《实数》全章复习与巩固(基础)知识讲解文档格式.doc

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负数没有平方根；

一个正数有一个正的立方根；

一个负数有一个负的立方根；

零的立方根是零；

重要结论

要点二、次方根

如果一个数的次方（是大于1的整数）等于，那么这个数叫做的次方根.当为奇数时，这个数为的奇次方根；

当为偶数时，这个数为的偶次方根.

求一个数的次方根的运算叫做开次方，叫做被开方数，叫做根指数.

实数的奇次方根有且只有一个，正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；

负数的偶次方根不存在.；

零的次方根等于零.

要点三、实数

有理数和无理数统称为实数．

1.实数的分类

要点诠释：

（1）所有的实数分成三类：

有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．

（2）无理数分成三类：

①开方开不尽的数，如，等；

②有特殊意义的数，如π；

③有特定结构的数，如0.1010010001…

　（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.

2.实数与数轴上的点一一对应.

数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.

3.实数的三个非负性及性质：

　　在实数范围内，正数和零统称为非负数．我们已经学习过的非负数有如下三种形式：

（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；

（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；

　　（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即（）.

　　非负数具有以下性质：

（1）非负数有最小值零；

（2）有限个非负数之和仍是非负数；

　　（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.

4.实数的运算：

数的相反数是－；

一个正实数的绝对值是它本身；

一个负实数的绝对值是它的相反数；

0的绝对值是0.

　　有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：

先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.

5.实数的大小的比较：

　　有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.

　　法则1.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；

法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；

　法则3.两个数比较大小常见的方法有：

求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.

要点四、近似数及有效数字

1.近似数：

完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数；

与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数.

2.精确度：

近似数与准确数的接近程度即近似程度.对近似程度的要求叫做精确度.

精确度有两种形式：

①精确到哪一位．②保留几个有效数字．

3.有效数字：

从一个数的左边第一个不为零的数字起，往右到末位数字为止的所有的数字都是这个数的有效数字，如0.208的有效数字有三个：

2，0，8．

要点五、分数指数幂

，，其中为正整数，.

上面规定中的和叫做分数指数幂，是底数.

整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂.

设为有理数，那么

（1）.

（2）.

（3）.

【典型例题】

类型一、有关方根的问题

1、下列命题：

①负数没有立方根；

②一个实数的算术平方根一定是正数；

③一个正数或负数的立方根与这个数同号；

④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；

⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0，其中错误的有（　　　）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】B；

【解析】①负数有立方根；

②0的平方根是0；

⑤立方根是本身的数有0，±

1.

【总结升华】把握平方根和立方根的定义是解题关键.

举一反三：

【变式1】下列运算正确的是（）

A．B．C．D．

【答案】C；

【变式2】的5次方根是＝_________.

【答案】；

2、若，则±

＝

若，，则

【答案】±

1.01；

7.16；

【解析】102.01向左移动2位变成1.0201，它的平方根向左移动1位，变成1.01，注意符号；

0.3670向右移动3位变成367，它的立方根向右移动1位，变成7.16

【总结升华】一个数向左移动2位，它的平方根向左移动1位；

一个数向右移动3位，它的立方根向右移动1位.

类型二、与实数有关的问题

3、把下列各数填入相应的集合：

－1、、π、－3.14、、、、．

（1）有理数集合｛｝；

（2）无理数集合｛｝；

（3）正实数集合｛｝；

（4）负实数集合｛｝．

【思路点拨】首先把能化简的数都化简，然后对照概念填到对应的括号里.

【答案与解析】

（1）有理数集合｛－1、－3.14、、｝；

（2）无理数集合｛、π、、｝；

（3）正实数集合｛、π、、、｝；

（4）负实数集合｛－1、－3.14、｝．

【总结升华】有理数是有限小数和无限循环小数，无理数是无限不循环小数.总结常见的无理数形式.

【变式】

（2015•绥化）在实数0、π、、、﹣中，无理数的个数有（　　）

A．1个B．2个 C．3个 D．4个

4、计算

（1）

（2）

（3）

【思路点拨】先逐个化简后，再按照计算法则进行计算.

解：

（1）＝

（2）＝

（3）＝.

【总结升华】根据开立方和立方，开平方和平方互逆运算的关系，可以通过立方、平方的方法去求一个数的立方根、平方根.

【变式】计算

（1）

（2）

【答案】

（1）

（2）

.

5、（2015•资阳）已知：

（a+6）2+=0，则2b2﹣4b﹣a的值为　　．

【答案】12．

【解析】

∵（a+6）2+=0，

∴a+6=0，b2﹣2b﹣3=0，

解得，a=﹣6，b2﹣2b=3，

可得2b2﹣4b=6，

则2b2﹣4b﹣a=6﹣（﹣6）=12，

故答案为：

12．

【总结升华】本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：

绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．

【变式1】实数、在数轴上所对应的点的位置如图所示：

化简＋∣－∣＝.

∵＜0＜,

∴－＜0

∴＋∣－∣＝－－（－）＝－2.

【变式2】实数在数轴上的位置如图所示，则的大小关系是：

；

6、用四舍五入法，按括号中的要求把下列各数取近似数.

（1）0.0198（精确到0.001）；

（2）0.34082（精确到千分位）；

（3）64.49（精确到个位）；

（1）0.0198≈0.020；

（2）

（2）0.34082≈0.341；

（3）64.49≈64.

【总结升华】从一个数的左边第一个不为零的数字起，往右到末位数字为止的所有的数字都是这个数的有效数字.近似数末位的0不能随便去掉，去掉了就会改变它的精确度.

7、把下列方根化为幂的形式：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

（2）；

（3）；

（4）.

【总结升华】，其中为正整数，.

类型三、实数综合应用

8、现有一面积为150平方米的正方形鱼池，为了增加养鱼量，欲把鱼池的边长增加6米，那么扩建鱼池的面积为多少（最后结果保留4个有效数字）？

因为原正方形鱼池的面积为150平方米，根据面积公式，

它的边长为（米）．

由题意可得扩建后的正方形鱼池的边长为（12.247＋6）米，

所以扩建后鱼池的面积为≈333.0（平方米）．

答：

扩建后的鱼池的面积约为333.0（平方米）．

【总结升华】要求扩建后的鱼池的面积，应先求出其边长，而原鱼池的面积为150平方米，由此可得原鱼池的边长，再加上增加的6米，故新鱼池面积可求．

【变式】一个底为正方形的水池的容积是486，池深1.5，求这个水池的底边长．

设水池的底边长为，由题意得

这个水池的底边长为18.