初中数学七年级上册知识点总结Word文档格式.doc

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①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）

②负整数、0统称为非正整数

③正有理数、0统称为非负有理数

④负有理数、0统称为非正有理数

（3）注意：

有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；

这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；

（4）自然数Û

0和正整数；

a＞0Û

a是正数；

a＜0Û

a是负数；

a≥0Û

a是正数或0Û

a是非负数；

a≤0Û

a是负数或0Û

a是非正数.

三．数轴

⒈数轴的概念

规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。

⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；

⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；

⑶同一数轴上的单位长度要统一；

⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。

2.数轴上的点与有理数的关系

⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。

⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。

（如，数轴上的点π不是有理数）

3.利用数轴表示两数大小

⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；

⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；

⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。

4.数轴上特殊的最大（小）数

⑴最小的自然数是0，无最大的自然数；

⑵最小的正整数是1，无最大的正整数；

⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数

5.a可以表示什么数

⑴a>

0表示a是正数；

反之，a是正数，则a>

0；

⑵a<

0表示a是负数；

反之，a是负数，则a<

⑶a=0表示a是0；

反之，a是0,，则a=0

6.数轴上点的移动规律

根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。

四．相反数

⒈相反数

只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。

⑴相反数是成对出现的；

⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；

⑶0的相反数是它本身；

相反数为本身的数是0。

2.相反数的性质与判定

⑴任何数都有相反数，且只有一个；

⑵0的相反数是0；

⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0

3.相反数的几何意义

在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；

互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。

0的相反数对应原点；

原点表示0的相反数。

说明：

在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。

4.相反数的求法

⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：

5的相反数是-5）；

0的相反数还是0；

⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；

5a+b的相反数是-（5a+b）。

化简得-5a-b）；

a-b+c的相反数是-a+b-c；

a-b的相反数是b-a；

a+b的相反数是-a-b；

⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简（如：

-5的相反数是-（-5），化简得5）；

）相反数的和为0Û

a+b=0Û

a、b互为相反数

5.相反数的表示方法

⑴一般地，数a的相反数是-a，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。

当a>

0时，-a<

0（正数的相反数是负数）

当a<

0时，-a>

0（负数的相反数是正数）

当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）

6.多重符号的化简

多重符号的化简规律:

“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；

“-”号的个数决定最后化简结果；

即：

“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。

五．绝对值

⒈绝对值的几何定义

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。

2.绝对值的代数定义

⑴一个正数的绝对值是它本身；

⑵一个负数的绝对值是它的相反数；

⑶0的绝对值是0.

可用字母表示为：

①如果a>

0，那么|a|=a；

②如果a<

0，那么|a|=-a；

③如果a=0，那么|a|=0。

可归纳为①：

a≥0，<

═>

|a|=a（非负数的绝对值等于本身；

绝对值等于本身的数是非负数。

）

②a≤0，<

|a|=-a（非正数的绝对值等于其相反数；

绝对值等于其相反数的数是非正数。

3.绝对值的性质

任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。

所以，a取任何有理数，都有|a|≥0。

即

（1）正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；

绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；

绝对值是0的数是0.即：

a=0<

|a|=0；

⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.绝对值可表示为：

或；

|a|≥0；

绝对值的问题经常分类讨论；

⑶任何数的绝对值都不小于原数。

|a|≥a；

；

；

⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。

若|x|=a（a>

0），则x=±

a；

⑸互为相反数的两数的绝对值相等。

|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|；

|a|是重要的非负数，即|a|≥0；

|a|·

|b|=|a·

b|,

⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。

|a|=|b|，则a=b或a=-b；

⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。

即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。

（非负数的常用性质：

若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0）

4.有理数大小的比较

⑴利用数轴比较两个数的大小：

数轴上的两个数相比较，左边的数总比右边的数小，或者右边的数总比左边的数大

⑵利用绝对值比较两个负数的大小：

两个负数比较大小，绝对值大的反而小；

异号两数比较大小，正数大于负数。

（3）正数的绝对值越大，这个数越大；

（4）正数永远比0大，负数永远比0小；

（5）正数大于一切负数；

（6）大数-小数＞0，小数-大数＜0.

5.绝对值的化简

①当a≥0时，|a|=a；

②当a≤0时，|a|=-a

6.已知一个数的绝对值，求这个数

一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。

六．有理数的加减法.

1.有理数的加法法则

⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

⑶互为相反数的两数相加，和为零；

⑷一个数与0相加，仍得这个数。

2.有理数加法的运算律

⑴加法交换律：

a+b=b+a

⑵加法结合律：

（a+b）+c=a+（b+c）

在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：

①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；

②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；

③分母相同的数先相加——“同分母结合法”；

④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；

⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。

3.加法性质

一个数加正数后的和比原数大；

加负数后的和比原数小；

加0后的和等于原数。

⑴当b>

0时，a+b>

a⑵当b<

0时，a+b<

a⑶当b=0时，a+b=a

4.有理数减法法则

减去一个数，等于加上这个数的相反数。

用字母表示为：

a-b=a+（-b）。

5.有理数加减法统一成加法的意义

在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。

在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。

如：

（-8）+（-7）+（-6）+（+5）=-8-7-6+5.

