小学数学奥数基础教程(四年级)目30讲全[1]Word文档格式.doc

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这种方法适用于加数较多，而且所有的加数相差不大的情况。

作为“基准”的数（如例1的80）叫做基准数，各数与基准数的差的和叫做累计差。

由例1得到：

总和数=基准数×

加数的个数+累计差，

平均数=基准数+累计差÷

加数的个数。

　　在使用基准数法时，应选取与各数的差较小的数作为基准数，这样才容易计算累计差。

同时考虑到基准数与加数个数的乘法能够方便地计算出来，所以基准数应尽量选取整十、整百的数。

例2某农场有10块麦田，每块的产量如下（单位：

千克）：

　　462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。

求平均每块麦田的产量。

解：

选基准数为450，则

　　累计差=12＋30－7－30＋23－21＋18－11＋25＋11

　　＝50，

　　平均每块产量=450＋50÷

10＝455（千克）。

　　答：

平均每块麦田的产量为455千克。

　　求一位数的平方，在乘法口诀的九九表中已经被同学们熟知，如7×

7＝49（七七四十九）。

对于两位数的平方，大多数同学只是背熟了10～20的平方，而21～99的平方就不大熟悉了。

有没有什么窍门，能够迅速算出两位数的平方呢？

这里向同学们介绍一种方法——凑整补零法。

所谓凑整补零法，就是用所求数与最接近的整十数的差，通过移多补少，将所求数转化成一个整十数乘以另一数，再加上零头的平方数。

下面通过例题来说明这一方法。

例3求292和822的值。

292=29×

29

　　＝（29＋1）×

（29-1）＋12

　　＝30×

28＋1

　　＝840+1

　　＝841。

　　822＝82×

82

　　＝（82－2）×

（82＋2）＋22

　　＝80×

84＋4

　　＝6720+4

　　＝6724。

　　由上例看出，因为29比30少1，所以给29“补”1，这叫“补少”；

因为82比80多2，所以从82中“移走”2，这叫“移多”。

因为是两个相同数相乘，所以对其中一个数“移多补少”后，还需要在另一个数上“找齐”。

本例中，给一个29补1，就要给另一个29减1；

给一个82减了2，就要给另一个82加上2。

最后，还要加上“移多补少”的数的平方。

　　由凑整补零法计算352，得

　　35×

35＝40×

30＋52=1225。

这与三年级学的个位数是5的数的平方的速算方法结果相同。

　　这种方法不仅适用于求两位数的平方值，也适用于求三位数或更多位数的平方值。

例4求9932和20042的值。

9932=993×

993

　　＝（993＋7）×

（993-7）+72

　　＝1000×

986＋49

　　＝986000＋49

　　＝986049。

　　20042=2004×

2004

　　＝（2004-4）×

（2004+4）＋42

　　＝2000×

2008＋16

　　＝4016000＋16

　　＝4016016。

　　下面，我们介绍一类特殊情况的乘法的速算方法。

　　请看下面的算式：

　　66×

46，73×

88，19×

44。

　　这几道算式具有一个共同特点，两个因数都是两位数，一个因数的十位数与个位数相同，另一因数的十位数与个位数之和为10。

这类算式有非常简便的速算方法。

例588×

64＝？

由乘法分配律和结合律，得到

　　88×

64

　　＝（80＋8）×

（60＋4）

60＋（80＋8）×

4

60＋8×

60＋80×

4＋8×

6＋80×

（60＋6＋4）＋8×

（60＋10）＋8×

　　＝8×

（6＋1）×

100+8×

4。

　　于是，我们得到下面的速算式：

　　由上式看出，积的末两位数是两个因数的个位数之积，本例为8×

4；

积中从百位起前面的数是“个位与十位相同的因数”的十位数与“个位与十位之和为10的因数”的十位数加1的乘积，本例为8×

