万有引力与航天专题复习.doc
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专题:
万有引力与航天
一、开普勒行星运动定律
(1)所有的行星围绕太阳运动的轨道是_____,太阳处在____上,这就是开普勒第一定律,又称椭圆轨道定律。
(2)对于每一个行星而言,太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的____.这就是开普勒第二定律,又称面积定律。
(3)所有行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值____。
这就是开普勒第三定律,又称周期定律。
若用R表示椭圆轨道的半长轴,T表示公转周期,则(k是一个与行星无关的量)。
二、万有引力定律
1.内容:
自然界中任何两个物体都相互吸引,引力的大小与成正比,与它们之间成反比.
2.公式:
F=,其中G=N·m2/kg2,叫引力常量.
3.适用条件:
公式适用于间的相互作用.当两物体间的距离远大于物体本身的大小时,物体可视为质点;均匀的球体可视为质点,r是间的距离;一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用,其中r为球心到间的距离.
【例】1、(2009·浙江高考)在讨论地球潮汐成因时,地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道.已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍,地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍.关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力,以下说法正确的是()
A.太阳引力远大于月球引力B.太阳引力与月球引力相差不大
C.月球对不同区域海水的吸引力大小相等D.月球对不同区域海水的吸引力大小有差异
2、我国研制并成功发射的“嫦娥二号”探测卫星,在距月球表面高度为h的轨道上做匀速圆周运动,运行的周期为T。
若以R表示月球的半径,则
A.卫星运行时的向心加速度为B.卫星运行时的线速度为
C.物体在月球表面自由下落的加速度为D.月球的第一宇宙速度为
三、人造卫星
1、三种宇宙速度
宇宙
速度
数值(km/s)
意义
第一宇宙速度
7.9
卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度(最大环绕速度).若7.9km/s≤v<11.2km/s,物体绕运行(环绕速度)
第二宇宙速度
11.2
物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度.若11.2km/s≤v<16.7km/s,
物体绕运行(脱离速度)
第三宇
宙速度
16.7
物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.若v≥16.7km/s,物体将脱离
在宇宙空间运行(逃逸速度)
补充:
第一宇宙速度的理解和推导
1.由于在人造卫星的发射过程中,火箭要克服地球的引力做功,所以将卫星发射到离地球越远的轨道,在地面上所需的发射速度就越大,故人造卫星的最小发射速度对应将卫星发射到近地表面运行,此时发射时的动能全部转化为绕行的动能而不需要重力势能。
根据论述可推导如下:
或
其他天体的第一宇宙速度可参照此方法推导,注意
(1)三个宇宙速度指的是发射速度,不能理解成运行速度。
(2)第一宇宙速度既是最小发射速度,又是最大运行速度
【例】1、某星球质量是地球质量的2倍,半径是地球半径的,在该星球上发射卫星,其第一宇宙速度是多少?
2、如图是“嫦娥一号”奔月示意图,卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨,进入地月转移轨道,最终被月球引力捕获,成为绕月卫星,并开展对月球的探测.下列说法正确的是 ()
A.发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度
B.在绕月圆轨道上,卫星周期与卫星质量有关
C.卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比
D.在绕月圆轨道上,卫星受地球的引力大于受月球的引力
2.近地卫星
所谓近地卫星,是指卫星的运行轨道半径等于地球的半径,卫星做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供。
它的运行速度为第一宇宙速度,也是卫星的最大________的速度。
3、同步卫星
(1)轨道平面一定:
轨道平面与共面.
(2)周期一定:
与周期相同,即T=24h.
(3)角速度一定:
与的角速度相同.
(4)高度一定:
由G=m(R+h)得同步卫星离地面的高度h=-R.≈3.56×107m
(5)速率一定:
v=
(6)向心加速度大小一定
【例】据报道,我国数据中继卫星“天链一号01星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空,经过4次变轨控制后,于5月1日成功定点在东经77°赤道上空的同步轨道.关于成功定点后的“天链一号01星”,下列说法正确的是()
A.运行速度大于7.9km/s
B.离地面高度一定,相对地面静止
C.绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大
D.向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等
4、天体(如卫星)运动的线速度、角速度、周期与轨道半径r的关系
①由得_____________,所以r越大,_______
②由得=_______,所以r越大,_______
③由得T=_____,所以r越大,T_______
万有引力定律应用的基本方法:
(1)把天体的运动看成匀速圆周运动,所需向心力由万有引力提供.
“万能”连等式:
G=man=m=mω2r=m()2r=m(2πf)2r
(2)不考虑中心天体的自转。
黄金代换式:
考向一:
天体的质量M、密度ρ的估算
(1)测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T,
由G=m()2r,可得天体质量为:
M=.
该中心天体密度为:
ρ===(R为中心天体的半径).
当卫星沿中心天体表面运行时,r=R,则ρ=.
(2)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
由于G=mg,故天体质量M=,
天体密度ρ===.
