课时提升作业十六234Word下载.docx
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4.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点A∈α,A
l,直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥α,m∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是 ( )
A.AB∥mB.AC⊥m
C.AB∥βD.AC⊥β
【解析】选D.如图,AB∥l∥m,AC⊥l,m∥l⇒AC⊥m,AB∥l⇒AB∥β.
5.(2015·
郑州高一检测)已知平面α,β,γ,则下列命题中正确的是 ( )
A.α⊥β,β⊥γ,则α∥γ
B.α∥β,β⊥γ,则α⊥γ
C.α∩β=a,β∩γ=b,α⊥β,β⊥γ,则a⊥b
D.α⊥β,α∩β=a,a⊥b,则b⊥α
【解析】选B.A中α,γ可以相交;
C中如图:
a与b不一定垂直;
D中b仅垂直于α的一条直线a,不能判定b⊥α.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.平面α⊥平面β,α∩β=l,n⊂β,n⊥l,直线m⊥α,则直线m与n的位置关系是 .
【解析】因为α⊥β,α∩β=l,n⊂β,n⊥l,所以n⊥α.又m⊥α,所以m∥n.
答案:
平行
7.(2015·
太原高一检测)已知平面α,β,γ,直线l,m满足:
α⊥γ,γ∩α=m,γ∩β=l,l⊥m,那么①m⊥β;
②l⊥α;
③β⊥γ;
④α⊥β.由上述条件可推出的结论有 .(请将你认为正确的结论的序号都填上)
【解析】因为γ∩β=l,所以l⊂γ,因为α⊥γ,γ∩α=m,l⊥m,
所以l⊥α,又l⊂β,所以α⊥β.由于β可以绕l转动,位置不定,所以m⊥β和β⊥γ不一定成立.即②④正确,①③错误.
②④
【误区警示】应用面面垂直定理时,注意三点
(1)两个平面垂直是前提条件.
(2)直线必须在其中一个平面内.
(3)直线必须垂直于它们的交线.
8.(2015·
大同高一检测)如图,空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,
∠BAD=90°
且AB=AD,则AD与平面BCD所成的角是 .
【解析】过A作AO⊥BD于O点,
因为平面ABD⊥平面BCD,
所以AO⊥平面BCD,则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角.
因为∠BAD=90°
AB=AD,所以∠ADO=45°
.
45°
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2015·
临沂高一检测)如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧面SDC⊥底面ABCD,求证:
平面SCD⊥平面SBC.
【证明】因为底面ABCD是矩形,所以BC⊥CD.
又平面SDC⊥平面ABCD,
平面SDC∩平面ABCD=CD,BC⊂平面ABCD,
所以BC⊥平面SCD.
又因为BC⊂平面SBC,
所以平面SCD⊥平面SBC.
【补偿训练】如图,α⊥β,α∩β=l,AB⊂α,AB⊥l,BC⊂β,DE⊂β,BC⊥DE.求证:
AC⊥DE.
【证明】因为α⊥β,α∩β=l,AB⊂α,AB⊥l,所以AB⊥β.
因为DE⊂β,所以AB⊥DE.
因为BC⊥DE,AB∩BC=B,
所以DE⊥平面ABC.
因为AC⊂平面ABC,所以AC⊥DE.
10.如图,已知平面α⊥平面β,在α与β的交线上取线段AB=4cm,AC,BD分别在平面α和平面β内,它们都垂直于交线AB,并且AC=3cm,BD=12cm,求CD的长.
【解析】连接BC.因为α⊥β,α∩β=AB,BD⊥AB,
所以BD⊥平面α.
因为BC⊂α,所以BD⊥BC,
在Rt△BAC中,
BC=
=
=5,
在Rt△DBC中,CD=
=13,
所以CD长为13cm.
【补偿训练】已知在四棱锥S-ABCD中,SD⊥平面ABCD,AB∥DC,AB=AD=1,SD=2,BC⊥BD,AD⊥AB,E为棱SB上的一点,平面EDC⊥平面SBC.
证明:
(1)DE⊥平面SBC.
(2)SE=2EB.
【证明】
(1)如图,因为SD⊥平面ABCD,
故BC⊥SD,又BC⊥BD,
所以BC⊥平面BDS,所以BC⊥DE.
作BK⊥EC,K为垂足,由平面EDC⊥平面SBC,平面EDC∩平面SBC=EC,故BK⊥平面EDC.
又DE⊂平面EDC,所以BK⊥DE.
又因为BK⊂平面SBC,BC⊂平面SBC,BK∩BC=B,
所以DE⊥平面SBC.
