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-Nakagami-Rice分布(Nakagamin分布),
-伽玛分布和指数分布,
-Nakagamim分布,
-皮尔森2分布。
3高斯或正态分布
此分布适用于任何征候的连续变量。
概率密度的类型为:
p(x)=e"
)
T(x)为非负二阶多项式。
如果使用平均值m和标准方差匚,则p(x)可写为普通形式:
1(x_m
P(x)=—exp—q
erf(z)=笫Je
Z-2dt
因此:
且:
余补累积正态分布F(x)通常在表中使用简短的形式,即m为零且口为单位元素。
表1给出了一系列x或F(x)取整值的x与F(x)间关系。
表1
1-F(x)
0.5
1.282
10T
1
0.1587
2.326
10「
2
0.02275
3.090
10「
3
1.350x10-
3.719
10-4
4
3.167汽10-
4.265
10"
5
2.867汇10-
4.753
10七
6
9.866x10T0
5.199
10-7
5.612
为了实际计算,F(x)可用模拟函数表示,例如下式对正数x有效,且相对误差小于2.8
1-F(x)
1043:
在传播过程中涉及的大部分物理参量(功率、电压、衰减时间等)基本上都是正数参量,因此不能直接使用高斯分布表示。
另一方面,此分布在两类重要情况下使用:
-表示参量在其平均值附近波动(闪烁);
-表示某参量的对数。
这样我们便可得到下文中研究的对数正态分布。
存在一个所谓高斯坐标的图示已经上市,即在此分类中的高斯分布用直线表示。
基至对于非高斯分布的表达,也经常使用这些图示。
4对数正态分布
11
PE話于XP一
但是,在这些关系中,m和口并非变量x的平均和标准方差,而是此变量对数的平均和标准方差。
可轻易地算出变量x的特征参量。
我们发现:
-最或然值:
-中值:
-平均值:
-平方根值:
exp(m-
exp(m)
expm
CT
+——
exp(mr2)
a2
2丿
此分布为对数存在高斯分布的正数变量分布。
因此,可直接写出概率密度和余补累积密度:
-标准方差:
与高斯分布不同,对数正态分布特别不对称。
特别是平均值、中值和概率最大值(通常称为模)不相同(见表1)。
对数正态分布经常与传播相连,主要是针对与功率、场强电平或时间相关的参量。
功率或场强电平通常仅用分贝表示,这样参考电平的正态分布便更为常见。
对时间而言(例如衰减时长),由于自然变量为秒或分而不是其对数,所以可明确地使用对数正态分布。
lE态
对壷正态
由于对数正态分布变量的倒数也呈对数正态分布,此分布有时会出现在各类降雨率(时间的倒数)中。
例如,至少它可被用于表示中低降雨速率下的降雨率分布。
与高斯分布相比,可认为对数正态分布是指变量值,这些变量数值由众多做为个体来讲重要性不大,但会产生放大效应的原因构成。
5瑞利分布
瑞利分布适用于非限定性正连续变量,与高斯分布的关连如下。
呈零平均值的两独立变量y和z的二维高斯分布,且标准方差匚相同的情况下,随机变量
(8)
x-y2z2
表现为瑞利分布,且X的最或然值为匚。
鉴于X表示在二维高斯分布中心方向与此分布中的一点相交的矢量长度,因此可以断定,瑞利分布表示某矢量长度的分布,该矢量为大量低振幅且相位均匀分布的矢量之和。
图2表示函数p(x)和卩(X)。
图虎利彷布
概率密度和余补累积分布的公式为:
X
p(x)2exp
F(x)二1_exp
x2
2;
/
(10)
CJ
二2ln2=1.18匚
各类变量的特征值如下:
-标准方差:
注意,二为与瑞利分布相连的高斯分布标准方差。
瑞利分布通常仅在源头,即在x的较小值,附近使用。
在这种情况下:
F(x)二
此公式可理解为:
随机变量X的值小于x的概率与该值的平方成正比。
如果该变量为电压,则其平方表示信号的功率。
换言之,以分贝为单位,每出现十种概率功率会下降10dB。
此属性通常被用于查找接收电平是否至少呈渐近性的瑞利分布。