【例】天文学家新发现了太阳系外的一颗行星.这颗行星的体积是地球的4.7倍,质量是地球的25倍.已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时,引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2,由此估算该行星的平均密度约为()
A.1.8×103kg/m3 B.5.6×103kg/m3 C.1.1×104kg/m3D.2.9×104kg/m3
考向二:
卫星的运行和变轨问题
1.人造卫星的动力学特征
万有引力提供向心力.即G=m=mrω2=m()2r
2.人造卫星的运动学特征
(1)向心加速度,随着轨道半径的增加,卫星的向心加速度减小。
(2)由线速度v=,随着轨道半径的增加,卫星的线速度减小。
(3)角速度ω=,随着轨道半径的增加,卫星的角速度减小。
(4)周期T=2π,随着轨道半径的增加,卫星的周期增大。
【例】如图所示,a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星,它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径).下列说法中正确的是()
A.a、b的线速度大小之比是∶1
B.a、b的周期之比是1∶2
C.a、b的角速度大小之比是3∶4
D.a、b的向心加速度大小之比是9∶4
3.卫星的环绕速度和发射速度
不同高度处的人造地球卫星在圆轨道上运行速度,其大小随半径的增大而减小.但是,由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功,因此将卫星发射到离地球越远的轨道,在地面上所需的发射速度就越大,即发射速度>环绕速度,所以近地人造地球卫星的速度是最大环绕速度,也是人造卫星的最小发射速度.
4.人造地球卫星的超重和失重
(1)人造地球卫星在发射升空时,有一段加速运动;在返回地面时,有一段减速运动.这两个过程加速度方向均向上,因而都是超重状态.
(2)人造地球卫星在沿圆轨道运行时,由于万有引力提供向心力,因此处于完全失重状态.在这种情况下凡是与重力有关的力学现象都不会发生.因此,在卫星上的仪器,凡是制造原理与重力有关的均不能使用.同理,与重力有关的实验也将无法进行(如:
天平、水银气压计等)
5.卫星的变轨
卫星做匀速圆周运动时满足:
=ma==mrω2=mr()2
当卫星由于某种原因使向心力与所受地球万有引力不相等时,卫星就会变轨,即当F引>时,卫星向近地心的轨道运动,即做向心运动;当F引<时,卫星向远地心的轨道运动,即做离心运动。
变轨时应从两方面考虑:
一是中心天体提供的引力F引=,在开始变轨时F引不变;
二是飞船所需要的向心力F向=,可以通过以改变飞船的速度来改变它所需要的向心力,从而达到使其做向心运动或离心运动而变轨的目的。
(1)当v增大时,所需向心力m增大,即万有引力不足以提供向心力,卫星将做离心运动,脱离原来的圆轨道,轨道半径变大,但卫星一旦进入新的轨道运行,由v=知其运行速度要减小,但重力势能、机械能均增加.
(2)当卫星的速度突然减小时,向心力减小,即万有引力大于卫星所需的向心力,因此卫星将做向心运动,同样会脱离原来的圆轨道,轨道半径变小,进入新轨道运行时由v=知
运行速度将增大,但重力势能、机械能均减少.(卫星的发射和回收就是利用了这一原理)
【例】1、如图4-4-2所示,a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星,下列说法正确的是( )
A.b、c的线速度大小相等,且大于a的线速度
B.b、c的向心加速度大小相等,且大于a的向心加速度
C.c加速可追上同一轨道上的b,b减速可等到同一轨道上的c
D.a卫星由于某种原因,轨道半径缓慢减小,其线速度将变大
2、某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用,绕地球运转的轨道会慢慢改变,某次测量卫星的轨道半径为r1,后来变为r2(r2 A.Ek2 C.Ek2>Ek1,T2 3、人造卫星首次进入的是距地面高度近地点为200km,远地点为340km的椭圆轨道,在飞行第五圈的时候,飞船从椭圆轨道运行到以远地点为半径的圆形轨道上,如图所示,试处理以下几个问题(地球半径R=6370km,g=9.8m/s2) 轨道Ⅰ 地球 轨道Ⅱ Q P (1)飞船在椭圆轨道1上运行,Q为近地点,P为远地点,当飞船运动到P点时点火,使飞船沿圆轨道2运行,以下说法正确的是() A.飞船在Q点的万有引力大于该点所需的向心力 B.飞船在P点的万有引力大于该点所需的向心力 C.飞船在轨道Ⅰ上P点的速度小于轨道Ⅱ上P的速度 D、飞船在轨道Ⅰ上P点的加速度小于轨道Ⅱ上P的加速度 (2)假设由于飞船的特殊需要,中国的一艘原本在圆轨道运行的飞船前往与之对接,则飞船一定是() A.从较低轨道上加速B.从较高轨道上加速 C.从同一轨道上加速D.从任意轨道上加速 考向三: “双星模型”问题 m1 m2 r1 r2 O ω 在天体模型中,将两颗彼此距离较近的恒星称为双星,它们在相互之间的万有引力作用下,绕两球连线上某点做周期相同的匀速圆周运动.如图 (1)双星夹圆心,且始终在同一直线上,靠彼此间的万有引力提供向心力 (2)具有相同的周期T和角速度 (3)轨道半径和质量成反比 (4)双星总质量(其中L为双星间距,T为周期) 【例】如图4-4-6,质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动,星球A和B两者中心之间的距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共线,A和B分别在O的两侧.