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丄平面
因为/Cu平面ABC,所以CC;
丄/C.
又因为仏C丄BC,BCACQ=C,BC,CC]U平面BCC^,所以AC1平面BCCq.
因为ACu平面ACD,所以平面/CD丄平面BCC\B[.
(2)(方法一)取/C的中点连结辨,EF.
因为在AABC中,E是3。
的中点,尸是/C的中点,
所以EF〃如,REF=^AB.8分
因为。
是4同的中点,所以
又因为在棱柱ABC-AlBlCl中,4B〃&
B"
且AB=,
所以时〃£
>
3i,且EF=DBi,10分
所以四边形SBi是平行四边形,所以B.E//FD.
因为平面/DC,FDu平面由汇,
10分
所以方占〃平面/CD.
(方法二)取08的中点G,连结EG,BiG.
的中点,G是的中点,所以EG//AC.
因为GE平面ACD,/Cu平面ACD,
所以EG〃平面ACD.8分
在棱柱ABC-AlBlCl中,AB/ZAiBi,且AB=AiB},
是4同的中点,G是08的中点,
所以AG//DB,,且AG=DB1,
所以四边形AGB.D是平行四边形,所以BiGZ/AD.
因为平面ACD,ACu平面ACD,
所以3iG〃平面ACD.
又因为EG〃平面ACD,BG,GEu平面BiGE,BfinGE=G,
所以平面〃平面ACD-12分
因为BiEu平面BiGE,
所以B.E//平面ACD.14分
17.过点。
作OD1BC于点则D为BC的中点.又△/3C为等腰三角形,所以4O,。
三点共线,所以匕4。
8=匕4。
。
=兀-6>
.
^]^S1=|x26>
xl2-|xl2xsin26>
=6>
-i-sin26>
2分
$2=2x;
x1x2sin(兀一0)=2sin0,0e(0,学)4分
(1)当6>
=|时,S2-=2sin6>
-(9-|sin26>
j
_2sin匹一(匹一丄sin匆)_班_匹
3\323/43
答:
当0=j时,S2-S.的值为[曾-专户己......6分
(2)设/(6>
)=S2=2sin6>
-6>
+gsin26>
6»
e(0,*),
所以f(0)=2cos0-1+cos20=2(cos20+cos0-1).8分令尸0)=0,得cos。
=盅宀,cos°
=_W_l(舍),
记cos%=1,10分
列表如下:
(0,侃)
%
("
)
矿⑼
+
/-
极大值
\
所以当cos6»
0时,/(。
)取得最大值,此时S2-S.的值最大.
当纪念章最美观时,頌=与^
18.
(1)设椭圆的焦距为2c,
所以
2b=2y[2,
,巳=强,解得a2=6,b2=2,c2=4.a3
a2=b2+c\
所以椭圆的标准方程为4+€=i-……3分
o2
(2)因为直线"
的斜率为右,且过点F2(2,0),
所以直线"
V的方程为"
®
_2).
由*
j/=>
/5(x-2>
yj得8x2-30x+27=0,._6_+T
所以"
=出_尹+(,+季)2_还
又因为(屿+MF2)+(NFl+NF2)=MFl+NF+MN=4y/6,
所以MF]+NF]=与丘
(3)设J;
),N0,y2).又P(t90),/>
2,
所以PM={xx-t,凹),PN=(x2-t,y2).
又因为点p在以"
为直径的圆上,所以瓦7丄应,
^^PM-PN=(xl-t)(x2_『)+凹北=0,
所以砂一f(xi+x2)+f2+yty2=0.
①当直线"
V倾斜角为0时,N(-痴,0),M(46,0),所以"
沈.
②当直线AW倾斜角不为0时,设直线也W方程为x=^+2.x=my+2,
<2v2消去x,得(m2+3)y2+4my-2=0.
由<
A=16m2+8(m2+3)>
0,yi+y2=^,
12m2+3
-2
所以砂=(mvj+2)(my2+2)=m2y\y2++y2)+4,
X]+x2=m(yt+北)+4•
所以(m2+l)yry2+(,2m一伽)(乂+y2)+4-4t+t2=0,
所以宀一气*蚂°
'
解得把<,W2+f或顼<tW2一马(舍去).
综合①②得,实数I的取值范围是46,2+
16分
19.