但应注意到,其它分布可能会有相同的表现。
瑞利分布特别会在散射现象中出现。
6对数正态分布和瑞利分布的组合
在某些情况下,随机变量的分布可视为两种分布,即长期变量对数正态分布和短期变量瑞利分布的组合。
瞬时值的分布可通过考虑瑞利变量值来获取,其中变量平均值(平均平方值)本身为具备对数正态分布的随机值变量。
+x-
exp
(12)
1-x2eg
如果用m和cr来指定与对数正态分布相关的高斯分布的平均和标准方差,贝U可得出下述分布计算公式:
(13)
在此公式中,标准方差二用奈培表示。
如果二的值用分贝表示则:
图3中的图表显示了一系列标准方差值的分布,其中m的值为零。
此分布主要出现非均匀媒介传播中,此时后者的特性中具有不可忽略的长期变量,例如:
对流层散射的情况。
20
40
■
J057-U3
103U5070
超纵哽杯北率的白分Itjl-AW)11100(%)
0.01
0.001
图3
1E态分和利瑶和分布的组介
(押对数正态好冷的标淮方差作対泰数)
7Nakagami-Rice分布(Nakagamin分布)(见注1)
注1-勿与Nakagamim分布混淆。
Nakagami-Rice分布亦源于高斯分布,是对瑞利分布的概括。
可将其看作是矢量长度的分布,其中所述矢量为固定矢量之和且其长度呈瑞利分布。
或者,在具有两个独立变量和y且使用相同标准方差二的二维高斯分布中,与此分布中心外一固定点分布相交的矢量长度,将呈Nakagami-Rice分布。
:
二
2a2
2/丿
如果a用于指定固定矢量的长度,且匚为瑞利矢量的最或然长度,则概率密度公式为:
式中Io为经修订的第一类零阶贝塞尔函数(Besselfunctions)。
此分布取决于两种参数,但为处理传播问题,有必要选择固定矢量振幅a与随机矢量
平方根振幅;
二2之间的关系。
此关系取决于拟采用的应用种类。
两类主要应用如下:
a)固定矢量的功率为常数,但固定和随机分量的总功率不同
研究粗糙表面光反射的影响,或考虑固定分量外的多径分量时,平均功率的计算使
用:
(a2+2cr2)。
该分布通常使用K定义:
(2)
K=10log上一dB(15)
R丿
即,固定矢量功率与随机分量之比。
b)固定和随机分量的总功率为常数,但两个分量会发生变化
为研究大气中的多径传播问题,可认为固定矢量功率之和及随机矢量的平均功率为
常数,因为随机矢量所载功率源来自固定矢量的功率。
如果总功率为1,贝U:
(16)
a22二2=1
Prob(Xx)=1
—F(x)=2exp-
a
2~2
.exp-2I02ad、
&
J2丿
(17)
且随机矢量承载的那部分功率等于2子。
如果X用于指定合成矢量的瞬时振幅,且x为此振幅的数值,则瞬时电平大于x的概率使用下述公式计算:
图4所示为随机矢量承载的不同功率值的分布情况。
-20
-30
-40
-50
IG!
7-4K
jgiji甘59
50RO90959R9999,999,99'
99,999
辺纵座标概率的百分比,(1—A(xj)次100(%)
图4
慣定池功分和倆机矢耻斫载功申为離数)
为方便实际应用,振幅使用分贝计量,概率的计量方式应使瑞利分布可用直线表示。
可以看出,当随机矢量功率值大于0.5时,曲线接近的限值呈瑞利分布。
其原因在于,在这种情况下,固定矢量的振幅与随机矢量的振幅同阶,基本无法区分。
另外,图中显示该部分内小值的振幅分布倾向于高斯分布。
8伽玛分布和指数分布
与此前源于高斯分布的各种分布不同,伽玛分布基于指数分布,是对指数分布的概括。
此分布适用于正非限定性变量。
概率密度为:
式中丨为二阶尤拉函数(Euler'
sFunction)。
此分布取决于两个参数「和。
但〉仅是变量x的计量参数。
变量的特征值如下:
-平均值:
V
Ct
-平方根值:
.(1、•)
■Vv
表达余补累积分布的整数无法用闭式评估,但v的整数值除外。
相反,可使用下述扩展表达式:
e~ax
(•1)
(GX)V
21十ax+(ax)+
v+1(¥
+1)(X2)....