引力常量为G. (1)求两星球做圆周运动的周期; (2)在地月系统中,若忽略其他星球的影响,可以将月球和地球看成上述星球A和B,月球绕其轨道中心运行的周期记为T1.但在近似处理问题时,常常认为月球是绕地心做圆周运动的,这样算得的运行周期记为T2.已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg和7.35×1022kg.求T2与T1两者平方之比.(结果保留3位小数) 考向四: 赤道上、近地卫星上、同步卫星上的同物比较 角速度 周期 线速度 向心加速度 向心力 赤道上 近地卫星上 同步卫星上 同物比较 【例】如图,地球赤道上的山丘e,近地资源卫星p和同步通信卫星q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动.设e、p、q的圆周运动速率分别为v1、v2、v3,向心加速度分别为a1、a2、a3,则( ) A.v1>v2>v3 B.v1 考向五: 万有引力与抛体运动的综合(万有引力与牛顿运动定律的综合) 关键是: 重力加速度g (1)由黄金代换得g (2)由抛体运动或牛顿运动定律得g 【例】我国在2010年实现探月计划——“嫦娥工程”.同学们也对月球有了更多的关注. (1)若已知地球半径为R,地球表面的重力加速度为g,月球绕地球运动的周期为T,月球绕地球的运动近似看成匀速圆周运动,试求出月球绕地球运动的轨道半径. (2)若宇航员随登月飞船登陆月球后,在月球表面某处以速度v0竖直向上抛出一个小球,经过时间t,小球落回抛出点.已知月球半径为r,万有引力常量为G,试求出月球的质量M月. 考向六: 环绕同一中心天体的星际相距最远和最近问题 1、从相距最近(两星在中心天体的同侧且三星共线)到再次相距最近所需最短时间: 据则, 而则 2、从相距最近(两星在中心天体的同侧且三星共线)到相距最远(两星在中心天体的两侧且三星共线)所需最短时间: 据则, 而则 【例10】两颗卫星在同一轨道平面绕地球做匀速圆周运动,地球半径为R,a卫星离地面的高度等于R,b卫星离地面高度为3R,则: (1)a、b两卫星周期之比Ta∶Tb是多少? (2)若某时刻两卫星正好通过地面同一点的正上方,则a至少经过多少个周期两卫星相距最远? 【课时训练】 1.对万有引力定律的表达式F=G,下列说法正确的是() A.公式中G为常量,没有单位,是人为规定的 B.r趋向于零时,万有引力趋近于无穷大 C.两物体之间的万有引力总是大小相等,与m1、m2是否相等无关 D.两个物体间的万有引力总是大小相等,方向相反的,是一对平衡力 2.已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍.若某行星的平均密度为地球平均密度的一半,它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍,则该行星的自转周期约为( ) 图4-4-7 A.6小时B.12小时C.24小时D.36小时 3.在圆轨道上做匀速圆周运动的国际空间站里,一宇航员手拿一只小球相对于太空舱静止“站立”于舱内朝向地球一侧的“地面”上,如图4-4-7所示.下列说法正确的是( ) A.宇航员相对于地球的速度介于7.9km/s与11.2km/s之间 B.若宇航员相对于太空舱无初速释放小球,小球将落到“地面”上 C.宇航员将不受地球的引力作用 D.宇航员对“地面”的压力等于零 4.“嫦娥一号”月球探测器在环绕月球运行过程中,设探测器运行的轨道半径为r,运行速率为v,当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时 A.r、v都将略为减小B.r、v都将保持不变 C.r将略为减小,v将略为增大D.r将略为增大,v将略为减小 5.天文学上曾出现几个行星与太阳在同一直线上的现象,假设地球和火星绕太阳的运动是匀速圆周运动,周期分别是T1和T2,它们绕太阳运动的轨道基本上在同一水平面上.若在某时刻地球和火星都在太阳的一侧,三者在一条直线上,那么再次出现这种现象(已知地球离太阳较近,火星较远)所需要的时间是() A.B. C.D. 6.已知地球半径为R,地球表面重力加速度为g,不考虑地球自转的影响。 (1)推到第一宇宙速度v1的表达式; (2)若卫星绕地球做匀速圆周运动,运行轨道距离地面高度为h,求卫星的运行周期T。 7.如图所示,火箭内平台上放有测试仪,火箭从地面启动后,以加速度竖直向上匀加速运动,升到某一高度时,测试仪对平台的压力为启动前压力的.已知地球半径为R,求火箭此时离地面的高度.(g为地面附近的重力加速度) 8.如右图,质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速周运动,星球A和B两者中心之间距离为L。 已知A、B的中心和O三点始终共线,A和B分别在O的两侧。 引力常数为G。 ⑴求两星球做圆周运动的周期。 ⑵在地月系统中,若忽略其它星球的影响,可以将月球和地球看成上述星球A和B,月球绕其轨道中心运行为的周期记为T1。 但在近似处理问题时,常常认为月球是绕地心做圆周运动的,这样算得的运行周期T2。 已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg和7.35×1022kg。 求T2与T1两者平方之比。 (结果保留3位小数) 8
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