高中数学解三角形 12 应用举例 时 距离问题课时作业 新人教B版必修5Word下载.docx
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,AC=BC=a,由余弦定理可得AB=a(km).
4.有一长为10m的斜坡,它的倾斜角是75°
,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°
,则坡底要延伸( C )
A.5mB.10m
C.10mD.10m
[解析] 如图,在△ABC中,由正弦定理,得=,
∴x=10m.
5.江岸边有一炮台高30m,江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为45°
和30°
,而且两条船与炮台底部连线成30°
角,则两条船相距( D )
A.10mB.100m
C.20mD.30m
[解析] 设炮台顶部为A,两条船分别为B、C,炮台底部为D,可知∠BAD=45°
,∠CAD=60°
,∠BDC=30°
,AD=30.分别在Rt△ADB、Rt△ADC中,求得BD=30,DC=30.在△DBC中,由余弦定理,得BC2=DB2+DC2-2DB·
DCcos30°
,解得BC=30.
6.海上的A、B两个小岛相距10nmile,从A岛望C岛和B岛成60°
的视角,则B岛与C岛之间的距离是( D )
A.10nmileB.nmile
[解析] 在△ABC中,C=180°
-60°
-75°
=45°
,由正弦定理,得=,解得BC=5nmile.
二、填空题
7.两船同时从A港出发,甲船以每小时20nmile的速度向北偏东80°
的方向航行,乙船以每小时12nmile的速度向北偏西40°
方向航行,一小时后,两船相距28nmile.
[解析] 如图,△ABC中,AB=20,AC=12,
∠CAB=40°
+80°
=120°
由余弦定理,得BC2=202+122-2×
20×
12·
cos120°
=784,∴BC=28(nmile).
8.湖中有一小岛,沿湖有一条南北方向的公路,在这条公路上的一辆汽车上测得小岛在南偏西15°
方向,汽车向南行驶1km后,又测得小岛在南偏西75°
方向,则小岛到公路的距离是km.
[解析] 如图,∠CAB=15°
∠CBA=180°
=105°
∠ACB=180°
-105°
-15°
=60°
AB=1km.由正弦定理=,
得BC==(km).设C到直线AB的距离为d,则d=BCsin75°
=×
=(km).
三、解答题
9.如图,甲船以每小时30nmile的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的北偏西105°
方向的B1处,此时两船相距20nmile.当甲船航行20min到达A2处时,乙船航行到甲船的北偏西120°
方向的B2处,此时两船相距10nmile,问乙船每小时航行多少nmile?
[解析] 解法一:
如图,连接A1B2,由已知,
A2B2=10,A1A2=30×
=10,
∴A1A2=A2B2,又∠A1A2B2=180°
-120°
∴△A1A2B2是等边三角形,
∴A1B2=A1A2=10.
由已知,A1B1=20,
∠B1A1B2=105°
由△A1B2B1中,由余弦定理,得
B1B=A1B+A1B-2A1B1·
A1B2·
cos45°
=202+(10)2-2×
10×
=200.
∴B1B2=10.
∴乙船的速度的大小为×
60=30nmile/h.
答:
乙船每小时航行30nmile.
解法二:
如图,连接A2B1.
A1A2=30×
=10,∠B1A1A2=105°
cos105°
=cos(45°
+60°
)
=cos45°
cos60°
-sin45°
sin60°
=.
sin105°
=sin(45°
=sin45°
+cos45°
在△A2A1B1中,由余弦定理,得
A2B=A1B+A1A-2A1B1·
A1A2·
=(10)2+202-2×
=100(4+2).
∴A2B1=10(1+).
由正弦定理,得sin∠A1A2B1=·
sin∠B1A1A2
∴∠A1A2B1=45°
,即∠B1A2B2=60°
-45°
=15°
cos15°
=sin105°
在△B1A2B2中,由已知,A2B2=10,
由余弦定理,得B1B=A2B+A2B-2A2B1·
A2B2·
=102(1+)2+(10)2-2×
10(1+)×
∴B1B2=10,
∴乙船速度的大小为×
60=30nmile/h,
能力提升
1.如图,一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15°
,与灯塔S相距20nmile,随后货轮按北偏西30°
的方向航行30min后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为( B )
A.20(+)nmile/hB.20(-)nmile/h
C.20(+)nmile/hD.20(-)nmile/h
[解析] 由题意可知∠NMS=45°
,∠MNS=105°
则∠MSN=180°
=30°
.而MS=20,
在△MNS中,由正弦定理,得=,
∴MN==
=
==10(-).
∴货轮的速度为10(-)÷
=20(-)nmile/h.
