初中数学实际问题与二次函数详解与练习含答案.docx
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初中数学实际问题与二次函数详解与练习含答案
初中数学专项训练:
实际问题与二次函数
一、利用函数求图形面积的最值问题
一、围成图形面积的最值
1、只围二边的矩形的面积最值问题
例1、如图1,用长为18米的篱笆(虚线部分)和两面墙围成矩形苗
圃。
(1)设矩形的一边长为x(米),面积为y(平方米),求y关于x的
函数关系式;
(2)当x为何值时,所围成的苗圃面积最大?
最大面积是多少?
分析:
关键是用含x的代数式表示出矩形的长与宽。
解:
(1)设矩形的长为x(米),则宽为(18-x)(米),
2
根据题意,得:
yx(18x)x18x
;
x>0
又∵,0<x<18
18x>0
2
(2)∵yx(18x)x18x
中,a=-1<0,∴y有最大值,
22b184acb018
即当9
x时,y81
maxa
2a2
(1)44
(1)
故当x=9米时,苗圃的面积最大,最大面积为81平方米。
点评:
在回扣问题实际时,一定注意不要遗漏了单位。
2、只围三边的矩形的面积最值
例2、如图2,用长为50米的篱笆围成一个养鸡场,养鸡场的一面靠
墙。
问如何围,才能使养鸡场的面积最大?
分析:
关键是明确问题中的变量是哪两个,并能准确布列出函数关系式
解:
设养鸡场的长为x(米),面积为y(平方米),则宽为(
(米),
50x
2
)
50x1
2
根据题意,得:
xx
yx()25
22
;
x>0
又∵,0<x<50
50x
>0
2
50x1
2
∵xx
yx()25
22
中,a=
1
2
<0,∴y有最大值,
b25
即当x25时,
1
2a
2()
2
4ac
y
maxa
4
2
b
0
4
(
2
25
1
2
)
625
2
试卷第1页,总1页
故当x=25米时,养鸡场的面积最大,养鸡场最大面积为
625
2
平方米。
点评:
如果设养鸡场的宽为x,上述函数关系式如何变化?
请读者自己完成。
3、围成正方形的面积最值
例3、将一条长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm
2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm
2吗?
若能,求出两段铁丝的长度;若不能,请说明理由.
(1)解:
设剪成两段后其中一段为xcm,则另一段为(20-x)cm
x220x
2
由题意得:
)17
()(
44
解得:
116,x4
x
2
当x16时,20-x=4;当x24时,20-x=16
1
答:
这段铁丝剪成两段后的长度分别是16厘米、4厘米。
(2)不能
204x
理由是:
设第一个正方形的边长为xcm,则第二个正方形的边长为(5)
x
4
2
面积为ycm
,
cm,围成两个正方形的
2xxx
22
根据题意,得:
yx(5)21025,
2x2x2x
∵yx(5)21025中,a=2>0,∴y有最小值,
即当
b105
x时,
2a222
22
4acb42251025
y=12.5>12,故两个正
mina
4422
方形面积的和不可能是12cm
2.
练习1、如图,正方形EFGH的顶点在边长为a的正方形ABCD的边上,若AE=x,正方形EFGH的面积为y.
(1)求出y与x之间的函数关系式;
(2)正方形EFGH有没有最大面积?
若有,试确定E点位置;若没有,说明理由.
试卷第2页,总2页
二、利用二次函数解决抛物线形建筑物问题
例题1如图
(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在l时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m,
水面宽4m.如图
(2)建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式是.
图
(1)图
(2)
1
2
y=-x.
2
【解析】
试题分析:
由图中可以看出,所求抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,可设此函数解析式为:
y=ax
2,利
用待定系数法求解.
试题解析:
设此函数解析式为:
2
y=ax,a10;
那么(2,-2)应在此函数解析式上.
则-2=4a
即得
1
a=-,
2
那么
1
2
y=-x.
2
考点:
根据实际问题列二次函数关系式.
练习1
某地要建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA,O恰在水面中心,安置在柱子
顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,且在过OA的任一平面上,抛
物线形状如图
(1)所示.图
(2)建立直角坐标系,水流喷出的高度y(米)与水平距离x(米)之间的关
系是
5
2x
yx2.请回答下列问题:
4
(1)柱子OA的高度是多少米?
(2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米?
(3)若不计其他因素,水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外?
