北师大版九年级数学上册第一章 13正方形的性质与判定 同步练习题Word下载.docx
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在△ABE和△ADF中,
∴△ABE≌△ADF(SAS).
(2)∵△ABE≌△ADF,
∴AE=AF,∠BAE=∠DAF.
∵∠BAE+∠EAD=90°
,
∴∠DAF+∠EAD=90°
,即∠EAF=90°
∴EF=
AE=5
9.如图,在正方形ABCD中,点E,F在对角线BD上,AE∥CF,连接AF,CE.
△ABE≌△CDF;
(2)试判断四边形AECF的形状,并说明理由.
∵在正方形ABCD中,AB=CD,∠ABE=∠CDF=45°
又∵AE∥CF,∴∠AEF=∠CFE.
∴∠AEB=∠CFD.
∴△ABE≌△CDF(AAS).
(2)四边形AECF是菱形.理由如下:
连接AC交BD于点O,则AC⊥BD.
∵△ABE≌△CDF,∴BE=DF.
又∵OB=OD,∴OB-BE=OD-DF,即OE=OF.
又∵AC⊥EF,OA=OC,
∴四边形AECF是菱形.
10.如图,O为正方形ABCD对角线的交点,E为AB边上一点,F为BC边上一点,△EBF的周长等于BC的长.
(1)若AB=24,BE=6,求EF的长;
(2)求∠EOF的度数.
(1)设BF=x,则FC=BC-BF=24-x.
∵BE=6,BE+BF+EF=BC,
∴EF=18-x.
在Rt△BEF中,BE2+BF2=EF2,
∴62+x2=(18-x)2,解得x=8.
∴EF=18-x=10.
(2)在FC上截取FM=FE,连接OM,
∵C△EBF=BE+EF+BF=BC,
∴BE+EF+BF=BF+FM+MC.
∴BE=MC=6.
∵四边形ABCD为正方形,
∴OB=OC,∠OBE=∠OCM=45°
在△OBE和△OCM中,
∴△OBE≌△OCM(SAS).
∴∠EOB=∠MOC,OE=OM.
∴∠EOM=∠BOC=90°
在△OFE和△OFM中,
∴△OFE≌△OFM(SSS).
∴∠EOF=∠MOF=
∠EOM=45°
11.如图,E,F分别是正方形ABCD的边CB,DC延长线上的点,且BE=CF,过点E作EG∥BF,交正方形外角的平分线CG于点G,连接GF.求证:
(1)AE⊥BF;
(2)四边形BEGF是平行四边形.
证明:
(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠BCF=90°
在△ABE和△BCF中,
∴△ABE≌△BCF(SAS).
∴AE=BF,∠BAE=∠CBF.
∵EG∥BF,∴∠CBF=∠CEG.∴∠CEG=∠BAE.
∵∠BAE+∠BEA=90°
∴∠CEG+∠BEA=90°
,即∠AEG=90°
∴AE⊥EG.又∵EG∥BF,∴AE⊥BF.
(2)延长AB至点P,使BP=BE,连接EP,
则AP=CE,∠EBP=90°
∴∠P=45°
∵CG为正方形ABCD外角的平分线,
∴∠ECG=45°
.∴∠P=∠ECG.
在△APE和△ECG中,
∴△APE≌△ECG(ASA).∴AE=EG.
∵AE=BF,∴EG=BF.
∵EG∥BF,
∴四边形BEGF是平行四边形.
12.如图,点M是正方形ABCD的边BC上一点,连接AM,点E是线段AM上一点,∠CDE的平分线交AM延长线于点F.
(1)如图1,若点E为线段AM的中点,BM∶CM=1∶2,BE=
,求AB的长;
(2)如图2,若DA=DE,求证:
BF+DF=
AF.
(1)设BM=x,则CM=2x,BA=BC=3x.
在Rt△ABM中,E为斜边AM的中点,
∴AM=2BE=2
∵AM2=MB2+AB2,
∴40=x2+9x2,解得x=2.
∴AB=3x=6.
(2)证明:
如图,过点A作AH⊥AF,交FD的延长线点H,过点D作DP⊥AF于点P.
∵DF平分∠CDE,
∴∠1=∠2.
∵DE=DA,DP⊥AF,
∴∠3=∠4.
∵∠1+∠2+∠3+∠4=90°
∴∠2+∠3=45°
∴∠DFP=90°
-45°
=45°
∴AH=AF.∴HF=
∵∠BAF+∠DAF=90°
,∠HAD+∠DAF=90°
∴∠BAF=∠DAH.
又∵AB=AD,∴△ABF≌△ADH(SAS).
∴BF=DH.
