又∵S△ACD=AC·DN,
而DN≤DO=25,
∴当DN=25时,S△ACD最大,即×50×25=625,
∴四边形ABCD的最大面积为:
600+625=1225(平方米).
4.问题探究
(1)如图①,△ABC为等腰三角形,AB=AC=a,∠BAC=120°,则△ABC的面积为________(用含a的代数式表示);
(2)如图②,△AOD与△BOC为两个等腰直角三角形,两个直角顶点O重合,OA=OB=OC=OD=a.若△AOD与△BOC不重合,连接AB、CD,求四边形ABCD面积的最大值;
问题解决
(3)如图③,点O为电视台所在位置,现要在距离电视台5km的地方修建四个电视信号中转站,分别记为A、B、C、D.若要使OB与OC夹角为150°,OA与OD夹角为90°(∠AOD与∠BOC不重合且点O、A、B、C、D在同一平面内),则符合题意的四个中转站所围成的四边形面积有无最大值?
如果有,求出最大值;如果没有,请说明理由.
第4题图
解:
(1)a2;
【解法提示】如解图①,过点B作AC的垂线交CA的延长线于点D,
第4题解图①
在Rt△ABD中,∠BAD=60°,AB=a,
则BD=a,
∴S△ABC=AC·BD=a·a=a2.
(2)如解图②,分别过点A、D作BO、CO的垂线交BO的延长线于点E,交CO于点F,
第4题解图②
∵△AOD与△BOC均为等腰直角三角形,
OA=OB=OC=OD=a,
∴S△AOD=a2,S△BOC=a2,
令∠AOB=α,∠COD=β,则
S△AOB=a·asinα,S△COD=a·asinβ,
∴S△AOB+S△COD=a2(sinα+sinβ),
∵∠AOB+∠COD=180°,∴α=90°,β=90°,
即∠AOB=90°,∠COD=90°时,△AOB与△COD面积最大,
即此时四边形ABCD面积最大,
此时,S△AOB=a2,S△COD=a2,
∴S四边形ABCD最大=a2+a2+a2+a2=2a2;
(3)有最大值,理由如下:
∵OA=OB=OC=OD=5km,
则A、B、C、D四点在以O为圆心,5km为半径的圆上,
如解图③,将△DOC绕O点顺时针旋转150°至△D′OB位置.连接AD′,设OB与AD′交于点E,
第4题解图③
∵△AOD与△BOC面积是定值,
∴求S四边形ABD′O最大即可.
∠AOD′=360°-150°-90°=120°,
过O作OM⊥AD′于点M,过B作BN⊥AD′于点N,
在△OAM中,∠AOM=60°,
∴OM=,AM=,AD′=5,
令∠MEO=∠NEB=α,
∴S四边形ABD′O=S△AOD′+S△ABD′=AD′·OM+AD′·BN=AD′·[OE·sinα+(5-OE)·sinα]=AD′·5sinα=×5×5sinα=sinα,
当α=90°时,sinα=1,此时四边形ABD′O面积最大,
∴S四边形ABD′Omax=,即四边形ABCD的最大面积为×5×5+×5×5×+=.
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