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鼎尖教案人教版高中数学选修系列14总体分布的估计共一课时
【鼎尖教案】人教版高中数学选修系列:
14总体分布的估计共一课时
§1.4 总体分布的估计
课时安排
1课时
从容说课
总体的分布就是相应的随机变量的概率分布.当总体中的个体取不同的数值很少时,其频率分布表中所取样本的不同数值及其相应的频率,其几何表示就是相应的条形图,这里的"总体中的个体取不同数值很少",并不是指"总体中的个体数很少".当总体中的个体取不同数值较多,甚至无限时,对其频率分布的研究要像前面连续型随机变量频率分布一样,其几何图形是频率直方图.
样本的频率分布与相应总体分布的关系,即频率分布将随着样本容量的增大而更加接近总体分布.当样本容量无限增大,分组的组距无限缩小时,频率分布直方图就会演变成一条光滑曲线--反映总体分布的概率密度曲线.在教学时,我们利用多媒体课件进行演示,增强直观效果.
要求学生一定要掌握如下两点:
(1)会制作条形图与直方图,并搞清区别.前者频率分布表中列出的是几个不同数值的频率,相应的条形图是用其高度来表示的各个取值的频率;后者的频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率,相应的直方图是用图形面积的大小来表示各个区间内取值的频率.
(2)能根据样本的分布去估计总体的分布.可以选几道小的题目进行训练.
第八课时
课
题
§1.4 总体分布的估计
教学目标
一、教学知识点
1.深刻理解总体取值的概率分布规律即总体分布.
2.理解并掌握频率分布表和频率分布直方图,理解累积频率.
3.掌握总体密度曲线,理解总体密度曲线的含义及作用.
二、能力训练要求
1.会用样本频率分布去估计总体分布.
2.能列出频率分布表(含累积频率)能画出频率分布的条形直方图;会画出累积频率的分布图.
三、德育渗透目标
1.培养学生收集信息、处理信息的能力,学会生存、学会劳动.
2.培养学生的辩证唯物主义观点(主要是运动观点、审美观点).
3.培养学生动手操作能力、高度概括能力,数形结合、分类讨论思想.
4.培养从函数的角度去认识累积分布函数的认识论观点.
教学重点
总体分布的概念和总体密度曲线的概念的建立是本课时的重点内容.用样本估计总体涉及两方面的问题:
一是如何用样本的某种特征数去估计总体的相应的特征数;二是如何用样本的频率去估计总体分布.
教学难点
总体分布和总体密度曲线的概念的建立是本课时的教学难点,将总体与随机变量沟通后,总体的分布也就是相应的随机变量的概率分布.学会从另一个角度来看问题,即利用化归思想来研究总体分布.
教学方法
建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践,在初中已作了初步介绍:
提出了总体、个体、样本、样本容量等概念,并用样本平均数去估计总体平均数.在这个前提下,我们进一步学习用样本的分布去估计总体的分布,于是将初中的概念和观点"用样本平均数去估计总体平均数"进行同化和顺应,最终达到了建构的要求.
教具准备
实物投影仪(或幻灯机和胶片或多媒体课件)利用现代化教学工具来演示两个例子的数据表和频率分布的直方图.
