必修一对数函数专题复习.docx
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一、教学目标
1.理解对数的概念,能进行指数式与对数式的互化.
2.掌握对数的运算性质及其推导.
3.能运用对数运算性质进行化简、求值和证明.
4.掌握对数函数的概念、图象和性质.
5.能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质,把握指数函数与对数函数关系的实质.
二、上课内容
1、对数和对数运算
2、对数函数
3、对数函数的性质
4、对数函数的图像
三、课后作业
见课后作业
四、家长签名
(本人确认:
孩子已经完成“课后作业”)_________________
对数函数
对数及其运算
【知识点解析】
1.对数的概念
一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
说明:
(1)实质上,上述对数表达式,不过是指数函数y=ax的另一种表达形式,例如:
34=81与4=log381这两个式子表达是同一关系,因此,有关系式ax=N⇔x=logaN,从而得对数恒等式:
alogaN=N.
(2)“log”同“+”“×”“”等符号一样,表示一种运算,即已知一个数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面.
(3)根据对数的定义,对数logaN(a>0,且a≠1)具有下列性质:
①零和负数没有对数,即N>0;
②1的对数为零,即loga1=0;
③底的对数等于1,即logaa=1.
2.对数的运算法则
利用对数的运算法则,可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算,反之亦然.这种运算的互化可简化计算方法,加快计算速度.
(1)基本公式
①loga(MN)=logaM+logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0),即正数的积的对数,等于同一底数的各个因数的对数的和.
②loga=logaM-logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0),即两个正数的商的对数,等于被除数的对数减去除数的对数.
③logaMn=n·logaM(a>0,a≠1,M>0,n∈R),即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数.
(2)对数的运算性质注意点
①必须注意M>0,N>0,例如loga[(-3)×(-4)]是存在的,但是loga(-3)与loga(-4)均不存在,故不能写成loga[(-3)×(-4)]=loga(-3)+loga(-4).
②防止出现以下错误:
loga(M±N)=logaM±logaN,loga(M·N)=logaM·logaN,loga=,logaMn=(logaM)n.
3.对数换底公式
在实际应用中,常碰到底数不为10的对数,如何求这类对数,我们有下面的对数换底公式:
logbN=(b>0,且b≠1;c>0,且c≠1;N>0).
证明 设logbN=x,则bx=N.两边取以c为底的对数,
得xlogcb=logcN.所以x=,即logbN=.
换底公式体现了对数运算中一种常用的转化,即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数,这是数学转化思想的具体应用.
由换底公式可推出下面两个常用公式:
(1)logbN=或logbN·logNb=1(N>0,且N≠1;b>0,且b≠1);
(2)logbnNm=logbN(N>0;b>0,且b≠1;n≠0,m∈R)
对数与对数运算
(一)
【例题解析】
题型一 正确理解对数运算性质
例1、对于a>0且a≠1,下列说法中,正确的是( )
①若M=N,则logaM=logaN;
②若logaM=logaN,则M=N;
③若logaM2=logaN2,则M=N;
④若M=N,则logaM2=logaN2.
A.①与③ B.②与④ C.② D.①、②、③、④
题型二 对数运算性质的应用
例2、求下列各式的值:
(1)2log32-log3+log38-5log53;
(2)lg25+lg8+lg5·lg20+(lg2)2;
(3).
题型三 对数换底公式的应用
例3、计算:
(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258).
题型四易错分析
例4、已知log(x+3)(x2+3x)=1,求实数x的值.