(1)"
N2时,an=产=2宀,
”=1时,<
7]=4=1,符合上式,所以=2”—'
neN*,
所以々二"
屬二4”,所以数列{bn}的通项公式为bn=4\
(2)因为&
=q•%+上=1+泌,%=。
2.。
2+上二(1+刁)[1+(上+1)刁],加一4=4,
所以4=%-九=(*+"
+2刁=皿+1)刁+2].
因为EN*,d河,且deZ,所以d<
(k+l)d+2,所以d=1.
所以4_2xl=(k+l)xF,贝2=1.
从而an=n,bn=aA+l=n(n+I),所以土=土一厶,
n
所以丄+丄+•••+」一=(1一丄)+(丄一丄)+・・・+(」)
号b2妇202丿3丿‘2020202卩
丨12020
=1=•
20212021
(3)设等比数列也}的公比为旦,显然0>
0.
由b”=an•q*①,bn+k=an+k•an+2k②,
由b”=an•an+k③,bn+1=g•an+k+}④,
1
所以0}为公比为砰的等比数列.
x2
20.
(1)因为/■(》)=*,所以rd(l_mx)
令((乂)=0,得工=。
,因为。
0,列表如下:
曲线F=/(x)与y=g(x)在x=Xo处的切线互相垂直,
所以5E-1,即光也整理得roex°
+elnx0-e=0.
设r(*)=rex+elnx-e,贝Urf(x)=(x+l)e*+—
因为x>
0,所以rz(x)>
0,
所以r(x)=rex+elnx-e在(0,+co)上单调递增.
又因为尸
(1)=0,且尸(工0)=0,所以乂0=1・
(3)佃=言一呼
设m(x)=ex-ex,则mf(x)=ex-e.
令mr(x)0,得x=1.列表如下:
刀(*)最小值==0•所以eAexf
①a^—时,In-1.又因为0<
x<
l,所以lnx<
e
综上,。
的取值范围为R,+s)・
21.A因为a
的一个特征向量,
所以存在非零实数刀使得Ma=Aa,
1m
一「
=4
T
「1+Tn二人,,/rtyi=2,,即,解得,则〃二
一12一
21
[2+1=2,[2=3,
则MM'
1=E,即
ab
10
cd
01
,所以
2
Q+2c=1,b+2d=0,2。
+c=0,2b+d=\,
解得。
§
,方=%,c=:
,次=_§
,所以归1
_1
3
a
I
B将直线Z的参数方程为
x=h为参数)
y=\+\13t
化为普通方程为y/3x-y-2=Q.3分
由/=2尸sin。
(尸>
0),得p1=2尸QsinO,
所以圆C的直角坐标方程为亍+。
—尸尸二尸2因为直线/与圆。
恒有公共点,所以/"
2|=
7(V3)2+(-l)2
所以实数尸的取值范围是[2,+3).
C因为x>
l,y>
l,且x+y=4,由柯西不等式得,
x-1y-1
=(x+>
)2=16,
22
2N16,所以-^—+^—^8.
x-1y-1
22.
(1)X的可能取值为1,2,3,4,
p(x=1)=i,p(x=2)=弘§
=£
P(x=3)=£
66jo6346
P(X=4)=
5431丄5432
65436543
所以X的分布列为
X
4
p
6
所以£
0)=»
£
+2、£
+3、£
+4、4=3.
6662
(2)(法一)记成功打开一扇门的事件为4
则"
=
l+l+i+5x4x3xl
6666543
记恰好成功打开4扇门的事件为B,则P(B)=C^(|)4(|)=舞.
恰好成功打开4扇门的概率为衆.……10分
(法二)记成功打开一扇门的事件为
U/ICCC
则P(^)=l-jx|x4x|=|.……8分
63433
记恰好成功打开4扇门的事件为B,贝"
(B)=C^(|)4(|)=器.
恰好成功打开4扇门的概率为票.……10分
23.
(1)当ABlx轴时,AF=p,EF=p,所以EA=y/2p=2,即,=扼,
所以抛物线的方程为尸=2&
.
设/(X],,B(x2,y2),所以.%+v2=2V2777,坦2=—2,
直线AE方程为y=+乎)
令x=°
,得2
„|V2mvY+V2
1=1珅^ry-^ry-
冋理.4=W~^=2
J2my2+V2*2十W
所以|
*1*2
myx+5/2my2+J2
(m.V[+V2)(777v2+VI)
其中m2y{y2+41m(yx+y2)+2二2冰+4冰+2|=2m2+2,
}-EF\y}-y.\c
旱—1=4m2+4^4,因此?
的取值范围为[4,+s).
2E0\y^-yN\2
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