全国卷高三理科数学总复习第五节 直线平面垂直的判定及其性质001Word格式.docx
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(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理:
1.(质疑夯基)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α.( )
(2)垂直于同一个平面的两平面平行.( )
(3)若两条直线与一个平面所成的角相等,则这两条直线平行.( )
(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β.( )
答案:
(1)×
(2)×
(3)×
(4)×
2.下列命题中不正确的是( )
A.如果平面α⊥平面β,且直线l∥平面α,则直线l⊥平面β
B.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β
C.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
D.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥γ.
解析:
根据面面垂直的性质定理,A项中l⊂β,l∥β或l⊥β.
A
3.(2015·
浙江卷)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β.( )
A.若l⊥β,则α⊥β B.若α⊥β,则l⊥m
C.若l∥β,则α∥βD.若α∥β,则l∥m
∵l⊥β,l⊂α,∴α⊥β(面面垂直的判定定理),故A正确.
4.如图,已知PA⊥平面ABC,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为________.
∵PA⊥平面ABC
∴PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC
则△PAB,△PAC为Rt△
由BC⊥AC,且AC∩PA=A
∴BC⊥平面PAC,从而BC⊥PC
因此△ABC,△PBC也是Rt△.
4
5.如果正四棱锥的底面边长为2,侧面积为4
,则它的侧面与底面所成的(锐)二面角的大小为________.
如图,O为底面正方形的中心,据题意易得,该正四棱锥的一个侧面三角形PBC的高PE的长为
,因此正四棱锥的高PO=
=1.
∵∠PEO的大小为侧面与底面所成的(锐)二面角的大小,∴侧面与底面所成的(锐)二面角的大小为45°
.
45°
一种关系
垂直问题的转化关系.
三类证法
1.证明线线垂直的方法.
两条直线所成的角为90°
;
(2)平面几何中证明线线垂直的方法;
(3)线面垂直的性质:
a⊥α,b⊂α⇒a⊥b;
(4)线面垂直的性质:
a⊥α,b∥α⇒a⊥b.
2.证明线面垂直的方法.
(1)线面垂直的定义:
a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α;
(2)判定定理1:
⇒l⊥α;
(3)判定定理2:
a∥b,a⊥α⇒b⊥α;
(4)面面平行的性质:
α∥β,a⊥α⇒a⊥β;
(5)面面垂直的性质:
α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.
3.证明面面垂直的方法.
(1)利用定义:
两个平面相交,所成的二面角是直二面角;
a⊂α,a⊥β⇒α⊥β.
A级 基础巩固
一、选择题
1.(2016·
佛山一中期中)设α、β、γ为不同的平面,m、n、l为不同的直线,则m⊥β的一个充分条件为( )
A.α⊥β,α∩β=l,m⊥l B.α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γ
C.α⊥γ,β⊥γ,m⊥αD.n⊥α,n⊥β,m⊥α
A中,缺少条件m⊂α,不满足面面垂直的性质定理,不正确.在选项B,C中,平面α与β可能平行或相交,推不出m⊥β.在D中,n⊥α,n⊥β,则α∥β,根据m⊥α,得m⊥β,D正确.
D
2.(经典再现)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则( )
A.α∥β且l∥α
B.α⊥β且l⊥β
C.α与β相交,且交线垂直于l
D.α与β相交,且交线平行于l
根据所给的已知条件作图,如图所示.由图可知α与β相交,且交线平行于l,因此选项D正确.
3.如图,在正四面体PABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论不成立的是( )
A.BC∥平面PDF
B.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面PAE
D.平面PDE⊥平面ABC
因为BC∥DF,DF⊂平面PDF,BC⊄平面PDF,
所以BC∥平面PDF,故选项A正确.
在正四面体中,AE⊥BC,PE⊥BC,DF∥BC,
∴BC⊥平面PAE,则DF⊥平面PAE,从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B、C均正确.
4.(2014·
浙江卷)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.( )
A.若m⊥n,n∥α,则m⊥α
B.若m∥β,β⊥α,则m⊥α
C.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α
D.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α
A中,由m⊥n,n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α,错误;
B中,由m∥β,β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α,错误;
C中,由m⊥β,n⊥β可得m∥n,又n⊥α,所以m⊥α,正确;
D中,由m⊥n,n⊥β,β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α,错误.
C
5.如图所示,AB是⊙O的直径,VA垂直于⊙O所在的平面,点C是圆周上不同于A,B的任意一点,M,N分别为VA,VC的中点,则下列结论正确的是( )
A.MN∥AB
B.MN与BC所成的角为45°
C.OC⊥平面VAC
D.平面VAC⊥平面VBC
由圆的性质,BC⊥AC.
又VA⊥平面ABC,则VA⊥BC.
从而BC⊥平面VAC,平面VAC⊥平面VBC.
因此C不正确,D正确.
由于MN∥AC,BC⊥AC,所以A,B不正确.
二、填空题
6.如图所示,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
由定理可知,BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,有PC⊥平面MBD.
又PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.
DM⊥PC(或BM⊥PC等)
7.(2016·
石家庄调研)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,各棱长都相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________.
取BC的中点E,连接AE,DE,则AE⊥平面BB1C1C.
所以∠ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角.