（6＋1）。

例677×

91＝？

由例3的解法得到

　　由上式看出，当两个因数的个位数之积是一位数时，应在十位上补一个0，本例为7×

1＝07。

　　用这种速算法只需口算就可以方便地解答出这类两位数的乘法计算。

练习1

　　1.求下面10个数的总和：

　　165，152，168，171，148，156，169，161，157，149。

　　2.农业科研小组测定麦苗的生长情况，量出12株麦苗的高度分别为（单位：

厘米）：

　　26，25，25，23，27，28，26，24，29，27，27，25。

求这批麦苗的平均高度。

　　3.某车间有9个工人加工零件，他们加工零件的个数分别为：

　　68，91，84，75，78，81，83，72，79。

　　他们共加工了多少个零件？

　　4.计算：

　　13＋16＋10+11＋17＋12＋15＋12＋16＋13＋12。

　　5.计算下列各题：

（1）372；

（2）532；

（3）912；

　　（4）682：

（5）1082；

（6）3972。

　　6.计算下列各题：

（1）77×

28；

（2）66×

55；

（3）33×

19；

（4）82×

44；

（5）37×

33；

（6）46×

99。

练习1答案

　　1.1596。

2.26厘米。

　　3.711个。

4.147。

　　5.

（1）1369；

（2）2809；

（3）8281；

　　　（4）4624；

（5）11664；

（6）157609。

　　6.

（1）2156；

（2）3630；

（3）627；

　　　（4）3608；

（5）1221；

（6）4554。

第2讲速算与巧算

（二）

　　上一讲我们介绍了一类两位数乘法的速算方法，这一讲讨论乘法的“同补”与“补同”速算法。

　　两个数之和等于10，则称这两个数互补。

在整数乘法运算中，常会遇到像72×

78，26×

86等被乘数与乘数的十位数字相同或互补，或被乘数与乘数的个位数字相同或互补的情况。

72×

78的被乘数与乘数的十位数字相同、个位数字互补，这类式子我们称为“头相同、尾互补”型；

26×

86的被乘数与乘数的十位数字互补、个位数字相同，这类式子我们称为“头互补、尾相同”型。

计算这两类题目，有非常简捷的速算方法，分别称为“同补”速算法和“补同”速算法。

例1

（1）76×

74＝？

（2）31×

39＝？

　　分析与解：

本例两题都是“头相同、尾互补”类型。

（1）由乘法分配律和结合律，得到

76×

74

＝（70＋6）×

（70+4）

70＋（70＋6）×

4＝70×

70＋6×

70＋70×

4＋6×

＝70×

（70＋6＋4）＋6×

（70＋10）＋6×

＝7×

（7+1）×

100＋6×

于是，我们得到下面的速算式：

（2）与

（1）类似可得到下面的速算式：

　　由例1看出，在“头相同、尾互补”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积（不够两位时前面补0，如1×

9＝09），积中从百位起前面的数是被乘数（或乘数）的十位数与十位数加1的乘积。

“同补”速算法简单地说就是：

积的末两位是“尾×

尾”，前面是“头×

（头+1）”。

　　我们在三年级时学到的15×

15，25×

25，…，95×

95的速算，实际上就是“同补”速算法。

例2

（1）78×

38＝？

（2）43×

63＝？

本例两题都是“头互补、尾相同”类型。

（1）由乘法分配律和结合律，得到

　　78×

38

＝（70＋8）×

（30＋8）

30＋（70＋8）×

8

30+8×

30＋70×

8＋8×

30＋8×

（30＋70）＋8×

3×

100＋8×

＝（7×

3＋8）×

8。

（2）与

（1）类似可得到下面的速算式：

由例2看出，在“头互补、尾相同”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积（不够两位时前面补0，如3×

