高考数学一轮复习第三章导数及其应用考点规范练14导数的概念及运算文新人教B版Word格式文档下载.docx
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2.C 解析由题意可得y=lnx的定义域为(0,+∞),且y'
=.
设切点为(x0,lnx0),则切线方程为y-lnx0=(x-x0).
因为切线过点(0,0),所以-lnx0=-1,解得x0=e,故此切线的斜率为.
3.B 解析由函数y=f(x)为奇函数,可得f(x)在[0,+∞)内的解析式为f(x)=-x2+x,故切点为(1,0).
因为y'
=-2x+1,所以y'
|x=1=-1,
故切线方程为y=-(x-1),即x+y-1=0.
4.B 解析因为定义域为(0,+∞),所以y'
=2x-,令2x-=1,解得x=1,则曲线在点P(1,1)处的切线方程为x-y=0,所以两平行线间的距离为d=.故所求的最小值为.
5.C 解析∵f(x)=x3-x+3,∴f'
(x)=3x2-1.
设点P(x,y),则f'
(x)=2,即3x2-1=2,解得x=1或x=-1,
故P(1,3)或(-1,3).
经检验,点(1,3),(-1,3)均不在直线y=2x-1上,符合题意.故选C.
6.A 解析由题意得y=kx+1过点A(1,2),故2=k+1,即k=1.
∵y'
=3x2+a,且直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,2),
∴k=3+a,即1=3+a,∴a=-2.
将点A(1,2)代入曲线方程y=x3+ax+b,可解得b=3,
即ab=(-2)3=-8.故选A.
7.A 解析设曲线上两点P(x1,y1),Q(x2,y2),
则由导数几何意义可知,两条切线的斜率分别为k1=f'
(x1),k2=f'
(x2).
若函数具有T性质,则k1·
k2=f'
(x1)·
f'
(x2)=-1.
A项,f'
(x)=cosx,显然k1·
k2=cosx1·
cosx2=-1有无数组解,所以该函数具有性质T;
B项,f'
(x)=(x>
0),显然k1·
k2==-1无解,故该函数不具有性质T;
C项,f'
(x)=ex>
0,显然k1·
D项,f'
(x)=3x2≥0,显然k1·
k2=3×
3=-1无解,故该函数不具有性质T.综上,选A.
8.A 解析因为y=x3,所以y'
=3x2.
设过点(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,),
则在该点处的切线斜率为k=3,所以切线方程为y-=3(x-x0),即y=3x-2.
又点(1,0)在切线上,则x0=0或x0=.
当x0=0时,由y=0与y=ax2+x-9相切,可得a=-;
当x0=时,由y=x-与y=ax2+x-9相切,可得a=-1.
9. 解析由f'
(x)=,得f'
(2)=.
10.y=2ex-e 解析∵f(x)=xex,∴f
(1)=e,f'
(x)=ex+xex,
∴f'
(1)=2e,∴f(x)的图象在点(1,f
(1))处的切线方程为y-e=2e(x-1),即y=2ex-e.
11.log2e 解析∵y'
=,∴k=,
∴切线方程为y=(x-1),
∴所围三角形的面积为S=×
1×
log2e.
12.[2,+∞) 解析∵f(x)=x2-ax+lnx,
(x)=x-a+.
∵f(x)存在垂直于y轴的切线,
(x)存在零点,∴x+-a=0有解,
∴a=x+≥2(x>
0).
13.D 解析由y=f'
(x)的图象知y=f'
(x)在(0,+∞)内单调递减,说明函数y=f(x)的切线的斜率在(0,+∞)内也单调递减,故可排除A,C.
又由图象知y=f'
(x)与y=g'
(x)的图象在x=x0处相交,
说明y=f(x)与y=g(x)的图象在x=x0处的切线的斜率相同,故可排除B.故选D.
14.B 解析由题图可知曲线y=f(x)在x=3处的切线斜率等于-,即f'
(3)=-.又g(x)=xf(x),g'
(x)=f(x)+xf'
(x),g'
(3)=f(3)+3f'
(3).由题图可知f(3)=1,所以g'
(3)=1+3×
=0.
15.A 解析由题意得P1,P2分别位于两段函数的图象上.
设P1(x1,lnx1),P2(x2,-lnx2)(不妨设x1>
1,0<
x2<
1),则由导数的几何意义易得切线l1,l2的斜率分别为k1=,k2=-.
由已知得k1k2=-1,所以x1x2=1.所以x2=.
所以切线l1的方程为y-lnx1=(x-x1),切线l2的方程为y+lnx2=-(x-x2),
即y-lnx1=-x1.