2.一座桥如图,桥下水面宽度AB是20米,高CD是4米.要使高为3米的船通过,则其宽度须不超过多少
试卷第3页,总3页
米.
(1)如图1,若把桥看做是抛物线的一部分,建立如图坐标系.
①求抛物线的解析式;
②要使高为3米的船通过,则其宽度须不超过多少米?
(2)如图2,若把桥看做是圆的一部分.
①求圆的半径;
②要使高为3米的船通过,则其宽度须不超过多少米?
三、利用抛物线解决最大利润问题
例题1某市政府大力扶持大学生创业.李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销
售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看做一次函数:
y=-10x+500.
(1)设李明每月获得利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?
(6分)
(2)如果李明想要每月获得2000元的利润,那么销售单价应定为多少元?
(3分)
(3)物价部门规定,这种护眼台灯的销售单价不得高于32元,如果李明想要每月获得的利润不低于2000
元,那么他每月的成本最少需要多少元?
(成本=进价×销售量)(3分)
答案:
(1)35;
(2)30或40;(3)3600.
【解析】
试题分析:
(1)由题意得,每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数,根据利润=(定价-进
价)×销售量,从而列出关系式;
(2)令w=2000,然后解一元二次方程,从而求出销售单价;(3)根据函
数解析式,利用一次函数的性质求出最低成本即可.
试题解析:
(1)由题意得出:
Wx20yx2010x50010x2700x10000,
∵
b
a10<0,35,
2a
试卷第4页,总4页
∴当销售单价定为35元时,每月可获得最大利润.
(2)由题意,得:
10x2700x100002000,
解这个方程得:
x1=30,x2=40.
∴李明想要每月获得2000元的利润,销售单价应定为30元或40元.
(3)∵a10<0,∴抛物线开口向下.∴当30≤x≤40时,W≥2000.
∵x≤32,∴当30≤x≤32时,W≥2000.
设成本为P(元),由题意,得:
P2010x500200x10000,
∵k=200<0,∴P随x的增大而减小.
∴当x=32时,P最小=3600.
答:
想要每月获得的利润不低于2000元,每月的成本最少为3600元.
考点:
二次函数的应用.
练习1.某玩具批发商销售每只进价为40元的玩具,市场调查发现,若以每只50元的价格销售,平均每天
销售90只,单价每提高1元,平均每天就少销售3只.
(1)平均每天的销售量y(只)与销售价x(元/只)之间的函数关系式为;
(2)求该批发商平均每天的销售利润W(元)与销售只x(元/只)之间的函数关系式;
(3)物价部门规定每只售价不得高于55元,当每只玩具的销售价为多少元时,可以获得最大利润?
最大
利润是多少元
一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农产品,已知这种产品的成本价
为每千克20元,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系:
y2x80.设这种产品每天的销售利润为w元.
(1)求w与x之间的函数关系式;
(2)该产品销售价定为每千克多少元时,每天的销售利润最大?
最大利润是多少元?
2.为了落实国务院的指示精神,地方政府出台了
3.某公司营销A,B两种产品,根据市场调研,发现如下信息:
信息1:
销售A种产品所获利润y(万元)与所售产品x(吨)之间存在二次函数关系
试卷第5页,总5页
2
yaxbx.当x1时,y1.4;当x3时,y3.6.
信息2:
销售B种产品所获利润y(万元)与所售产品x(吨)之间存在正比例函数关系y0.3x.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)求二次函数解析式;
(2)该公司准备购进A,B两种产品共10吨,请设计一个营销方案,使销售A,B两种产品获得的利润之和最
大,最大利润是多少?
4.为鼓励大学毕业生自主创业,某市政府出台了相关政策:
由政府协调,本市企业按成本价提供产品给大
学毕业生自主销售,成本价与出厂价之间的差价由政府承担.李明按照相关政策投资销售本市生产的一种
新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为每件10元,出厂价为每件12元,每月销售量y(件)与销售单
价x(元)之间的关系近似满足一次函数:
y10x500.
(1)李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元,那么政府这个月为他承担的总差价为多少元?
(2)设李明获得的利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?
(3)物价部门规定,这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果李明想要每月获得的利润不低于3000元,
那么政府为他承担的总差价最少为多少元?
5.某文具店销售一种进价为10元/个的签字笔,物价部门规定这种签字笔的售价不得高于14元/个,根据
以往经验:
以12元/个的价格销售,平均每周销售签字笔100个;若每个签字笔的销售价格每提高1元,
则平均每周少销售签字笔10个.设销售价为x元/个.