3＝09），积中从百位起前面的数是两个因数的十位数之积加上被乘数（或乘数）的个位数。

“补同”速算法简单地说就是：

积的末两位数是“尾×

头+尾”。

例1和例2介绍了两位数乘以两位数的“同补”或“补同”形式的速算法。

当被乘数和乘数多于两位时，情况会发生什么变化呢？

我们先将互补的概念推广一下。

当两个数的和是10，100，1000，…时，这两个数互为补数，简称互补。

如43与57互补，99与1互补，555与445互补。

　　在一个乘法算式中，当被乘数与乘数前面的几位数相同，后面的几位数互补时，这个算式就是“同补”型，即“头相同，尾互补”型。

例如，因为被乘数与乘数的前两位数相同，都是70，后两位数互补，77＋23＝100，所以是“同补”型。

又如，

　　等都是“同补”型。

当被乘数与乘数前面的几位数互补，后面的几位数相同时，这个乘法算式就是“补同”型，即“头互补，尾相同”型。

例如，

　　等都是“补同”型。

　　在计算多位数的“同补”型乘法时，例1的方法仍然适用。

例3

（1）702×

708=？

（2）1708×

1792＝？

（1）

（2）　

　　计算多位数的“同补”型乘法时，将“头×

（头+1）”作为乘积的前几位，将两个互补数之积作为乘积的后几位。

注意：

互补数如果是n位数，则应占乘积的后2n位，不足的位补“0”。

　　在计算多位数的“补同”型乘法时，如果“补”与“同”，即“头”与“尾”的位数相同，那么例2的方法仍然适用（见例4）；

如果“补”与“同”的位数不相同，那么例2的方法不再适用，因为没有简捷实用的方法，所以就不再讨论了。

例42865×

7265＝？

练习2

　　计算下列各题：

　　1.68×

62；

2.93×

97；

　　3.27×

87；

4.79×

39；

　　5.42×

6.603×

607；

　　7.693×

8.4085×

6085。

第3讲高斯求和

　　德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：

　　1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？

　　老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。

高斯为什么算得又快又准呢？

原来小高斯通过细心观察发现：

　　1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

　　1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。

于是，小高斯把这道题巧算为

　（1+100）×

100÷

2＝5050。

　　小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

　　若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。

后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。

例如：

（1）1，2，3，4，5，…，100；

（2）1，3，5，7，9，…，99；

（3）8，15，22，29，36，…，71。

　　其中

（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；

（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；

（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。

　　由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：

和=（首项+末项）×

项数÷

2。

例11＋2＋3＋…＋1999＝？

这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。

由等差数列求和公式可得

　　原式=（1＋1999）×

1999÷

2＝1999000。

　　注意：

利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。

例211＋12＋13＋…＋31＝？

这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。

原式=（11+31）×

21÷

2=441。

在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。

根据首项、末项、公差的关系，可以得到

项数=（末项-首项）÷

公差+1，

末项=首项+公差×

（项数-1）。

例33＋7＋11＋…＋99＝？

3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，

项数=（99－3）÷

4＋1＝25，

原式=（3＋99）×

25÷

2＝1275。

例4求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。

末项=25＋3×

（40-1）＝142，

和=（25＋142）×

40÷

2＝3340。

利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。

例5在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。

问：

（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？

（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？

分析：

最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：

由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。

（1）最大三角形面积为

　（1＋3＋5＋…＋15）×

12

＝［（1＋15）×

8÷

2］×

＝768（厘米2）。

　2）火柴棍的数目为

　　3＋6＋9+…+24

＝（3＋24）×

2=108（根）。

答：

最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成。

例6盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；

第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。

这时盒子里共有多少只乒乓球？

一只球变成3只球，实际上多了2只球。

第一次多了2只球，第二次多了2×

2只球……第十次多了2×

10只球。

因此拿了十次后，多了

　2×

1＋2×

2＋…＋2×

10

＝2×

（1＋2＋…＋10）

55＝110（只）。

　　加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。

　　综合列式为：

（3-1）×

（1＋2＋…＋10）＋3

［（1＋10）×

10÷

2］＋3＝113（只）。

练习3

　　1.计算下列各题：

（1）2＋4＋6＋…＋200；

（2）17＋19＋21＋…＋39；

（3）5＋8＋11＋14＋…＋50；

（4）3＋10＋17＋24＋…＋101。

　　2.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。

