北京市初三数学一模试题分类阅读材料.docx
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北京市初三数学一模试题分类阅读材料
类型一:
添加辅助线,构造全等或相似推理证明
1.(朝阳一模26)阅读下面材料:
小昊遇到这样一个问题:
如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,
BE是AC边上的中线,点D在BC边上,CD:
BD=1:
2,AD与BE
相交于点P,求
的值.
小昊发现,过点A作AF∥BC,交BE的延长线于点F,通过构造△AEF,经过推理和
计算能够使问题得到解决(如图2).
请回答:
的值为 .
图3
图1
图2
参考小昊思考问题的方法,解决问题:
如图3,在△ABC中,∠ACB=90°,点D在BC的延长线上,AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P,DC:
BC:
AC=1:
2:
3.
(1)求
的值;
(2)若CD=2,则BP=.
2.(门头沟毕业考试26)阅读下面材料:
小明遇到这样一个问题:
如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,CD平分∠ACB,试判断BC和AC、AD之间的数量关系.
小明发现,利用轴对称做一个变化,在BC上截取CA′=CA,连接DA′,得到一对全等的三角形,从而将问题解决(如图2).
图1图2
请回答:
(1)在图2中,小明得到的全等三角形是△≌△;
(2)BC和AC、AD之间的数量关系是.
参考小明思考问题的方法,解决问题:
如图3,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,BC=CD=10,AC=17,AD=9.
求AB的长.
图3
3.(燕山毕业考试26)阅读下面材料:
小军遇到这样一个问题:
如图1,△ABC中,AB=6,AC=4,点D为BC的中点,求AD的取值范围.
图3
小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题.他的做法是:
如图2,延长AD到E,使DE=AD,连接BE,构造△BED≌△CAD,经过推理和计算使问题得到解决.
请回答:
AD的取值范围是.
参考小军思考问题的方法,解决问题:
如图3,△ABC中,E为AB中点,P是CA延长线上一点,连接PE并延长交BC于点D.求证:
PA•CD=PC•BD.
4.(怀柔一模26)阅读下面材料:
小聪遇到这样一个有关角平分线的问题:
如图1,在△ABC中,
∠A=2∠B,CD平分∠ACB,AD=2.2,AC=3.6
求BC的长.
小聪思考:
因为CD平分∠ACB,所以可在BC边上取点E,使EC=AC,连接DE.
这样很容易得到△DEC≌△DAC,经过推理能使问题得到解决(如图2).
请回答:
(1)△BDE是_________三角形.
(2)BC的长为__________.
参考小聪思考问题的方法,解决问题:
如图3,已知△ABC中,AB=AC,∠A=20°,
BD平分∠ABC,BD=,BC=2.
求AD的长.
类型二:
添加辅助线,构造特殊四边形,利用解直等方法推理证明.
5.(海淀一模26)阅读下面材料:
小明遇到这样一个问题:
如图1,在△ABC中,DE∥BC分别交AB于D,交AC于E.已知CD⊥BE,CD=3,BE=5,求BC+DE的值.
小明发现,过点E作EF∥DC,交BC延长线于点F,构造△BEF,经过推理和计算能够使问题得到解决(如图2).
图1图2图3
请回答:
BC+DE的值为_______.
参考小明思考问题的方法,解决问题:
如图3,已知□ABCD和矩形ABEF,AC与DF交于点G,AC=BF=DF,求∠AGF的度数.
类型三:
一般四边形的解法,添加辅助线,构造直角三角形进行解直.
6.(石景山一模26)阅读下面材料:
小红遇到这样一个问题:
如图1,在四边形中,,,,,求的长.
图1图2
小红发现,延长与相交于点,通过构造Rt△,经过推理和计算能够使问题得到解决(如图2).
请回答:
的长为.
参考小红思考问题的方法,解决问题:
如图3,在四边形中,,,
,,求和的长.
图3
类型四:
利用全等三角形的判定方法画图,构造全等三角形,对SSA是否全等推理验证.
7.(平谷一模26)阅读下面材料:
学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.
小聪将命题用符号语言表示为:
在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E.
小聪想:
要想解决问题,应该对∠B进行分类研究.
∠B可分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.
第一种情况:
当∠B是直角时,如图1,
在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,
∠B=∠E=90°,根据“HL”定理,可以知道
Rt△ABC≌Rt△DEF.