(1)该文具店这种签字笔平均每周的销售量为个(用含x的式子表示);
(2)求该文具店这种签字笔平均每周的销售利润w(元)与销售价x(元/个)之间的函数关系式;
(3)当x取何值时,该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大?
最大利润是多少元?
试卷第6页,总6页
6.一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆.公司在经营中发现每辆车的月租金x(元)与每月租出的车
辆数(y)有如下关系:
x3000320035004000
y100969080
(1)观察表格,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y(辆)
与每辆车的月租金x(元)之间的关系式.
(2)已知租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.用含x(x≥3000)
的代数式填表:
租出的车辆数未租出的车辆数
租出每辆车的月收所有未租出的车辆每月的维护
益费
(3)若你是该公司的经理,你会将每辆车的月租金定为多少元,才能使公司获得最大月收益?
请求出公司
的最大月收益是多少元.
初中数学专项训练:
实际问题与二次函数
参考答案
一、1
(1)y=2x
2
-2ax+a
2
(2)有.当点E是AB的中点时,面积最大.
【解析】本题考查了二次函数的应用.
(1)先由AAS证明△AEF≌△DHE,得出AE=DH=x米,AF=DE=(a-x)米,再根据勾股定理,求出EF2,即可
得到S与x之间的函数关系式;
(2)先将
(1)中求得的函数关系式运用配方法写成顶点式,再根据二次函数的性质即可求解.
解:
∵四边形ABCD是边长为a米的正方形,
∴∠A=∠D=90°,AD=a米.
∵四边形EFGH为正方形,
∴∠FEH=90°,EF=EH.
在△AEF与△DHE中,
∵∠A=∠D,∠AEF=∠DHE=9°0-∠DEH,EF=EH
∴△AEF≌△DHE(AAS),
∴AE=DH=x米,AF=DE=(a-x)米,
222222
∴y=EF=AE+AF=x+(a-x)=2x-2ax+a
2
,
即y=2x
2-2ax+a2;
(2)∵y=2x
2-2ax+a2=2(x-
a
2
)2+
2+
2
a
4
,
试卷第7页,总7页
∴当x=
a
2
时,S有最大值.
故当点E是AB的中点时,面积最大.
二、练习1
(1)
5
4
(2)
9
4
(3)
5
2
【解析】本题考查了二次函数的应用.
(1)本题需先根据已知条件把x=0代入抛物线的解析式,从而得出y的值,即可求出答案.
(2)通过抛物线的顶点坐标求得
(3)本题需先根据已知条件把y=0代入抛物线求出所要求的式子,再得出x的值,即可求出答案.
解:
(1)把x=0代入抛物线的解析式
得:
y=
5
4
,即柱子OA的高度是
5
4
(2)由题意得:
当x=
2
=1
2
(1)
时,y=
9
4
即水流距水平面的最大高度
(3)把y=0代入抛物线
得:
5
2x
x2=0,解得,x
1=
4
1
2
(舍去,不合题意),x2=
5
2
故水池的半径至少要
5
2
米才能使喷出的水流不至于落在池外
2.
(1)①
1
2
yx4;②10;
(2)①14.5;②47.
25
【解析】
试题分析:
(1)①利用待定系数法求函数解析式即可;②根据题意得出y=3时,求出x的值即可;
(2)①构造直角三角形利用BW
2=BC2+CW2
,求出即可;
222
②在RT△WGF中,由题可知,WF=14.5,WG=14.5﹣1=13.5,根据勾股定理知:
GF=WF﹣WG
,求出即可.
试题解析:
(1)①设抛物线解析式为:
2
yaxc,∵桥下水面宽度AB是20米,高CD是4米,∴A(﹣
10,0),B(10,0),D(0,4),∴
100ac0
c4
,解得:
a
c
4
1
25
,∴抛物线解析式为:
1
2
yx4;
25
②∵要使高为3米的船通过,∴y3,则
1
2
3x4,解得:
x5,∴EF=10米;
25
(2)①设圆半径r米,圆心为W,∵BW2=BC2+CW
2=BC2+CW
2
,∴
2(4)2102
rr,解得:
r14.5;
②在RT△WGF中,由题可知,WF=14.5,WG=14.5﹣1=13.5,根据勾股定理知:
GF﹣WG,即GF2=WF22=14.5
2=WF22=14.5
2
2
﹣13.5
2=28,所以GF=27,此时宽度EF=47米.