幻灯片 记作:
§1.4A
学习概率时,我们介绍的历史上所做的抛掷硬币的大量重复试验,试验结果如下表(从大量的重复试验中取出容量为72088的样本)
试验结果频 数频 率概 率正面向上361240.50110.5反面向上359640.49890.5
幻灯片:
记作§1.4B
振华机电工具有限责任公司的检验科,对该公司的某生产车间规定尺寸为25.40mm的一大堆产品中任取100件进行尺寸关的检验,测得它们的实际尺寸如下:
25.39 25.36 25.34 25.42 25.45
25.38 25.39 25.42 25.47 25.35
25.41 25.43 25.44 25.48 25.45
25.43 25.46 25.40 25.51 25.45
25.40 25.39 25.41 25.36 25.38
25.31 25.56 25.43 25.40 25.38
25.37 25.44 25.33 25.46 25.40
25.49 25.34 25.42 25.50 25.37
25.35 25.32 25.45 25.40 25.27
25.43 25.54 25.39 25.45 25.43
25.40 25.43 25.44 25.41 25.53
25.37 25.38 25.24 25.44 25.40
25.36 25.42 25.39 25.46 25.38
25.35 25.31 25.34 25.40 25.36
25.41 25.32 25.38 25.42 25.40
25.33 25.37 25.41 25.49 25.35
25.47 25.34 25.30 25.39 25.36
25.46 25.29 25.40 25.37 25.33
25.40 25.35 25.41 25.37 25.47
25.39 25.42 25.47 25.38 25.39
教学过程
Ⅰ.课题导入
同学们,在初中我们学习过样本的频率分布,上学期我们又学习了概率知识,在学习概率时,我们介绍的历史上所做的抛掷硬币的大量重复试验,(此时打出幻灯片A),在这个问题中,抛掷硬币试验的结果的全体构成一个总体(为便于研究问题,可把出现"正面向上"的结果记为0,把出现"反面向上"的结果记为1),每次抛掷硬币的结果是总体中的一个个体.那么,上面的表格就是从总体中抽取的容量为72088的相当大的样本的频率分布表.这个分布图还可以用如图1-4所示的条形图表示.(条形图是用其高度来表示取各值的频率)
图1-4
我们看到,随着试验次数的不断增加,出现"正面向上"和"反面向上"的频率值都越来越接近于0.5,在它附近摆动.当试验次数无限增大时,两种试验结果的频率值就成为相应的概率(见幻灯片中的表).表中排除了抽样造成的误差,精确地反映了总体取值的概率分布规律.这种总体取值的概率分布规律通常称为总体分布.(板书课题)
Ⅱ.讲授新课
[师]什么叫总体分布?
你们能从刚才我们的研究中进行总结和概括吗?
[生]总体取值的概率分布规律叫做总体分布.
[师]从上例可以看出,我们是用样本的频率分布来估计总体分布的,那么我们如何操作呢?
下面我们再看一个问题(打出幻灯片§1.1.4B),请同学们看银幕上的100个数据.如果把这堆产品中产品尺寸的全体看作一个总体,那么上面的数据的含义是什么?
[生]这100个数据就是从总体中抽取的一个容量为100的样本.
[师]这道例题与前一个例子(抛掷硬币问题)是相同的吗?
[生]这两个问题是不同的,抛掷硬币的例子中,尽管抛掷硬币的次数达到72088次,即样本容量为72088,但所取不同值仅有2个(用0和1表示).从这里我们也可看出"总体中的个体取不同数值很少"并不是指"总体中的个体数很少",而第二个问题的总体取值较多,不能一个一个地取,我们可以分层次、分段地取值,即在某一段内,这种尺寸的个数有几个,然后再计算频率,再作出条形图.
[师]刚才这位同学说,对于这个问题,分层次或分段地取值,用我们的数学术语来讲就是这里的总体可以在一个实数区间内取值(称为连续型总体),你们能用初中学过的方法来求它们的频数、频率吗?
[生甲]这100个数据中最小的是25.24,最大的是25.56.组成一个区间[25.24,25.56],区间长度为0.32,将长度进行十等分,这样区间就被等分为10个长度相等的区间,即[25.24,25.272),[25.272,25.304),[25.304,25.336),...,[25.528,25.56].然后在各个区间上进行统计,例如,第一个区间上有两个值,频数为2,频率为0.02.第二个区间上也有2个值,频数为2,频率为0.02.继续下去.列出表格,再画出频率分布的直方图即可.
[生乙]我赞同他的观点和方法,但我想改进区间的两端数字,有利于操作.例如,区间两端点的千分位上的数字全部写为5,即划分为[25.235,25.265),[25.265,25.295),[25.295,25.325),[25.325,25.355),...,[25.505,25.535),[25.535,25.565).这样将这些数字划到11个实数区间内,我们列表进行统计,如第一个区间只有一个数值,第二个区间内有2个数值,第三个区间有5个数值,...,第10个区间内有2个数值,第11个区间内也有2个数值.然后再分别计算出频率、累积频率,最后作出图形.