分别令x=0得A(0,-1+lnx1),B(0,1+lnx1).
又l1与l2的交点为P.
∵x1>
1,∴S△PAB=|yA-yB|·
|xP|
==1.
∴0<
S△PAB<
1,故选A.
16.x-y+4=0 解析∵f(x)-g(x)=ex+x2+1,且f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,
∴f(-x)-g(-x)=f(x)+g(x)=e-x+x2+1.
∴f(x)=,g(x)=.
∴h(x)=2f(x)-g(x)=ex+e-x+2x2+2-
=ex+e-x+2x2+2.
∴h'
(x)=ex-e-x+4x,即h'
(0)==1.
又h(0)=4,∴切线方程为x-y+4=0.
17.5 解析∵f'
(x)=-2f'
(1)x+5,
(1)=1-2f'
(1)+5,解得f'
(1)=2,
=2-2+5=5.
2019-2020年高考数学一轮复习第三章导数及其应用考点规范练15导数与函数的单调性极值最值文新人教A版
1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( )
A.(-∞,2)B.(0,3)
C.(1,4)D.(2,+∞)
2.已知函数f(x)=x3-3x2+x的极大值点为m,极小值点为n,则m+n=( )
A.0B.2C.-4D.-2
3.定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数f'
(x),满足f(x)<
(x),且f(0)=2,则不等式f(x)>
2ex的解集为( )
A.(-∞,0)B.(-∞,2)
C.(0,+∞)D.(2,+∞)
4.(xx浙江,7)函数y=f(x)的导函数y=f'
(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是( )
5.已知函数f(x)=-x2+4x-3lnx在区间[t,t+1]上不单调,则t的取值范围是 .
6.若函数g(x)=lnx+ax2+bx,且g(x)的图象在点(1,g
(1))处的切线与x轴平行.
(1)确定a与b的关系;
(2)若a≥0,试讨论函数g(x)的单调性.
7.已知函数f(x)=(a>
0)的导函数y=f'
(x)的两个零点为-3和0.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)的极大值及f(x)在区间[-5,+∞)内的最大值.
8.(xx安徽马鞍山一模)已知函数f(x)=xex-a(a∈R).
(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;
(2)讨论函数f(x)的单调性.
9.设函数f(x)=(a∈R).
(1)若f(x)在x=0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程;
(2)若f(x)在区间[3,+∞)内为减函数,求a的取值范围.
10.已知函数y=f(x)对任意的x∈满足f'
(x)cosx+f(x)sinx>
0(其中f'
(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是( )
A.<
f
B.<
C.f(0)>
2f
D.f(0)>
11.设函数f'
(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>
0时,xf'
(x)-f(x)<
0,则使得f(x)>
0成立的x的取值范围是 .
12.(xx福建福州一模)已知函数f(x)=alnx+x2-ax(a∈R).
(1)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)的单调区间;
(2)求g(x)=f(x)-2x在区间[1,e]上的最小值h(a).
13.已知函数f(x)=x3-ax-b,x∈R,其中a,b∈R.
(2)若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求证:
x1+2x0=0;
(3)设a>
0,函数g(x)=|f(x)|,求证:
g(x)在区间[-1,1]上的最大值不小于.
14.已知函数f(x)=alnx-ax-3(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数y=f(x)的图象在点(2,f
(2))处的切线的倾斜角为45°
对于任意的t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2·
在区间(t,3)内总不是单调函数,求m的取值范围.
答案:
1.D 解析:
函数f(x)=(x-3)ex的导数为f'
(x)=[(x-3)ex]'
=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.
由函数导数与函数单调性的关系,得当f'
(x)>
0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f'
(x)=(x-2)ex>
0,解得x>
2.
2.B 解析:
因为函数f(x)=x3-3x2+x的极大值点为m,极小值点为n,所以m,n为f'
(x)=3x2-6x+1=0的两根.
由根与系数的关系可知m+n=-=2.
3.C 解析:
设g(x)=,则g'
(x)=.
∵f(x)<
(x),∴g'
0,即函数g(x)在定义域内单调递增.
∵f(0)=2,∴g(0)=f(0)=2,
∴不等式f(x)>
2ex等价于g(x)>
g(0).
∵函数g(x)在定义域内单调递增.
∴x>
0,∴不等式的解集为(0,+∞),故选C.
4.D 解析:
设导函数y=f'
(x)的三个零点分别为x1,x2,x3,且x1<
0<
x3.
所以在区间(-∞,x1)和(x2,x3)内,f'
(x)<
0,f(x)是减函数,在区间(x1,x2)和(x3,+∞)内,f'
0,f(x)是增函数,所以函数y=f(x)的图象可能为D,故选D.