∵HF=DH+DF=BF+DF,
∴BF+DF=
第2课时 正方形的判定
1.下列说法中,不正确的是(D)
A.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
B.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C.对角线垂直的矩形是正方形
D.一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
2.如图,将矩形纸片折叠,使A点落在BC上的F处,折痕为BE.若沿EF剪下,则折叠部分是一个正方形,其数学原理是(A)
A.邻边相等的矩形是正方形
B.对角线相等的菱形是正方形
C.两个全等的直角三角形构成正方形
D.轴对称图形是正方形
3.小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题,从下列四个条件:
①AB=BC;
②∠ABC=90°
③AC=BD;
④AC⊥BD中选两个作为补充条件,使▱ABCD为正方形(如图),现有下列四种选法,你认为其中错误的是(B)
A.①②B.②③C.①③D.②④
4.如图,AC,BD是四边形ABCD的对角线,点E,F分别是AD,BC的中点,点M,N分别是AC,BD的中点,连接EM,MF,FN,NE,要使四边形EMFN为正方形,则需添加的条件是(A)
A.AB=CD,AB⊥CD
B.AB=CD,AD=BC
C.AB=CD,AC⊥BD
D.AB=CD,AD∥BC
5.如图,在▱ABCD中,AE⊥BC于点E,CF⊥AD于点F,∠B=60°
,当边AD∶AB=(
+1)∶2时,四边形AECF是正方形.
6.如图,在四边形ABCD中,∠ADC=∠ABC=90°
,AD=CD,DP⊥AB于P.若四边形ABCD的面积是18,则DP的长是3
7.如图,在矩形ABCD内有一点F,FB与FC分别平分∠ABC和∠BCD,点E为矩形ABCD外一点,连接BE,CE.现添加下列条件:
①EB∥CF,CE∥BF;
②BE=CE,BE=BF;
③BE∥CF,CE⊥BE;
④BE=CE,CE∥BF,其中能判定四边形BECF是正方形的是①②③④.(填序号)
8.在矩形ABCD中,M,N,P,Q分别为边AB,BC,CD,DA上的点(不与端点重合),对于任意矩形ABCD,下面四个结论中:
①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形;
②存在无数个四边形MNPQ是矩形;
③存在无数个四边形MNPQ是菱形;
④至少存在一个四边形MNPQ是正方形.正确结论的序号是①②③.
9.如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△BAD和△ACD的高,得到下列四个结论:
①OA=OD;
②AD⊥EF;
③当∠A=90°
时,四边形AEDF是正方形;
④AE+DF=AF+DE.其中正确的是②③④(填序号).
10.如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,PB∥AC,PC∥BD,PB,PC相交于点P.
(1)猜想四边形PCOB是什么四边形?
并说明理由;
(2)当矩形ABCD满足什么条件时,四边形PCOB是正方形?
(1)四边形PCOB是菱形.理由如下:
∵PB∥AC,PC∥BD,
∴四边形PCOB为平行四边形.
∵四边形ABCD为矩形,
∴OB=OC.
∴四边形PCOB为菱形.
(2)当AC⊥BD时,四边形PCOB是正方形.理由如下:
∵四边形PCOB为菱形,AC⊥BD,
∴四边形PCOB为正方形.
11.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是BD延长线上的点,且△ACE是等边三角形.
四边形ABCD是菱形;
(2)若∠AED=2∠EAD,求证:
四边形ABCD是正方形.
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=OC.
∵△ACE是等边三角形,
∴EO⊥AC,即BD⊥AC.
∴四边形ABCD是菱形.
(2)∵△ACE是等边三角形,EO⊥AC,AO=OC,
∴∠AEO=∠CEO=30°
∵∠AED=2∠EAD,∴∠EAD=15°
∴∠DAO=∠EAO-∠EAD=45°
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠BAD=2∠DAO=90°
∴四边形ABCD是正方形.
12.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=CD,E是对角线BD上一点,且EA=EC.
(2)如果BE=BC,且∠CBE∶∠BCE=2∶3,求证:
(1)在△ADE和△CDE中,
∴△ADE≌△CDE(SSS).∴∠ADE=∠CDE.
∵AD∥BC,∴∠ADE=∠CBD.
∴∠CDE=∠CBD.∴BC=CD.
∵AD=CD,∴BC=AD.
∴四边形ABCD为平行四边形.
∵AD=CD,
(2)∵BE=BC,∴∠BCE=∠BEC.
∵∠CBE∶∠BCE=2∶3,
∴∠CBE=180°
×
∴∠ABE=45°
.∴∠ABC=90°
13.如图,四边形ABCD为正方形,点E为线段AC上一点,连接DE,过点E作EF⊥DE,交射线BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.
矩形DEFG是正方形;
(2)若AB=2
,CE=2,求CG的长;
(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°
时,直接写出∠EFC的度数.
作EP⊥CD于点P,EQ⊥BC于点Q,
∵∠DCA=∠BCA=45°
,∴EQ=EP.
∴∠CEQ=∠CEP=45°
∴∠QEF+∠FEC=45°
,∠PED+∠FEC=45°
∴∠QEF=∠PED.
在△EQF和△EPD中,
∴△EQF≌△EPD(ASA).∴EF=ED.
∴矩形DEFG是正方形.
(2)在Rt△ABC中,AC=
AB=4.
∵EC=2,∴AE=CE=2.
