2018-2019学年浙教版重点高中自主招生数学模拟试题6Word下载.doc
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(2)若△DEF三边的长分别为、、,请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF,并利用构图法求出它的面积为 .
(3)如图3,△ABC中,AG⊥BC于点G,以A为直角顶点,分别以AB、AC为直角边,向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF,过点E、F作射线GA的垂线,垂足分别为P、Q.试探究EP与FQ之间的数量关系,并证明你的结论.
(4)如图4,一个六边形的花坛被分割成7个部分,其中正方形PRBA,RQDC,QPFE的面积分别为13m2、25m2、36m2,则六边形花坛ABCDEF的面积是 m2.
18.(8分)已知二次函数y=ax2﹣4ax+3a.
(Ⅰ)求该二次函数的对称轴;
(Ⅱ)若该二次函数的图象开口向下,当1≤x≤4时,y的最大值是2,且当1≤x≤4时,函数图象的最高点为点P,最低点为点Q,求△OPQ的面积;
(Ⅲ)若对于该抛物线上的两点P(x1,y1),Q(x2,y2),当t≤x1≤t+1,x2≥5时,均满足y1≥y2,请结合图象,直接写出t的最大值.
19.(8分)在Rt△ABC中,∠C=90°
,∠A=60°
,BC=6,等边三角形DEF从初始位置(点E与点B重合,EF落在BC上,如图1所示)在线段BC上沿BC方向以每秒1个单位的速度平移,DE、DF分别与AB相交于点M、N.当点F运动到点C时,△DEF终止运动,此时点D恰好落在AB上,设△DEF平移的时间为x.
(1)求△DEF的边长;
(2)求M点、N点在BA上的移动速度;
(3)在△DEF开始运动的同时,如果点P以每秒2个单位的速度从D点出发沿DE⇒EF运动,最终运动到F点.若设△PMN的面积为y,求y与x的函数关系式,写出它的定义域;
并说明当P点在何处时,△PMN的面积最大?
20.(12分)某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC,其横截面如图所示,在图中建立的直角坐标系中,抛物线的解析式为y=﹣+c且过顶点C(0,5)(长度单位:
m)
(1)直接写出c的值;
(2)现因搞庆典活动,计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5m的地毯,地毯的价格为20元/m2,求购买地毯需多少元?
(3)在拱桥加固维修时,搭建的“脚手架”为矩形EFGH(H、G分别在抛物线的左右侧上),并铺设斜面EG.已知矩形EFGH的周长为27.5m,求斜面EG的倾斜角∠GEF的度数.(精确到0.1°
)
21.(12分)如图1,在平面直角坐标系xOy中,直线l:
与x轴、y轴分别交于点A和点B(0,﹣1),抛物线经过点B,且与直线l的另一个交点为C(4,n).
(1)求n的值和抛物线的解析式;
(2)点D在抛物线上,且点D的横坐标为t(0<t<4).DE∥y轴交直线l于点E,点F在直线l上,且四边形DFEG为矩形(如图2).若矩形DFEG的周长为p,求p与t的函数关系式以及p的最大值;
(3)M是平面内一点,将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°
后,得到△A1O1B1,点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1.若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上,请直接写出点A1的横坐标.
参考答案与试题解析
1.解:
∵是整数,
∴正整数n的最小值为2,
故选:
B.
2.证明:
①∵AB为直径,
∴∠ACB=90°
,
∴AC垂直BF,但不能得出AC平分BF,
故①错误,
②如图1,连结CD,
∵AB为直径,
∴∠ADB=90°
∴∠BDF=90°
假设AC平分∠BAF成立,则有DC=BC,
∴在RT△FDB中,DC=BC=FC,
∴AC⊥BF,且平分BF,
∴AC垂直BF,但不能得出AC平分BF,与①中的AC垂直BF,但不能得出AC平分BF相矛盾,
故②错误,
③如图2:
,∠ADB=90°
∴D、P、C、F四点共圆,
∴∠CFP和∠CDB都对应,
∴∠CFP=∠CDB,
∵∠CDB=∠CAB,
∴∠CFP=∠CAB,
又∵∠FPC=∠APM,
∴△AMP∽△FCP,
∠ACF=90°
∴∠AMP=90°
∴FP⊥AB,
故③正确,
④∵AB为直径,
∴BD⊥AF.
故④正确,
综上所述只有③④正确.