5.(0,1)∪(2,3) 解析:
由题意知f'
(x)=-x+4-=-.
由f'
(x)=0得x1=1,x2=3,可知1,3是函数f(x)的两个极值点.
则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数f(x)在区间[t,t+1]上就不单调,
由t<
1<
t+1或t<
3<
t+1,得0<
t<
1或2<
3.
6.解:
(1)因为g(x)=lnx+ax2+bx,所以g'
(x)=+2ax+b,
由题意,得g'
(1)=1+2a+b=0,所以2a+b=-1.
(2)当a=0时,g'
(x)=-,
由g'
0解得0<
x<
1,由g'
0解得x>
1,
即函数g(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减.
当a>
0时,令g'
(x)=0,得x=1或x=,若<
1,即a>
则由g'
1或0<
由g'
0解得<
1,即函数g(x)在,(1,+∞)内单调递增,在内单调递减;
若>
1,即0<
a<
或0<
0解得1<
即函数g(x)在(0,1),内单调递增,在内单调递减;
若=1,即a=,则在(0,+∞)上恒有g'
(x)≥0,
即函数g(x)在(0,+∞)内单调递增.
综上可得:
当a=0时,函数g(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减;
当0<
时,函数g(x)在(0,1)内单调递增,在内单调递减,在内单调递增;
当a=时,函数g(x)在(0,+∞)内单调递增;
时,函数g(x)在内单调递增,在内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.
7.解:
(1)因为f(x)=,
所以f'
(x)=,
设g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c.
因为a>
0,所以由题意知:
当-3<
0时,g(x)>
0,即f'
0;
当x<
-3或x>
0时,g(x)<
0.
所以f(x)的单调递增区间是(-3,0),单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞).
(2)由
(1)知,x=-3是f(x)的极小值点,
故有=-e3.
结合g(0)=b-c=0,g(-3)=-9a-3(2a-b)+b-c=0,解得a=1,b=5,c=5,所以f(x)=.
因为f(x)的单调递增区间是(-3,0),单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞),所以f(0)=5为函数f(x)的极大值,且f(x)在区间[-5,+∞)内的最大值为f(-5)和f(0)中的最大者.
而f(-5)==5e5>
5=f(0),所以函数f(x)在区间[-5,+∞)内的最大值是5e5.
8.解:
(1)当a=1时,f(x)=xex-,f'
(x)=ex+xex-(x+1)=(x+1)(ex-1),
令f'
(x)=0,得x=-1或x=0.
x
(-∞,-1)
-1
(-1,0)
(0,+∞)
(x)
+
-
f(x)
↗
↘
当x=-1时,f(x)有极大值f(-1)=;
当x=0时,f(x)有极小值f(0)=0.
(2)f'
(x)=ex+xex-a(x+1)=(x+1)(ex-a),
当a≤0时,ex-a>
0,由f'
0得x>
-1,即在区间(-1,+∞)内,函数f(x)单调递增;
0得x<
-1,即在区间(-∞,-1)内,函数f(x)单调递减.
0时,令f'
(x)=0,得x=-1或x=lna.
①当lna=-1,即a=e-1时,无论x>
-1或x<
-1,均有f'
0,又f'
(-1)=0,
即在R上,f'
(x)≥0,从而函数f(x)在R上单调递增.
②当lna<
-1,即0<
e-1时,
(x)=(x+1)(ex-a)>
0⇒x>
lna时,函数f(x)单调递增;
(x)=(x+1)(ex-a)<
0⇒lna<
-1时,函数f(x)单调递减.
③当lna>
-1,即a>
lna或x<
-1时,函数f(x)单调递增;
0⇒-1<
lna时,函数f(x)单调递减.
9.解:
(1)对f(x)求导得f'
因为f(x)在x=0处取得极值,所以f'
(0)=0,即a=0.
当a=0时,f(x)=,f'
故f
(1)=,f'
(1)=,
从而f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程为y-(x-1),化简得3x-ey=0.
(2)由
(1)知f'
令g(x)=-3x2+(6-a)x+a,
由g(x)=0解得x1=,x2=.
x1时,g(x)<
0,故f(x)为减函数;
当x1<
x2时,g(x)>
0,故f(x)为增函数;
当x>
x2时,g(x)<
0,故f(x)为减函数.
由f(x)在区间[3,+∞)内为减函数,知x2=≤3,解得a≥-,故a的取值范围为.
10.A 解析:
构造函数g(x)=,
则g'
(x)=[f'
(x)cosx+f(x)sinx].