(19)
x「:
:
1的极数逼近:
1—F(x)
(20)
Cx)2
.-1
.(•-1)(.-2)(ax)2
x21的渐近逼近:
十等于1的情况,为指数分配。
对于整数v,渐进扩展的项数是固定的,且明确的给出了伽玛分布。
传播中,'
的有用值为110^至110_4阶中的很小值。
零附近、••值的计算公式如
下:
(21)
-C)-C1)
因此,可将、••写为小值,而的值不太小:
CO
1-F(x)~、•
Fdt
实际计算时,可找到与上述整数近似的值,例如下述数值:
1-F(x)~、
e®
0.68亠二x0.28log、:
x
在…:
0.1且〉x■0.03的范围内有效。
用小血补充伽玛函数余补累积分布的情况如图5所示。
可以发现,比零大许多的x变量概率总是很小。
鉴于降雨时间总百分比通常在2%至10%这一范围内,此现象专门解释了
为何要使用伽玛分布表示降雨率。
9Nakagamim分布(见注1)
注1-此节中的m表示Nakagamim分布的一个参数;
并非本附件前几节中的平均值
2mm
(m)"
x2^1
(24)
此分布适用于非限定性正值。
概率密度等于:
「I为计量参数,为X2的平均值。
(25)
此分布与上文提到的分布存在着多种关系:
-如果某变量呈Nakagamim分布,则此变量的平方呈伽玛分布;
-当m=1时,得到的是瑞利分布;
-当m二1/2时,得到的是单侧正态分布。
因此可将Nakagamim分布和Nakagami-Rice分布视作对瑞利分布的两种不同概括。
应当注意,对于非常低的信号电平,Nakagamim分布的斜率接近取决于参数m的值,而与限值斜率不变的Nakagami-Rice分布不同(每十种概率为10dB)。
图6所示为参数m各值的累积Nakagamim分布。
阳5
仃1玛分布((1=1八七0.1》
边汛巫杯龜率的『分止,(1-円pmioor%j
加』§
剜6
Nakagami-m廿仓i
(Xi=1)
趙飆座标概率的百分比,(1-巩切*100(%)
C.O1
99J
3070如
W.OT99.W8
L057-D6
50
i.WV
ffip)惶皐
10
皮尔森2分布
通过下式计算概率密度:
£
(26)
p
(2)1—e〒
22r
<
、••为偶数:
卡为非限定性正变量,且正整数参数v为分布自由度的度数。
『表示Euler函数的第二阶。
根据;
的奇偶性,可得到:
(27)
V为奇数:
疋一恍一2).平(28)
余补累积分布的计算公式为:
472tV1
1T
F
(2)=、e2t2dt(29)
2匚丄0
平均和标准方差公式为:
m=、(30)
—2:
(31)
E2分布的一项基本属性为,当
n个xi变量的平均mi和标准方差G呈高斯分布时,变量
值:
(32)
2分布,自由度为1度。
呈2分布,自由度的角度为n。
具体讲,小高斯变量的平方呈
如果若干独立变量呈尸分布,则其和亦呈鼻2分布,且自由度的度数等于各变量自由度之和。
2分布与伽玛分布并无本质区别。
它们之间的相互转换可使用下述公式:
Z2
x(33)
n(34)
与之相似,从Z分布转换为Nakagami~m分布可使用下述公式:
v
m
统计测试中使用*分布来确定某参量(降雨率、衰减等)的一系列试验值是否可通过统计分布建模。
地織鸥忱啲帀彷上丿故,loo%
1057^07
图7
图7为一系列值分布的图形表示。
背景
附件2
通过对数正态余补累积分布模拟
余补累积分布的分步程序
对数正态累积分布定义如下:
或与之等效的:
与此类似,对数正态余补累积分布定义如下:
G(x)二exp
lnx_m
-t2l
dt
或与之等效的:
(40)
=Q
'
Inx—m
其中Q.是正态余补累积概率积分。
参数m和匚可以从一系列n对(Gi,xi)中估算得出,如下段所述。
步骤3:
通过执行线性方程的最小平方拟合确定变量m和二:
InXj二二Zjm
如下:
nnn
n'
ZjInXj召'
Inx.
j=1j=1j=1
■n|2
工Zj|
」=1」
n
2Zj2
nn
vIn^-;
、Zjm=j=1jm
2步骤
对两个对数正态参数m和;
「估算如下:
步骤1:
建立一n对(Gi,xJ集合,其中Gi是超过X的概率。
步骤2:
将n对集合从(Gi,Xi)转换为(Zi,lnxi),其中:
Zjf;
2erfc_12Gji=「-2erf一11-2Gj或与之等效的,Z^Q"
1Gi
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- 对数 正态分布