设三棱柱的所有棱长为a,
在Rt△AED中,
AE=
a,DE=
所以tan∠ADE=
=
,则∠ADE=
故AD与平面BB1C1C所成的角为
8.如图所示,在三棱锥DABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列命题中正确的是________(填序号).
①平面ABC⊥平面ABD;
②平面ABC⊥平面BCD;
③平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE;
④平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE.
由AB=CB,AD=CD,E为AC中点,
则AC⊥DE,AC⊥BE,
又DE∩BE=E,从而AC⊥平面BDE.
所以平面ABC⊥平面BDE,平面ACD⊥平面BDE,③正确.
③
三、解答题
9.(2016·
西安质检)如图所示,在三棱锥PABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.
求证:
(1)直线PA∥平面DEF;
(2)平面BDE⊥平面ABC.
证明:
(1)因为D,E分别为棱PC,AC的中点,所以DE∥PA.
又因为PA⊄平面DEF,DE⊂平面DEF,
所以直线PA∥平面DEF.
(2)因为D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,PA=6,BC=8,所以DE∥PA,DE=
PA=3,EF=
BC=4.
又因为DF=5,故DF2=DE2+EF2,
所以∠DEF=90°
,即DE⊥EF.
又PA⊥AC,DE∥PA,所以DE⊥AC.
因为AC∩EF=E,AC⊂平面ABC,EF⊂平面ABC,
所以DE⊥平面ABC.
又DE⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABC.
10.(2014·
湖南卷)如图所示,已知二面角αMNβ的大小为60°
,菱形ABCD在面β内,A,B两点在棱MN上,∠BAD=60°
,E是AB的中点,DO⊥面α,垂足为O.
(1)证明:
AB⊥平面ODE;
(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值.
如图,因为DO⊥α,AB⊂α,所以DO⊥AB.连结BD,由题设知,△ABD是正三角形.又E是AB的中点,所以DE⊥AB.而DO∩DE=D,故AB⊥平面ODE.
(2)解:
因为BC∥AD,所以BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角,即∠ADO是BC与OD所成的角(或其补角).
由
(1)知,AB⊥平面ODE,所以AB⊥OE.
又DE⊥AB,于是∠DEO是二面角αMNβ的平面角,从而∠DEO=60°
不妨设AB=2,则AD=2,易知DE=
在Rt△DOE中,DO=DE·
sin60°
连结AO,在Rt△AOD中,cos∠ADO=
故异面直线BC与OD所成角的余弦值为
B级 能力提升
1.如图,在正四棱锥SABCD中,E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,动点P在线段MN上运动时,下列四个结论:
①EP⊥AC;
②EP∥BD;
③EP∥面SBD;
④EP⊥面SAC中恒成立的为( )
A.①③ B.③④ C.①② D.②③④
∵E,M,N是BC,CD,SC的中点,
∴EN∥SB,EM∥BD,
从而可得EN∥平面SBD,EM∥平面SBD.
又EN与EM是平面EMN内的两条相交直线,
∴平面EMN∥平面SBD,故EP∥平面SBD,
因此③正确,当点P与M不重合时,②不正确.
在正四棱锥SABCD中,AC⊥平面SBD.
从而AC⊥平面EMN,
由EP⊂平面EMN,得AC⊥EP,①正确.
又易知EM⊥平面SAC,因此④不恒成立.
2.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点F在线段AA1上,当AF=________时,CF⊥平面B1DF.
∵B1D⊥平面A1ACC1,∴CF⊥B1D.
为了使CF⊥平面B1DF,只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F).
设AF=x,则CD2=DF2+FC2,
∴x2-3ax+2a2=0,∴x=a或x=2a.
a或2a
天津卷)如图,已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=2
,AA1=
,BB1=2
,点E和F分别为BC和A1C的中点.
(1)求证:
EF∥平面A1B1BA;
(2)求证:
平面AEA1⊥平面BCB1;
(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小.
如图,连接A1B.在△A1BC中,因为E和F分别是BC和A1C的中点,所以EF∥BA1.
又因为EF⊄平面A1B1BA,
所以EF∥平面A1B1BA.
(2)证明:
因为AB=AC,E为BC的中点,
所以AE⊥BC.
因为AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,
所以BB1⊥平面ABC,从而BB1⊥AE.
又因BC∩BB1=B,所以AE⊥平面BCB1.
由于AE⊂平面AEA1,
所以平面AEA1⊥平面BCB1.
(3)解:
取BB1的中点M和B1C的中点N,连接A1M,A1N,NE.
因为N和E分别为B1C和BC的中点,
所以NE∥B1B,NE=
B1B,故NE∥A1A且NE=A1A,所以A1N∥AE,且A1N=AE.
又因为AE⊥平面BCB1,所以A1N⊥平面BCB1,
从而∠A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角.
在△ABC中,可得AE=2,所以A1N=AE=2.
因为BM∥AA1,BM=AA1,所以A1M∥AB,A1M=AB.
又由AB⊥BB1,有A1M⊥BB1.
在Rt△A1MB1中,可得A1B1=
=4.
在Rt△A1NB1中,sin∠A1B1N=
,
因此∠A1B1N=30°
所以,直线A1B1与平面BCB1所成的角为30°
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