[师]这两位同学的解决问题的方法是非常好的.第一个同学敢于突破常规,利用区间划分的方法来解决问题,虽然对于区间两个端点数字而言无规律,但不妨碍我们的统计,如果区间划分得再细一点,那么统计的结果更具有说服力.而第二位同学他着眼于区间的两个端点的数值,便于书写和记忆,这样的划分比第一位同学的区间段多了1段.其实他们的数学思想方法和操作步骤都是一样的.下面我们就以第二位同学所说的区间划分来解决本题.请同学们先统计各区间段上的尺寸的个数,写出它们的频数、频率、累积频率.并设计表格填写.
[生]分 组个数累计频数频率
累积频率
[25.235,25.265)一10.010.01
[25.265,25.295)正20.020.03
[25.295,25.325)正50.050.08
[25.325,25.355)正正正120.120.20
[25.355,25.385)
正正正正180.180.38[25.385,25.415)
正正正正正250.250.63[25.415,25.445)
正正正正160.160.79[25.445,25.475)正正正130.130.92
[25.475,25.505)正40.040.96
[25.505,25.535)正20.020.98
[25.535,25.565)正20.021.00合 计1001.00
[师]这位同学设计的表格很好.根据表格数字,你们计算产品尺寸小于25.295mm的频率,产品尺寸小于25.325mm的频率.
[生]产品尺寸小于25.295mm的频率为0.01+0.02=0.03,产品尺寸小于25.325mm的频率是0.01+0.02+0.05=0.08.
[师]你们能计算产品尺寸小于25.385mm的频率吗?
[生](众生齐声回答)0.38!
[师]怎么计算出来的?
[生](众生齐声回答)产品尺寸小于25.385m的频率等于前五组相加,即为0.01+0.02+0.05+0.12+0.18=0.38.
[生](另一个学生站起来说)也可以这样做,前三组的频率之和为0.08,前四组的频率之和为0.08+0.12=0.20,那么前五组的频率之和为0.20+0.18=0.38.
[师]他的这种算法是很好的!
要充分利用前面的工作成果.你们把这些频率的和叫什么?
(进行命题)
[生甲]频率的迭加.
[生乙]频率的累计.
[生丙]累积频率.因为它是由前面的频率累加起来的,所以我们把它称为累积频率,也就是"积累"的意思.
(课堂上,学生的争论不休是正常现象,这是进步的表现,是创新启动,这时教师要当好裁判员,这就需要教师要有更高超的教学技艺和精湛的业务知识)
[师]我认为这三位学生的命题都是对的,都突出了这个数值的真实含义及形成的过程.这种样本数据小于某一数值的频率,通常叫做累积频率.请同学们将上述表格中补上一个栏目"累积频率",并把各数值填写进去.
(这时将表格中后补的部分用虚线框起来)
[师]根据频率分布表,我们能否作出频率分布直方图呢?
[生]可以,我来试试看.
图1-5
[师]从刚才这位同学所画的图形可以得到什么结论呢?
[生]这张图表明了所抽取的100件产品中,尺寸落在各个小组内的频率的大小.样本容量越大,所分组数越多,各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率.
[师]设想这样一个问题,样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图又作如何变化?
(渗透极限思想)
[生]频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线.(说着说着,她走到黑板前,把图画了出来)
图1-6
[师]我们把这条曲线叫做总体密度曲线,它反映了总体分布,即反映了总体在各个范围内取值的概率.根据这条曲线,图中带斜线部分的面积,就是总体在区间(a,b)内取值的概率.同学们,能根据这个图(曲线)得到什么结论呢?
[生]通常我们不易知道一个总体的分布情况,但往往是从总体中抽取一个样本,用样本的频率分布去估计总体分布.样本容量越大,这种估计就越精确.