∵对任意的x∈满足f'
0,
∴g'
0,即函数g(x)在内单调递增.
∴g<
g,即.
∴<
f.故A正确.
11.(-∞,-1)∪(0,1) 解析:
0时,令F(x)=,
则F'
(x)=<
∴当x>
0时,F(x)=为减函数.
∵f(x)为奇函数,且由f(-1)=0,得f
(1)=0,故F
(1)=0.
在区间(0,1)内,F(x)>
在(1,+∞)内,F(x)<
即当0<
1时,f(x)>
1时,f(x)<
又f(x)为奇函数,∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>
当x∈(-1,0)时,f(x)<
综上可知,f(x)>
0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).
12.解:
(1)f'
(x)=+2x-a(x>
∵x=3是函数f(x)的一个极值点,
(3)=+6-a=0,解得a=9,
∴当0<
或x>
3时,f'
当<
∴f(x)的单调递增区间为,(3,+∞);
f(x)的单调递减区间为.
(2)g(x)=alnx+x2-ax-2x,x∈[1,e],g'
①当≤1,即a≤2时,g(x)在区间[1,e]上递增,g(x)min=g
(1)=-a-1;
②当1<
<
e,即2<
2e时,g(x)在区间内递减,在区间上递增,
故g(x)min=g=aln-a;
③当≥e,即a≥2e时,g(x)在区间[1,e]上递减,
故g(x)min=g(e)=a(1-e)+e(e-2).
综上,h(a)=
13.
(1)解:
由f(x)=x3-ax-b,可得f'
(x)=3x2-a.
下面分两种情况讨论:
①当a≤0时,有f'
(x)=3x2-a≥0恒成立.
所以f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).
②当a>
(x)=0,解得x=,或x=-.
当x变化时,f'
(x),f(x)的变化情况如下表:
单调递增
极大值
单调递减
极小值
所以f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为.
(2)证明:
因为f(x)存在极值点,所以由
(1)知a>
0,且x0≠0.
由题意,得f'
(x0)=3-a=0,即,
进而f(x0)=-ax0-b=-x0-b.
又f(-2x0)=-8+2ax0-b=-x0+2ax0-b=-x0-b=f(x0),且-2x0≠x0,由题意及
(1)知,存在唯一实数x1满足f(x1)=f(x0),且x1≠x0,因此x1=-2x0.
所以x1+2x0=0.
(3)证明:
设g(x)在区间[-1,1]上的最大值为M,max{x,y}表示x,y两数的最大值.下面分三种情况讨论:
①当a≥3时,-≤-1<
1≤,由
(1)知,f(x)在区间[-1,1]上单调递减,所以f(x)在区间[-1,1]上的取值范围为[f
(1),f(-1)],
因此M=max{|f
(1)|,|f(-1)|}=max{|1-a-b|,|-1+a-b|}=max{|a-1+b|,|a-1-b|}=
所以M=a-1+|b|≥2.
②当≤a<
3时,
-≤-1<
-<
1≤,
由
(1)和
(2)知f(-1)≥f=f,
f
(1)≤f=f,
所以f(x)在区间[-1,1]上的取值范围为,
因此M=max
=max
=+|b|≥.
③当0<
时,-1<
1,由
(1)和
(2)知f(-1)<
f=f,f
(1)>
f=f,
所以f(x)在区间[-1,1]上的取值范围为[f(-1),f
(1)],
因此M=max{|f(-1)|,|f
(1)|}=max{|-1+a-b|,|1-a-b|}=max{|1-a+b|,|1-a-b|}=1-a+|b|>
.
综上所述,当a>
0时,g(x)在区间[-1,1]上的最大值不小于.
14.解:
(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'
0时,f(x)的递增区间为(0,1),递减区间为(1,+∞);
当a<
0时,f(x)的递增区间为(1,+∞),递减区间为(0,1);
当a=0时,f(x)不是单调函数.
(2)由
(1)及题意得f'
(2)=-=1,即a=-2.
∴f(x)=-2lnx+2x-3,f'
∴g(x)=x3+x2-2x,
(x)=3x2+(m+4)x-2.
∵g(x)在区间(t,3)内总不是单调函数,
(x)=0在区间(t,3)内有变号零点.
∵g'
(0)=-2,∴
(t)<
0,即3t2+(m+4)t-2<
0对任意t∈[1,2]恒成立,∵g'
(0)<
0,∴只需g'
(1)<
0且g'
(2)<
即m<
-5且m<
-9,即m<
-9;
(3)>
0,即m>
-.∴-<
m<
-9.
即实数m的取值范围是.
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