第二种情况:
当∠B是锐角时,如图2,BC=EF,∠B=∠E<90°,在射线EM上有点D,使DF=AC,画出符合条件的点D,则△ABC和△DEF的关系是;
A.全等B.不全等C.不一定全等
第三种情况:
当∠B是钝角时,如图3,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,
∠B=∠E>90°,求证:
△ABC≌△DEF.
类型五:
利用圆周角的性质画圆,根据圆内接四边形的性质及三角形外角性质进行推理证明.
8.(房山一模26)阅读材料
小明遇到这样一个问题:
如图1,在锐角△ABC中,AD、BE、CF分别为△ABC的高,求证:
∠AFE=∠ACB.
小明是这样思考问题的:
如图2,以BC为直径做半⊙O,则点F、E在⊙O上,
∠BFE+∠BCE=180°,所以∠AFE=∠ACB.
请回答:
若∠ABC=,则∠AEF的度数是.
参考小明思考问题的方法,解决问题:
如图3,在锐角△ABC中,AD、BE、CF分别为△ABC的高,求证:
∠BDF=∠CDE.
类型六:
利用特殊四边形的性质,构造全等或相似推理证明.
9.(东城一模26)阅读材料
在四边形中,对角线与交于点,是上任意一点,于点,交于点.
(1)如图1,若四边形是正方形,判断与的数量关系;
明明发现,与分别在和中,可以通过证明和全等,得到与的数量关系;
请回答:
与的数量关系是.
(2)如图2,若四边形是菱形,,请参考明明思考问题的方法,求的值.
图1图2
类型七:
利用等边三角形性质,构造全等,利用割补法求一般图形的面积.
10.(延庆毕业考试26)阅读下面资料:
问题情境:
(1)如图1,等边△ABC,∠CAB和∠CBA的平分线交于点O,将顶角为120°的等腰三角形纸片(纸片足够大)的顶点与点O重合,已知OA=2,则图中重叠部分△OAB的面积是.
探究:
(2)在
(1)的条件下,将纸片绕O点旋转至如图2所示位置,纸片两边分别与AB,AC交于点E,F,求图2中重叠部分的面积.
(3)如图3,若∠ABC=α(0°<α<90°),点O在∠ABC的角平分线上,且BO=2,以O为顶点的等腰三角形纸片(纸片足够大)与∠ABC的两边AB,AC分别交于点E、F,∠EOF=180°﹣α,直接写出重叠部分的面积.(用含α的式子表示)
图3
图2
图1
类型八:
利用网格,构造直角三角形,进行解直.
11.(西城一模26)阅读下面的材料:
小敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题:
如果α,β都为锐角,且,,求的度数.
小敏是这样解决问题的:
如图1,把,放在正方形网格中,使得,
,且BA,BC在直线BD的两侧,连接AC,可证得△ABC是等腰直角三角形,因此可求得=∠ABC=°.
请参考小敏思考问题的方法解决问题:
如果,都为锐角,当,时,在图2的正方形网格中,利用已作出的锐角α,画出∠MON=,由此可得=______°.
类型九:
利用特殊四边形及相似的性质求解.
12.(通州一模26)阅读材料
(1)请你根据下面画图要求,在图①中完成画图操作并填空.
如图①,△中,∠BAC=30°,∠ACB=90°,∠PAM=∠A.
操作:
(1)延长BC.
(2)将∠PAM绕点A逆时针方向旋转60°后,射线AM交BC的延长线于点D.
(3)过点D作DQ//AB.
(4)∠PAM旋转后,射线AP交DQ于点G.
(5)连结BG.
结论:
=.
(2)如图②,△中,AB=AC=1,∠BAC=36°,进行如下操作:
将△绕点A按逆时针方向旋转
度角,并使各边长变为原来的n倍(n>1),得到△.当点B、C、在同一条直线上,且四边形为平行四边形时(如图③),求
和n的值.
类型十:
通过拼图,利用等面积法推理证明勾股定理公式.
13.(丰台一模26)阅读下面的材料
勾股定理神秘而美妙,它的证法多种多样,下面是教材中介绍
的一种拼图证明勾股定理的方法.
先做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边分别为a,b,
斜边为c,然后按图1的方法将它们摆成正方形.
图1
由图1可以得到,
整理,得.
所以.
如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形,请
你参照上述证明勾股定理的方法,完成下面的填空:
图2
由图2可以得到,
整理,得,
所以.
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