试卷第8页,总8页
考点:
1.二次函数的应用;2.垂径定理的应用.
三、1.
(1)y=-3x+240;
(2)w=-3x
2+360x-9600;(3)定价为55元时,可以获得最大利润是1125元.
【解析】
试题分析:
(1)根据题意知销售量y(只)与销售价x(元/只)之间的函数关系式为y=90-3(x-50)=-3x+240;
(2)根据“总利润=每件商品的利润×销售量”可知w=(x-40)y=(x-40)(-3x+240)=-3x
(3)求获得最大利润,也就是求函数w=-3x2+360x-9600的最大值.
2+360x-9600的最大值.
2+360x-9600;
试题解析:
(1)y=90-3(x-50)即y=-3x+240;
(2)w=(x-40)y=(x-40)(-3x+240)=-3x
2+360x-9600;
(3)当x≤60,y随x的增大而减小,
当x=55时,w最大=1125
所以定价为55元时,可以获得最大利润是1125元.
考点:
(1)一次函数;
(2)二次函数.
2.
(1)
2
w2x120x1600;
(2)该产品销售价定为每千克30元时,每天销售利润最大,最大销售利
润200元.
【解析】
试题分析:
(1)根据销售额=销售量×销售价单x,列出函数关系式;
(2)用配方法将
(2)的函数关系式变
形,利用二次函数的性质求最大值.
试题解析:
(1)由题意得:
2
wx20yx202x802x120x1600,
∴w与x的函数关系式为:
2
w2x120x1600.
(2)
2
2
w2x120x16002x30200,
∵﹣2<0,∴当x=30时,w有最大值.w最大值为200.
答:
该产品销售价定为每千克30元时,每天销售利润最大,最大销售利润200元.
考点:
1.二次函数的应用;2.由实际问题列函数关系式;3.二次函数的最值.
3.见解析
【解析】
试题分析:
(1)因为当x=1时,y=1.4;当x=3时,y=3.6,代入
2
yaxbx
得
ab1.4
9a3b3.6
解得
a
b
0.1
1.5
,所以,二次函数解析式为y=-0.1x
2
+1.5x;
(2)设购进A产品m吨,购进B产品(10-m)吨,销售A、B两种产品获得的利润之和为W元,根据题意
可列函数关系式为:
W=-0.1m2+1.5m+0.3(10-m)=-0.1m
2+1.5m+0.3(10-m)=-0.1m
次函数的性质知当m=6时,W有最大值6.6,
2+1.2m+3=-0.1(m-6)2+6.6,因为-0.1<0,根据二
试题解析:
(1)∵当x=1时,y=1.4;当x=3时,y=3.6,
试卷第9页,总9页
∴
ab1.4
9a3b3.6
解得
a
b
0.1
1.5
,
所以,二次函数解析式为y=-0.1x
2+1.5x;3分
(2)设购进A产品m吨,购进B产品(10-m)吨,销售A、B两种产品获得的利润之和为W元,
则W=-0.1m2+1.5m+0.3(10-m)=-0.1m
2+1.5m+0.3(10-m)=-0.1m
2+1.2m+3=-0.1(m-6)2+6.6,
∵-0.1<0,
∴当m=6时,W有最大值6.6,
∴购进A产品6吨,购进B产品4吨,销售A、B两种产品获得的利润之和最大,最大利润是6.6万元.
考点:
1.待定系数法求解析式.2.二次函数性质.
4.
(1)政府这个月为他承担的总差价为600元;
(2)当销售单价定为30元时,每月可获得最大利润4000;
(3)销售单价定为25元时,政府每个月为他承担的总差价最少为500元.
【解析】
试题分析:
(1)根据每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可求得每月销售量,又由单价和
成本间关系得到每件节能灯的差价,则可得到总差价.
(2)求每月可获得最大利润,即为求该二次函数的
最大值,将二次函数配方法,可得该函数的最大值.(3)w3000同时满足x£25,根据函数图象的性质
知道,k<0随x的增大而减小,当x=25时,该函数有最大值时,p有最小值500.
试题解析:
(1)当x=20时,y10x5001020500300,300?
(1210)=300?
2600,
∴政府这个月为他承担的总差价为600元。
2
2
(2)依题意得,w=x-1010x+500=10x+600x-5000=-10x-30+400
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- 初中 数学 实际问题 二次 函数 详解 练习 答案