D.
3.解:
如图,连接DE.
由题意,在Rt△DCE中,CE=4cm,CD=8cm,
由勾股定理得:
DE===cm.
过点M作MG⊥CD于点G,则由题意可知MG=BC=CD.
连接DE,交MG于点I.
由折叠可知,DE⊥MN,∴∠NMG+MIE=90°
∵∠DIG+∠EDC=90°
,∠MIE=∠DIG(对顶角相等),
∴∠NMG=∠EDC.
在△MNG与△DEC中,
∴△MNG≌△DEC(ASA).
∴MN=DE=cm.
4.解:
已知等式整理得:
=5,即x﹣y=﹣5xy,
则原式===1,
A.
5.解:
把(﹣8,﹣2)代入y=﹣x+b得:
﹣2=8+b,
解得:
b=﹣10,
则一次函数解析式为y=﹣x﹣10,
C.
6.解:
∵﹣4x2+3=5x
∴﹣4x2﹣5x+3=0,或4x2+5x﹣3=0
∴a=﹣4,b=﹣5,c=3或a=4,b=5,c=﹣3.
【点评】此题考查了公式法解一元二次方程的应用条件,首先要把方程化为一般形式.
7.解:
设在直角三角形ABC中,∠A=α,∠C=90°
故sinα=,cosα=;
则m=sinα+cosα=>1.
8.解:
∵二次函数y=2x2+8x+7中a=2>0,
∴开口向上,对称轴为x=﹣=﹣=﹣2,
∵A(﹣2,y1)中x=﹣2,y1最小,B(﹣5,y2),点B关于对称轴的对称点B′横坐标是2×
(﹣2)﹣(﹣5)=1,则有B′(1,y2),因为在对称轴得右侧,y随x得增大而增大,故y2>y3.
∴y2>y3>y1.
9.解:
令y=0,则﹣x+3=0,
解得x=4,
所以,点B的坐标为(4,0),
过点C作CD⊥x轴于D,
设点C的坐标横坐标为a,则OD=a,PD=m﹣a,
∵∠OCP=90°
∴△OCD∽△CPD,
∴=,
∴CD2=OD•DP,
∴(﹣a+3)2=a(m﹣a),
整理得,m=a+﹣,
所以,m≥2﹣=3,
∵点P是线段OB上的一动点(能与点O,B重合),
∴OC⊥AB时,点P、B重合,m最大,
∴m的取值范围是3≤m≤4.
10.解:
∵对称轴是x=,0<x1<
故由对称性<x2<1
当x=a时,y<0,
则a的范围是x1<a<x2,
所以a﹣1<0,
当x时y随x的增大而减小,
当x=0时函数值是m.
因而当x=a﹣1<0时,函数值y一定大于m.
11.解:
(1)(a﹣2)(b+2)
=ab+2a﹣2b﹣4
=ab+2(a﹣b)﹣4
=﹣2+2﹣4
=﹣4
(2)∵(x±
4)2=x2±
8x+16,
∴﹣(m﹣2)=±
8,
∴m=10或m=﹣6
故答案为:
﹣4;
10或﹣6
12.解:
∵|a+1|+=0,
又∵|a+1|≥0,≥0,
∴a+1=0,b﹣1=0,
∴a=﹣1,b=1,ab=﹣1,
∴(ab)2014=(﹣1)2014=1.
故答案为1.
13.解:
∵DF=DC,DE=DB,且∠EDF+∠BDC=180°
过点A作AI⊥EH,交HE的延长线于点I,
∴∠I=∠DFE=90°
∵∠AEI+∠DEI=∠DEI+∠DEF=90°
∴∠AEI=∠DEF,
∵AE=DE,
∴△AEI≌△DEF(AAS),
∴AI=DF,
∵EH=EF,
∴S△AHE=S△DEF,
同理:
S△BDC=S△GFI=S△DEF,
S△AHE+S△BDC+S△GFI=S1+S2+S3=3×
S△DEF,
S△DEF=×
3×
4=6,
∴S1+S2+S3=18.
18.
14.解:
∵x1<0<x2,∴A(x1,y1),B(x2,y2)不同象限,y1>y2,
∴点A在第二象限,B在第四象限,∴1﹣2m<0,m>.
故答案为m>.
15.解:
∵y=﹣4x2+4mx﹣4m﹣m2=﹣4(x﹣)2﹣4m,
∴抛物线开口向下,对称轴为直线x=.