[师]频率分布表中,已列出各组右端点的累积频率,可以画出累积频率分布图,常把它放在频率分布直方图的正下方,横轴表示产品的尺寸的长度,纵轴表示累积频率.如何作出累积频率分布图呢?
[生]建立坐标系,横轴表示产品的长度,纵轴表示累积频率,按照表中的各累积频率,在图中描出相应的各点.如分点25.325的累积频率为0.08,就在图中描出横坐标是25.325、纵坐标是0.08的一个点,然后用线段将各点依次连结起来,得到一条折线,它就是累积频率分布图.
图1-7
[师]频率分布和累积频率分布,从不同的角度反映了一组数据的分布情况,起着相互补充的作用.利用样本的累积分布图,可以对总体的相应情况进行估计.如何估计长度小于25.40mm的产品尺寸的概率?
[生]可以在累积频率分布图中找到横坐标是25.40mm的点,然后量出这一点的纵坐标为0.505,即长度小于25.40mm的产品的概率约为0.505.
[师]我们知道,当样本容量无限增大、分组的组距无限缩小时,频率分布直方图就会趋近于一条光滑曲线--总体密度曲线.相应地,累积频率分布图也会趋近于一条光滑曲线--累积分布曲线.它反映了总体的累积分布规律,即曲线上任意一点P(a,b)的纵坐标b,表示总体取小于a的值的概率.
图1-8
Ⅲ.课堂练习
课本P28练习1、2(学生解答用投影放出).
Ⅳ.补充练习
(2004年南通市模拟题)有同一型号的汽车100辆,为了解这种汽车每耗油1L所行路程的情况,现从中随机抽出10辆在同一条件下进行耗油1L所行路程实验,得到如下样本数据(单位:
km):
13.7,12.7,14.4,13.8,13.3,12.5,13.5,13.6,13.1,13.4.并分组如下:
分组[12.45,12.95)
[12.95,13.45)
[13.45,13.95)
[13.95,14.45)频数频率
(1)完成上面的频率分布表;
(2)根据上表,在给定坐标系中(图1-9)画出频率分布直方图,并根据样本估计总体数据落在[12.95,13.95)中的概率;
(3)根据样本,对总体的期望值进行估计.
图1-9
解:
(1)频率分布表:
分组[12.45,12.95)
[12.95,13.45)
[13.45,13.95)
[13.95,14.45)合计频数234110频率0.20.30.40.11.0
(2)频率分布直方图如下:
图1-10
估计总体数据落在[12.95,13.95)中的概率为0.7.
(3)∵,
∴总体的期望值为13.4.
Ⅴ.课时小结
这节课我们共同研究了总体分布的概率、总体密度曲线、累积分布曲线,这些都是建立在能正确求出频率分布表的基础上的.请同学们总结其频率分布的步骤:
[生]第一步,计算最大值与最小值的差;第二步,决定组距与组数,用差值比组距,如0.32÷0.03=,决定分成11组;第三步,决定分点,使分点比数据多一位小数,并且把第1小组的起点稍微减小一点,那么,所分的11个小组可以是[25.235,25.265),[25.265,25.295),...,[25.535,25.565);第四步,列出频率分布表;第五步,画出频率分布直方图.
[师]由于累积频率分布图是一条折线,利用它可以近似得到样本数据在任意两端点值之间的频率(它等于这两个端点值之间的累积频率之差),在这一点上它比频率分布直方图优越.因为利用频率分布直方图求两端点值之间的频率时,这两个端点一般限于分组时的端点值.
从函数的角度去认识累积分布函数,实际上是相应的概率密度函数的一个原函数.
Ⅵ.课后作业
(一)课本P29
1、2、3.
(二)预习课本P32§ 1.5正态分布至P32倒数第9行.
板书设计
§1.4 总体分布的估计
一、总体分布的定义:
总体取值的概率分布规律叫做总体分布.
二、抛掷硬币的试验结果频率分布直方图
产品尺寸检测频率分布表分组个数累计频数频率
累积频率
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- 教案 人教版 高中数学 选修 系列 14 总体 分布 估计 课时