2.如图,一艘海轮从A处出发,以每小时40nmile的速度沿南偏东40°
的方向直线航行,30min后到达B处.C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°
,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°
,那么B、C两点间的距离是( A )
A.10nmileB.10nmile
C.20nmileD.20nmile
[解析] 由题目条件,知AB=20nmile,∠CAB=30°
,∠ABC=105°
,所以∠ACB=45°
.由正弦定理,得=,所以BC=10nmile,故选A.
3.甲船在岛A的正南B处,以4km/h的速度向正北航行,AB=10km,同时乙船自岛A出发以6km/h的速度向北偏东60°
的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间为min.
[解析] 如图,当两船航行th时,甲船到D处,乙船到C处,则AD=10-4t,AC=6t,∠CAD=120°
,若AD′=4t-10,AC=6t,∠CAD′=60°
所以CD2=(6t)2+(10-4t)2-2×
6t×
(10-4t)×
(-)=28t2-20t+100,
∴当t=h时,CD2最小,即两船最近,
t=h=min.
4.一船以24km/h的速度向正北方向航行,在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°
方向上,15min后到点B处望见灯塔在船的北偏东65°
方向上,则船在点B时与灯塔S的距离是5.2km.(精确到0.1km)
[解析] 作出示意图如图.由题意知,
则AB=24×
=6,
∠ASB=35°
,由正弦定理,得=,
可得BS≈5.2km.
5.碧波万顷的大海上,“蓝天号”渔轮在A处进行海上作业,“白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距“蓝天号”20nmile的B处.现在“白云号”以每小时10nmile的速度向正北方向行驶,而“蓝天号”同时以每小时8nmile的速度由A处向南偏西60°
方向行驶,经过多少小时后,“蓝天号”和“白云号”两船相距最近.
[解析] 如右图,设经过th,“蓝天号”渔轮行驶到C处,“白云号”货轮行驶到D处,此时“蓝天号”和“白云号”两船的距离为CD.则根据题意,知在△ACD中,AC=8t,AD=20-10t,∠CAD=60°
.由余弦定理,得
CD2=AC2+AD2-2×
AC×
ADcos60°
=(8t)2+(20-10t)2-2×
8t×
(20-10t)×
=244t2-560t+400=244(t-)2+400-244×
()2,
∴当t=时,CD2取得最小值,即“蓝天号”和“白云号”两船相距最近.
经过h后,“蓝天号”和“白云号”两船相距最近.
6.已知海岛B在海岛A的北偏东45°
方向上,A、B相距10nmile,小船甲从海岛B以2海里/小时的速度沿直线向海岛A移动,同时小船乙从海岛A出发沿北偏西15°
方向也以2nmile/h的速度移动.
(1)经过1h后,甲、乙两小船相距多少海里?
(2)在航行过程中,小船甲是否可能处于小船乙的正东方向?
若可能,请求出所需时间,若不可能,请说明理由.
[解析]
(1)经过1h后,甲船到达M点,乙船到达N点,
AM=10-2=8,AN=2,∠MAN=60°
所以MN2=AM2+AN2-2AM·
ANcos60°
=64+4-2×
8×
2×
=52.
所以MN=2.
所以经过1h后,甲、乙两小船相距2nmile.
(2)设经过t(0<
t<
5)小时小船甲处于小船乙的正东方向,则甲船与A距离为AE=(10-2t)nmile,乙船与A距离为AF=2tnmile,∠EAF=60°
,∠EFA=75°
则由正弦定理,得=,
即=,
则t===<
5.
经过小时小船甲处于小船乙的正东方向.
7.如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一从A沿直线步行到C,另一种是从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50m/min.在甲出发2min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1min后,再从B匀速步行到C、假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,山路AC长为1260m,经测量,cosA=,cosC=.
(1)求索道AB的长;
(2)问:
乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min,乙步行的速度应控制在什么范围内?
[解析]
(1)在△ABC中,因为cosA=,cosC=,
所以sinA=,sinC=.
从而sinB=sin[π-(A+C)]
=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC
+×
由正弦定理=,得
AB=×
sinC=×
=1040(m).
所以索道AB的长为1040m.
(2)假设乙出发t分钟后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130tm,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2×
130t×
(100+50t)×
=200(37t2-70t+50),
因0≤t≤,即0≤t≤8,
故当t=min时,甲、乙两游客距离最短.
(3)由正弦定理=,
得BC=×
sinA=×
=500(m).
乙从B出发时,甲已走了50×
(2+8+1)=550m,还需走710m才能到达C.设乙步行的速度为vm/min,由题意得-3≤-≤3,解得≤v≤,
所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min,乙步行的速度应控制在(单位:
m/min)范围内.
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