(2)由
(1)知DE⊥SB,DB=
所以SB=
在直角三角形SDB中,
由等积法知SD·
DB=SB·
DE,
所以DE=
EB=
SE=SB-EB=
所以SE=2EB.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.如图所示,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB与两平面α,β所成的角分别为
和
.过A,B分别作两平面交线的垂线,垂足分别为A′、B′,则AB∶A′B′等于
( )
A.2∶1 B.3∶1 C.3∶2 D.4∶3
【解析】选A.如图,由已知得AA′⊥β,∠ABA′=
BB′⊥α,∠BAB′=
设AB=a,则BA′=
a,BB′=
a,在Rt△BA′B′中,A′B′=
a,所以
2.(2015·
聊城高一检测)如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α上,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C运动形成的图形是 ( )
A.一条线段
B.一条直线
C.一个圆
D.一个圆,但要去掉两个点
【解析】选D.因为平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,AC⊂平面PAC,且平面PAC∩平面PBC=PC,所以AC⊥平面PBC.
又因为BC⊂平面PBC,所以AC⊥BC,所以∠ACB=90°
所以动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆,除去A和B两点.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2015·
安庆高一检测)α,β是两个不同的平面,m,n是平面α及β之外的两条不同的直线,给出四个论断:
①m⊥n;
②α⊥β;
③n⊥β;
④m⊥α.
以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:
.
【解析】利用面面垂直的判定,可知①③④⇒②为真;
利用面面垂直的性质,可知②③④⇒①为真.所以应填“若①③④则②”,或“若②③④则①”.
若①③④则②(或若②③④则①)
4.(2015·
合肥高一检测)如图,平行四边形ABCD中,AB⊥BD,沿BD将△ABD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AC,则在四面体ABCD的四个面中,互相垂直的平面的对数为 .
【解析】因为平面ABD⊥平面BCD,
平面ABD∩平面BCD=BD,AB⊥BD,
所以AB⊥平面BCD.
所以平面ABC⊥平面BCD,
因为AB⊥BD,AB∥CD,所以CD⊥BD.
又因为平面ABD⊥平面BCD,
所以CD⊥平面ABD,
所以平面ACD⊥平面ABD,共3对.
3
【延伸拓展】在垂直的判定定理和性质定理中,有很多限制条件,如“相交直线”“线在面内”“平面经过一直线”等.这些条件一方面有很强的约束性,另一方面又为证明指出了方向.在利用定理时,既要注意定理的严谨性,又要注意推理的规律性.
5.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA⊥PD,底面ABCD是直角梯形,其中BC∥AD,∠BAD=90°
AD=3BC,O是AD上一点.
(1)若CD∥平面PBO,试指出点O的位置.
(2)求证:
平面PAB⊥平面PCD.
【解析】
(1)因为CD∥平面PBO,CD⊂平面ABCD,
且平面ABCD∩平面PBO=BO,
所以BO∥CD.
又BC∥AD,所以四边形BCDO为平行四边形.
则BC=DO,而AD=3BC,
所以AD=3OD,即点O是靠近点D的线段AD上的一个三等分点.
(2)因为侧面PAD⊥底面ABCD,侧面PAD∩底面ABCD=AD,AB⊂底面ABCD,且AB⊥AD,
所以AB⊥平面PAD.
又PD⊂平面PAD,所以AB⊥PD.
又PA⊥PD,且PA⊂平面PAB,AB⊂平面PAB,AB∩PA=A,所以PD⊥平面PAB.
又PD⊂平面PCD,所以平面PAB⊥平面PCD.
6.如图,已知V是△ABC所在平面外一点,VB⊥平面ABC,平面VAB⊥平面VAC,求证:
△ABC是直角三角形.
【证明】过B作BD⊥VA于D,
因为平面VAB⊥平面VAC,所以BD⊥平面VAC,
所以BD⊥AC,又因为VB⊥平面ABC,所以VB⊥AC,
VB∩BD=B,
所以AC⊥平面VAB,所以AC⊥BA,
即△ABC是直角三角形.
【拓展延伸】垂直关系的知识总结
线面垂直的关键,定义来证最常见;
判定定理也常用,它的意义要记清;
平面之内两直线,两线交于一个点;
面外还有一条线,垂直两线是条件.
面面垂直要证好,原有图中去寻找;
若是这样还不好,辅助线面是个宝.
先作交线的垂线,面面转为线和面;
再证一步线和线,面面垂直即可见.
借助辅助线和面,加的时候不能乱;
以某性质为基础,不能主观凭臆断.
判断线和面垂直,线垂面中两交线.
两线垂直同一面,相互平行共伸展.
两面垂直同一线,一面平行另一面.
要让面和面垂直,面过另面一垂线.
面面垂直成直角,线面垂直记心间.
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