∴DE⊥AC,DE=EC.
∴点F与C重合,此时△DCG是等腰直角三角形.
∴CG=2.
(3)∠EFC=130°
或40°
第3课时 正方形的性质与判定的运用
1.如图所示,在正方形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,过点O作OE⊥OF,分别交AB,BC于E,F.若AE=4,CF=3,则EF的长为(C)
A.3B.4C.5D.6
2.将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放,点A1,A2,…,An分别是正方形的中心,则这n个正方形重叠部分的面积之和是(B)
A.nB.n-1
C.4(n-1)D.4n
3.如图,边长为1的正方形ABCD的对角线交于点O,点E是边AB上一动点,点F在边BC上,且满足OE⊥OF,在点E由A运动到B的过程中,以下结论中正确的个数为(B)
①线段OE的大小先变小后变大;
②线段EF的大小先变大后变小;
③四边形OEBF的面积先变大后变小.
A.0B.1C.2D.3
4.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是边BC,CD上的点,∠EAF=45°
,△ECF的周长为6,则正方形ABCD的边长为3.
5.如图,已知正方形ABCD的边长为5,点E,F分别在AD,DC上,AE=DF=2,BE与AF相交于点G,点H为BF的中点,连接GH,则GH的长为
6.如图,在正方形ABCD中,点P为AD延长线上一点,连接AC,CP,F为AB边上一点,满足CF⊥CP,AC=3,3DP=AB,则FP=
7.如图,正方形ABCD的边长为6,点E,F分别在AB,AD上.若CE=3
,且∠ECF=45°
,则CF的长为2
8.如图,已知在正方形ABCD中,点E,F分别为边BC与CD上的点,且∠EAF=45°
,AE与AF分别交对角线BD于点M,N,则下列结论正确的是①②④.
①∠BAE+∠DAF=45°
②∠AEB=∠AEF=∠ANM;
③BM+DN=MN;
④BE+DF=EF.
9.如图,E,F是正方形ABCD的边AD上的两个动点,满足AE=DF,连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为4,则线段DH长度的最小值是2
-2.
10.如图,已知正方形ABCD,M在CB延长线上,N在DC延长线上,∠MAN=45°
.求证:
MN=DN-BM.
在DN上截取DE=MB,连接AE,
∴AD=AB,∠D=∠ABM=90°
在△ABM和△ADE中,
∴△ABM≌△ADE(SAS).
∴AM=AE,∠MAB=∠EAD.
∵∠MAN=∠MAB+∠BAN=45°
∴∠DAE+∠BAN=45°
∴∠EAN=∠MAN=45°
在△AMN和△AEN中,
∴△AMN≌△AEN(SAS).
∴MN=EN.
∵EN=DN-DE,
∴MN=DN-BM.
11.操作:
将一把三角尺放在如图1的正方形ABCD中,使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q.探究:
(1)如图2,当点Q在DC上时,求证:
PQ=PB;
(2)如图3,当点Q在DC延长线上时,
(1)中的结论还成立吗?
简要说明理由.
过点P作PN⊥AB于点N,NP延长线交CD于点M,
在正方形ABCD中,AB∥CD,∠ACD=45°
∴∠PMQ=∠PNB=∠CBN=90°
∴四边形CBNM是矩形.
∴CM=BN,△CMP是等腰直角三角形.
∴PM=CM=BN.
∵∠PBN+∠BPN=90°
,∠BPN+∠MPQ=90°
∴∠MPQ=∠PBN.
在△PMQ和△BNP中,
∴△PMQ≌△BNP(AAS).
∴PQ=PB.
(2)
(1)中结论成立.理由:
∴CM=BN,∴△CMP是等腰直角三角形.
12.如图,在正方形ABCD中,P是BC上一动点(不与B,C重合):
①CE平分∠DCF;
②AP⊥PE;
③AP=EP.以此三个条件中的两个为条件,另一个为结论,可构成三个命题,即:
①②⇒③,①③⇒②,②③⇒①.
(1)试判断上述三个命题是否正确(直接作答);
(2)请选择一个你认为正确的命题给予证明.
(1)上述三个命题均正确.
(2)答案不唯一,选①③⇒②
在AB上截取AM=CP,则BM=BP.
∴∠BMP=∠BPM=45°
,∠AMP=135°
∵CE平分∠DCF,
∴∠DCE=45°
.∴∠ECP=135°
过点A作AG⊥MP交MP的延长线于点G,过点P作PH⊥EC交EC的延长线于点H,
∴∠AMG=∠PCH=45°
,∠G=∠H.
∴△AGM≌△PHC(AAS).∴AG=PH.
∵AP=PE,∴Rt△AGP≌Rt△PHE(HL).
∴∠GPA=∠PEH.
∵∠BPM=∠CPH=45°
,B,P,C三点共线,
∴M,P,H三点共线.
∵∠PEH+∠EPH=90°
∴∠GPA+∠EPH=90°
∴∠APE=90°
∴AP⊥PE.
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