当<0,即m<0时,x=0时y取最大值(如图1所示),
∴﹣4m﹣m2=﹣5,
m1=﹣5,m2=1(不合题意,舍去);
当0≤≤1,即0≤m≤2时,x=时y取最大值(如图2所示),
∴﹣4m=﹣5,
m3=;
当>1,即m>2时,x=1时y取最大值(如图3所示),
∴﹣4+4m﹣4m﹣m2=﹣5,
m4=﹣1(不合题意,舍去),m5=1(不合题意,舍去).
综上所述,m的值为﹣5或.
﹣5或.
16.解:
①如图,根据圆和正方形的对称性可知:
GH=DG=GF,
H为半圆的圆心,不妨设GH=a,则GF=2a,
在直角三角形FGH中,由勾股定理可得HF=.由此可得,半圆的半径为a,正方形边长为2a,
所以半圆的半径与正方形边长的比是a:
2a=:
2;
②因为正方形DEFG的面积为100,所以正方形DEFG边长为10.
切点分别为I,J,连接EB、AE,OI、OJ,
∵AC、BC是⊙O的切线,
∴CJ=CI,∠OJC=∠OIC=90°
∵∠ACB=90°
∴四边形OICJ是正方形,且边长是4,
设BD=x,AD=y,则BD=BI=x,AD=AJ=y,
在直角三角形ABC中,由勾股定理得(x+4)2+(y+4)2=(x+y)2①;
在直角三角形AEB中,
∵∠AEB=90°
,ED⊥AB,
∴△ADE∽△BDE∽△ABE,
于是得到ED2=AD•BD,即102=x•y②.
解①式和②式,得x+y=21,
即半圆的直径AB=21.
三.解答题(共5小题,满分50分,每小题10分)
17.解:
(1)△ABC的面积=3×
3﹣×
2×
1﹣×
3,
=9﹣1﹣1.5﹣3,
=9﹣5.5,
=3.5;
(2)△DEF如图2所示;
面积=2×
4﹣×
1×
2﹣×
4,
=8﹣1﹣2﹣2,
=8﹣5,
=3;
(3)∵△ABE是等腰直角三角形,
∴AB=AE,∠BAE=90°
∴∠PAE+∠BAG=180°
﹣90°
=90°
又∵∠AEP+∠PAE=90°
∴∠BAG=∠AEP,
在△ABG和△EAP中,
∴△ABG≌△EAP(AAS),
同理可证,△ACG≌△FAQ,
∴EP=AG=FQ;
(4)如图4,过R作RH⊥PQ于H,设RH=h,
在Rt△PRH中,PH==,
在Rt△RQH中,QH==,
∴PQ=+=6,
=6﹣,
两边平方得,25﹣h2=36﹣12+13﹣h2,
整理得,=2,
两边平方得,13﹣h2=4,
解得h=3,
∴S△PQR=×
6×
3=9,
∴六边形花坛ABCDEF的面积=25+13+36+4×
9=74+36=110m2.
(1)3.5;
(2)3;
(4)110.
18.解:
(Ⅰ)对称轴x=﹣=2.
(Ⅱ)∵该二次函数的图象开口向下,且对称轴为直线x=2,
∴当x=2时,y取到在1≤x≤4上的最大值为2,即P(2,2),
∴4a﹣8a+3a=2,
∴a=﹣2,
∴y=﹣2x2+8x﹣6,
∵当1≤x≤2时,y随x的增大而增大,
∴当x=1时,y取到在1≤x≤2上的最小值0.
∵当2≤x≤4时,y随x的增大而减小,
∴当x=4时,y取到在2≤x≤4上的最小值﹣6.
∴当1≤x≤4时,y的最小值为﹣6,即Q(4,﹣6).
∴△OPQ的面积为4×
(2+6)﹣2×
2÷
2﹣4×
6÷
2﹣(4﹣2)×
(2+6)÷
2=10;
(Ⅲ)∵当t≤x1≤t+1,x2≥5时,均满足y1≥y2,
∴当抛物线开口向下,点P在点Q左边或重合时,满足条件,
∴t+1≤5,
∴t≤4,
∴t的最大值为4.