【课堂练习】
1.对数式log(a-3)(7-a)=b,实数a的取值范围是( )
2.设a=log32,则log38-2log36用a表示的形式是( )
A.a-2B.3a-(1+a)2C.5a-2D.-a2+3a-1
3.log56·log67·log78·log89·log910的值为( )
A.1B.lg5C.D.1+lg2
4.已知loga(a2+1) A.(0,1)B.C.D.(1,+∞) 5.已知函数f(x)=ax-1+logax(a>0,a≠1)在[1,3]上最大值与最小值之和为a2,则a的值为( ) A.4B.C.3D. 6.若方程(lgx)2+(lg7+lg5)lgx+lg7·lg5=0的两根为α,β,则αβ等于( ) A.lg7·lg5B.lg35C.35D. 7.已知f(log2x)=x,则f=________. 8.log(-1)(+1)=________. 9.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,lgx=-2+0.7781,则x=________. 10. (1)已知lgx+lgy=2lg(x-2y),求log的值; (2)已知log189=a,18b=5,试用a,b表示log365. 11.设a,b,c均为不等于1的正数,且ax=by=cz,++=0,求abc的值. 12.已知a,b,c是△ABC的三边,且关于x的方程x2-2x+lg(c2-b2)-2lga+1=0有等根,试判定△ABC的形状. 对数与对数运算 (二) 题型一、对数式有意义的条件 例1 求下列各式中x的取值范围: (1)log2(x-10); (2)log(x-1)(x+2);(3)log(x+1)(x-1)2. 变式1 在b=log(a-2)(5-a)中,实数a的取值范围是( ) A.a>5或a<2 B.2 题型二、对数式与指数式的互化 例2 将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式: (1)54=625; (2)log8=-3; (3)-2=16;(4)log101000=3. 题型三、对数恒等式的应用 例3 (1)alogab·logbc·logcN的值(a,b,c∈R+,且不等于1,N>0); (2)4(log29-log25). 【小结】 1.一般地,如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,就是ab=N,那么b叫做以a为底N的对数,记作logaN=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. 2.利用ab=N⇔b=logaN(其中a>0,a≠1,N>0)可以进行指数与对数式的互化. 3.对数恒等式: alogaN=N(a>0且a≠1). 【课堂练习】 一、选择题 1.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A.100=1与lg1=0B.27-=与log27=- C.log3=9与9=3D.log55=1与51=5 2.指数式b6=a(b>0,b≠1)所对应的对数式是( ) A.log6a=aB.log6b=aC.logab=6D.logba=6 3.若logx(-2)=-1,则x的值为( ) A.-2B.+2C.-2或+2D.2- 4.如果f(10x)=x,则f(3)等于( ) A.log310B.lg3C.103D.310 二、解答题 1.求下列各式中x的值 (1)若log3=1,则求x值; (2)若log2003(x2-1)=0,则求x值. 2.求x的值: (1)x=log4; (2)x=log9;(3)x=71-log75; (4)logx8=-3;(5)logx=4. 对数与对数运算(三) 题型一、正确理解对数运算性质 例1 若a>0,a≠1,x>0,y>0,x>y,下列式子中正确的个数有( ) ①logax·logay=loga(x+y); ②logax-logay=loga(x-y); ③loga=logax÷logay; ④loga(xy)=logax·logay. 变式1 若a>0且a≠1,x>0,n∈N*,则下列各式正确的是( ) A.logax=-logaB.(logax)n=nlogaxC.(logax)n=logaxnD.logax=loga 题型二、对数运算性质的应用 例2 计算: (1)log535-2log5+log57-log51.8; (2)2(lg)2+lg·lg5+; (3)(lg5)2+lg2·lg50. 题型三、换底公式的应用 例3 (1)设3x=4y=36,求+的值; (2)已知log189=a,18b=5,求log3645. 变式3 (1)设log34·log48·log8m=log416,求m; (2)已知log1227=a,求log616的值. 【小结】 1.对于同底的对数的化简常用方法是: (1)“收”,将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数; (2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差). 2.对于常用对数的化简要充分利用“lg5+lg2=1”来解题. 3.对于多重对数符号对数的化简,应从内向外逐层化简求值. 【课堂练习】 1.lg8+3lg5的值为( ) A.-3B.-1C.1D.3 2.已知lg2=a,lg3=b,则log36等于( ) A.B.C.D. 3.若lga,lgb是方程2x2-4x+1=0的两个根,则2的值等于( ) A.2B.C.4D. 4.若2.5x=1000,0.25y=1000,则-等于( ) A.B.3C.-D.-3 5.设函数f(x)=logax(a>0,且a≠1),若f(x1x2…x2005)=8,则f(x)+f(x)+…+f(x)的值等于( ) A.4B.8C.16D.2loga8 6.若26a=33b=62c,求证: +=. 对数函数及其性质 【知识点解析】 1.对数函数的概念 形如y=logax(a>0且a≠1)的函数叫做对数函数. 