　　3.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。

　　4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。

时钟一昼夜敲打多少次？

　　5.求100以内除以3余2的所有数的和。

　　6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？

第四讲

我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。

　　数的整除具有如下性质：

性质1如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。

例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。

性质2如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。

例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。

性质3如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。

例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×

7＝63整除。

　　利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。

为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：

（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。

（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。

　　（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。

　　（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。

　　（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。

　　（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。

　　其中

（1）

（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。

　　因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或25）整除。

因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。

这就证明了（4）。

　　类似地可以证明（5）。

　　（6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。

　　837＝800＋30＋7

＝8×

100＋3×

10＋7

（99＋1）＋3×

（9＋1）＋7

99＋8＋3×

9＋3＋7

＝（8×

99＋3×

9）＋（8＋3＋7）。

　　因为99和9都能被9整除，所以根据整除的性质1和性质2知，（8x99＋3x9）能被9整除。

再根据整除的性质2，由（8＋3＋7）能被9整除，就能判断837能被9整除。

　利用（4）（5）（6）还可以求出一个数除以4，8，9的余数：

（4‘）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。

（5＇）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。

（6＇）一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。

例1在下面的数中，哪些能被4整除？

哪些能被8整除？

哪些能被9整除？

234，789，7756，8865，3728.8064。

能被4整除的数有7756，3728，8064；

　能被8整除的数有3728，8064；

能被9整除的数有234，8865，8064。

例2在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除？

如果56□2能被9整除，那么

　　5＋6＋□＋2＝13＋□

应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除；

　　如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除；

　　如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。

　　到现在为止，我们已经学过能被2，3，5，4，8，9整除的数的特征。

根据整除的性质3，我们可以把判断整除的范围进一步扩大。

例如，判断一个数能否被6整除，因为6＝2×

3，2与3互质，所以如果这个数既能被2整除又能被3整除，那么根据整除的性质3，可判定这个数能被6整除。

同理，判断一个数能否被12整除，只需判断这个数能否同时被3和4整除；

判断一个数能否被72整除，只需判断这个数能否同时被8和9整除；

如此等等。

例3从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。

因为组成的三位数能同时被2，5整除，所以个位数字为0。

根据三位数能被3整除的特征，数字和2＋7＋0与5＋7＋0都能被3整除，因此所求的这些数为270，570，720，750。

例4五位数能被72整除，问：

A与B各代表什么数字？

已知能被72整除。

因为72＝8×

9，8和9是互质数，所以既能被8整除，又能被9整除。

根据能被8整除的数的特征，要求能被8整除，由此可确定B＝6。

再根据能被9整除的数的特征，的各位数字之和为

　　A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20，

　　因为l≤A≤9，所以21≤A＋20≤29。

在这个范围内只有27能被9整除，所以A＝7。

　解答例4的关键是把72分解成8×

9，再分别根据能被8和9整除的数的特征去讨论B和A所代表的数字。

在解题顺序上，应先确定B所代表的数字，因为B代表的数字不受A的取值大小的影响，一旦B代表的数字确定下来，A所代表的数字就容易确定了。

例5六位数是6的倍数，这样的六位数有多少个？

因为6＝2×

3，且2与3互质，所以这个整数既能被2整除又能被3整除。

由六位数能被2整除，推知A可取0，2，4，6，8这五个值。

再由六位数能被3整除，推知

3＋A＋B＋A＋B＋A＝3＋3A＋2B

　　能被3整除，故2B能被3整除。

B可取0，3，6，9这4个值。

由于B可以取4个值，A可以取5个值，题目没有要求A≠B，所以符合条件的六位数共有5×

4＝20（个）。

例6要使六位数能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？

因为36＝4×

9，且4与9互质，所以这个六位数应既能被4整除又能被9整除。

六位数能被4整除，就要能被4整除，因此C可取1，3，5，7，9。

　　要使所得的商最小，就要使这个六位数尽可能小。

因此首先是A尽量小，其次是B尽量小，最后是C尽量小。

先试取A=0。

六位数的各位数字之和为12＋B＋C。

它应能被9整除，因此B＋C＝6或B