19.解:
(1)当F点与C点重合时,如图1所示:
∵△DEF为等边三角形,
∴∠DFE=60°
∵∠B=30°
∴FD=BC=3;
(2)过E点作EG⊥AB,
∵∠DEF=60°
,∠B=30°
∴∠BME=30°
∴EB=EM
在Rt△EBG中,BG=x×
cos30°
=x,
∴BM=2BG=x,
∴M点在BA上的移动速度为=,
F点作FH⊥F1D1,在Rt△FF1H中,FH=x×
点N在BA上的移动速度为=;
(3)在Rt△DMN中,DM=3﹣x,MN=(3﹣x)×
==(3﹣x),
当P点运动到M点时,有2x+x=3,
∴x=1
①当P点在DM之间运动时,过P点作PP1⊥AB,垂足为P1
在Rt△PMP1中,PM=3﹣x﹣2x=3﹣3x,
∴PP1=(3﹣3x)=(1﹣x),
∴y与x的函数关系式为:
y=×
(3﹣x)×
(1﹣x)=(x2﹣4x+3)(0≤x≤1),
②当P点在ME之间运动时,过P点作PP2⊥AB,垂足为P2,
在Rt△PMP2中,PM=x﹣(3﹣2x)=3(x﹣1),
∴PP2=(1﹣x),
(1﹣x),
=﹣(x2﹣4x+3)(1<x≤).
③当P点在EF之间运动时,过P点作PP3⊥AB,垂足为P3,
在Rt△PMP3中,PB=x+(2x﹣3)=3(x﹣1),
∴PP3=(x﹣1),
(x﹣1),
=﹣(x2﹣4x+3)(≤x≤3),
∴y=﹣(x﹣2)2+,
∴当x=2时,y最大=,
而当P点在D点时,y=×
×
=,
∵>,
∴当P点在D点时,△PMN的面积最大.
20.解:
(1)抛物线的解析式为y=﹣+c,
∵点(0,5)在抛物线上
∴c=5;
(2)由
(1)知,OC=5,
令y=0,即﹣+5=0,解得x1=10,x2=﹣10;
∴地毯的总长度为:
AB+2OC=20+2×
5=30,
∴30×
1.5×
20=900
答:
购买地毯需要900元.
(3)可设G的坐标为(m,﹣+5)其中m>0
则EF=2m,GF=﹣+5,
由已知得:
2(EF+GF)=27.5,
即2(2m﹣+5)=27.5,
m1=5,m2=35(不合题意,舍去),
把m1=5代入,﹣+5=﹣×
52+5=3.75,
∴点G的坐标是(5,3.75),
∴EF=10,GF=3.75,
在Rt△EFG中,tan∠GEF===0.375,
∴∠GEF≈20.6°
.
21.解:
(1)∵直线l:
y=x+m经过点B(0,﹣1),
∴m=﹣1,
∴直线l的解析式为y=x﹣1,
∵直线l:
y=x﹣1经过点C(4,n),
∴n=×
4﹣1=2,
∵抛物线y=x2+bx+c经过点C(4,2)和点B(0,﹣1),
∴,
解得,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣1;
(2)令y=0,则x﹣1=0,
解得x=,
∴点A的坐标为(,0),
∴OA=,
在Rt△OAB中,OB=1,
∴AB===,
∵DE∥y轴,
∴∠ABO=∠DEF,
在矩形DFEG中,EF=DE•cos∠DEF=DE•=DE,
DF=DE•sin∠DEF=DE•=DE,
∴p=2(DF+EF)=2(+)DE=DE,
∵点D的横坐标为t(0<t<4),
∴D(t,t2﹣t﹣1),E(t,t﹣1),
∴DE=(t﹣1)﹣(t2﹣t﹣1)=﹣t2+2t,
∴p=×
(﹣t2+2t)=﹣t2+t,
∵p=﹣(t﹣2)2+,且﹣<0,
∴当t=2时,p有最大值;
(3)∵△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°
∴A1O1∥y轴时,B1O1∥x轴,设点A1的横坐标为x,
①如图1,点O1、B1在抛物线上时,点O1的横坐标为x,点B1的横坐标为x+1,
∴x2﹣x﹣1=(x+1)2﹣(x+1)﹣1,
②如图2,点A1、B1在抛物线上时,点B1的横坐标为x+1,点A1的纵坐标比点B1的纵坐标大,
∴x2﹣x﹣1=(x+1)2﹣(x+1)﹣1+,
解得x=﹣,
综上所述,点A1的横坐标为或﹣.
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