对于对数函数定义的理解,要注意: (1)对数函数是由指数函数变化而来的,由指数式与对数式关系知,对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y,所以对数函数的定义域是(0,+∞); (2)对数函数的解析式y=logax中,logax前面的系数为1,自变量在真数的位置,底数a必须满足a>0,且a≠1; (3)以10为底的对数函数为y=lgx,以e为底的对数函数为y=lnx. 2.对数函数的图象及性质: a>1 0 图象 性质 函数的定义域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞) 函数图象恒过定点(1,0),即恒有loga1=0 当x>1时,恒有y>0; 当0 当x>1时,恒有y<0; 当0 函数在定义域(0,+∞)上为增函数 函数在定义域(0,+∞)上为减函数 3.指数函数与对数函数的关系比较 名称 指数函数 对数函数 解析式 y=ax(a>0,且a≠1) y=logax(a>0,且a≠1) 定义域 (-∞,+∞) (0,+∞) 值域 (0,+∞) (-∞,+∞) 函数值变 化情况 a>1时, ; 0 x a>1时,logax ; 0 图象必 过定点 点(0,1) 点(1,0) 单调性 a>1时,y=ax是增函数; 0 a>1时,y=logax是增函数; 0 图象 y=ax的图象与y=logax的图象关于直线y=x对称 实际上,观察对数函数的图象不难发现,对数函数中的值y=logmn有以下规律: (1)当(m-1)(n-1)>0,即m、n范围相同(相对于“1”而言),则logmn>0; (2)当(m-1)(n-1)<0,即m、n范围相反(相对于“1”而言),则logmn<0.有了这个规律,我们再判断对数值的正负就很简单了,如log2<0,log52>0等,一眼就看出来了! 【例题讲解】 题型一 求函数定义域 例1、求下列函数的定义域: (1)y=log3x-1; (2)y=(a>0,a≠1). 题型二 对数单调性的应用 例2、 (1)log43,log34,log的大小顺序为( ) A.log34 C.log34>log>log43D.log>log34>log43 (2)若a2>b>a>1,试比较loga,logb,logba,logab的大小. 【小结】 比较对数的大小,一般遵循以下几条原则: ①如果两对数的底数相同,则由对数函数的单调性(底数a>1为增;0 ②如果两对数的底数和真数均不相同,通常引入中间变量进行比较. ③如果两对数的底数不同而真数相同,如y=loga1x与y=loga2x的比较(a1>0,a1≠1,a2>0,a2≠1). 当a1>a2>1时,曲线y1比y2的图象(在第一象限内)上升得慢.即当x>1时,y1 当0 题型三 函数图象的应用 例3若不等式2x-logax<0,当x∈时恒成立,求实数a的取值范围. 题型四易错分析 例4设函数f(x)=lg(ax2+2x+1),若f(x)的值域是R,求实数a的取值范围. 【课堂练习】 1.已知函数f(x)=的定义域为集合M,g(x)=ln(1-x)的定义域为集合N,则M∩N等于( ) A.{x|x>-1}B.{x|x<1}C.D.∅ 2.已知函数f(x)=lg,若f(a)=,则f(-a)等于( ) A.B.-C.-2D.2 3.已知a=log23,b=log32,c=log42,则a,b,c的大小关系是( ) A.c 4.函数f(x)=lg|x|为( ) A.奇函数,在区间(0,+∞)上是减函数 B.奇函数,在区间(0,+∞)上是增函数 C.偶函数,在区间(-∞,0)上是增函数 D.偶函数,在区间(-∞,0)上是减函数 5.函数y=ax与y=-logax(a>0,且a≠1)在同一坐标系中的图象只可能为( ) 6.设函数f(x)=log2a(x+1),若对于区间(-1,0)内的每一个x值都有f(x)>0,则实数a的取值范围为( ) A.(0,+∞)B.C.D. 7.已知f(x)=1+log2x(1≤x≤4),求函数g(x)=f2(x)+f(x2)的最大值和最小值. 对数函数的图像 一、对数函数的图象 例1 下图是对数函数y=logax的图象,已知a值取,,,,则图象C1,C2,C3,C4相应的a值依次是( ) A.B. C.D. 【小结】 函数y=logax(a>0,且a≠1)的底数a的变化对图象位置的影响如下: ①上下比较: 在直线x=1的右侧,底数大于1时,底数越大,图象越靠近x轴;底数大于0且小于1时,底数越小,图象越靠近x轴. ②左右比较: (比较图象与y=1的交点)交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. 二、求函数的定义域 例2 求下列函数的定义域: (1)y=; (2)y=;(3)y=log(x+1)(2-x). 三、对数函数单调性的应用 例3 比较大小: (1)log0.81.5与log0.82; (2)log35与log64. 例4 若-1 【课后作业】 一、选择题 1.当a>1时,在同一坐标系中,函数y=a-x与y=logax的图象是( ) 2.函数y=的定义域是( ) A.[1,+∞)B.C.D. 3.已知a=log0.70.8,b=log1.10.9,c=1.10.9,则a、b、c的大小关系是( ) A.a 4.设a>1,函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之和为4,则a等于( ) A.B.2C.2D.4 5.若loga<1,则a的取值范围是( ) A.a>1B.01C.0 二、填空题 6.若f(x)=则满足f(x)=的x的值为________. 7.函数f(x)=log3x的反函数为__________.,答案 f(x)=3x,8.对数函数f(x)的图象过点P(8,3),则f=______. 三、解答题 9.已知f(x)=loga(a>0且a≠1),其定义域为(-1,1),试判断f(x)的奇偶性并证明. 10.求函数y=loga(a-ax)(a>0,且a≠1)的定义域和值域. 17
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