和式的读法：

①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”

②按运算意义读作“负8减7减6加5”

6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧：

Ⅰ.把符号相同的加数相结合（同号结合法）

（-33）-（-18）+（-15）-（+1）+（+23）

原式=-33+（+18）+（-15）+（-1）+（+23）（将减法转换成加法）

=-33+18-15-1+23（省略加号和括号）

=（-33-15-1）+（18+23）（把符号相同的加数相结合）

=-49+41（运用加法法则一进行运算）

=-8（运用加法法则二进行运算）

Ⅱ.把和为整数的加数相结合（凑整法）

（+6.6）+（-5.2）-（-3.8）+（-2.6）-（+4.8）

原式=（+6.6）+（-5.2）+（+3.8）+（-2.6）+（-4.8）（将减法转换成加法）

=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8（省略加号和括号）

=（6.6-2.6）+（-5.2-4.8）+3.8（把和为整数的加数相结合）

=4-10+3.8（运用加法法则进行运算）

=7.8-10（把符号相同的加数相结合，并进行运算）

=-2.2（得出结论）

Ⅲ.把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法）

--+-+-

原式=（--）+（-+）+（+-）

=-1+0-

=-1

Ⅳ.既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合）

（+0.125）-（-3）+（-3）-（-10）-（+1.25）

原式=（+）+（+3）+（-3）+（+10）+（-1）

=+3-3+10-1

=（3-1）+（-3）+10

=2-3+10

=-3+13

=10

Ⅴ.把带分数拆分后再结合（先拆分后结合）

-3+10-12+4

原式=（-3+10-12+4）+（-+）+（-）

=-1++

=-

Ⅵ.分组结合

2-3-4+5+6-7-8+9…+66-67-68+69

原式=（2-3-4+5）+（6-7-8+9）+…+（66-67-68+69）

=0

Ⅶ.先拆项后结合

（1+3+5+7…+99）-（2+4+6+8…+100）

七．有理数的乘除法

1.有理数的乘法法则

法则一：

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；

（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）

法则二：

任何数同0相乘，都得0；

法则三：

几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；

负因数的个数是奇数时，积是负数；

法则四：

几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0.

2.倒数

乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·

=1（a≠0），就是说a和互为倒数，即a是的倒数，是a的倒数。

互为倒数：

乘积为1的两个数互为倒数；

0没有倒数；

若a≠0，那么的倒数是；

倒数是本身的数是±

1；

若ab=1Û

a、b互为倒数；

若ab=-1Û

a、b互为负倒数.

①0没有倒数；

②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；

求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；

③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。

（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）；

④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。

3.有理数的乘法运算律

⑴乘法交换律：

一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。

即ab=ba

⑵乘法结合律：

三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。

即（ab）c=a（bc）.

⑶乘法分配律：

一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。

即a（b+c）=ab+ac

4.有理数的除法法则

（1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数；

零不能做除数，

（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何一个不等于0的数，都得0

5.有理数的乘除混合运算

（1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。

（2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行。

八．有理数的乘方

1.乘方的概念

求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

在中，a叫做底数，n叫做指数。

（1）a2是重要的非负数，即a2≥0；

若a2+|b|=0Û

a=0,b=0；

（2）据规律底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位

2.乘方的性质

（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数；

当n为正奇数时:

（-a）n=-an或（a-b）n=-（b-a）n,当n为正偶数时:

（-a）n=an或（a-b）n=（b-a）n.

（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。

九．有理数的混合运算

做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：

1.先乘方，再乘除，最后加减；

2.同级运算，从左到右进行；

3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。

十．科学记数法

把一个大于10的数表示成的形式（其中，n是正整数），这种记数法是科学记数法

近似数的精确位：

一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.

有效数字：

从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.

混合运算法则：

先乘方，后乘除，最后加减；

怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原则.

特殊值法：

是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明.

等于本身的数汇总：

相反数等于本身的数：

倒数等于本身的数：

1，-1

绝对值等于本身的数：

正数和0

平方等于本身的数：

0,1

立方等于本身的数：

0,1，-1.

第二章整式的加减

一．用字母表示数（代数初步知识）

1.代数式：

用运算符号“＋－×

÷

……”连接数及表示数的字母的式子称为代数式.注意：

用字母表示数有一定的限制，首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义；

单独一个数或一个字母也是代数式；

用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式，如n,-1,2n+500,abc。

2.代数式书写规范：

（1）数与字母相乘，或字母与字母相乘中通常使用“·

”乘，或省略不写；

（2）数与数相乘，仍应使用“×

”乘，不用“·

”乘，也不能省略乘号；

（3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a×

5应写成5a；

（4）带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如a×

应写成a；

（5）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷

a写成的形式；

（6）a与b的差写作a-b，要注意字母顺序；

若只说两数的差，当分别设两数为a、b时，则应分类，写做a-b和b-a.

出现除式时，用分数表示；

（7）若运算结果为加减的式子，当后面有单位时，要用括号把整个式子括起来。

3.几个重要的代数式：

（m、n表示整数）

（1）a与b的平方差是：

a2-b2；

a与b差的平方是：

（a-b）2；

（2）若a、b、c是正整数，则两位整数是：

10a+b,则三位整数是：

100a+10b+c；

（3）若m、n是整数，则被5除商m余n的数是：

5m+n；

偶数是：

2n，奇数是：

2n+1；

三个连续整数是：

n-1、n、n+1；

（4）若b＞0，则正数是:

a2+b，负数是：

-a2-b，非负数是：

a2，非正数是：

-a2.

二．整式

1.单项式：

表示数与字母的乘积的代数式叫单项式。

单独的一个数或一个字母也是代数式。

2.单项式的系数：

单项式中的数字因数；

单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；

3.单项式的次数：

一个单项式中，所有字母的指数和

4多项式：

几个单项式的和叫做多项式。

每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。

多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

常数项的次数为0。

（若a、b、c、p、q是常数）ax2+bx+c和x2+px+q是常见的两个二次三项式.

5整式：

单项式和多项式统称为整式，即凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式.整式分类为：

.

分母上含有字母的不是整式。

6.多项式的升幂和降幂排列：

把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）.注意：

多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列.

三．整式的加减

1.合并同类项

2同类项：

所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

3合并同类项的法则：

同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。

4合并同类项的步骤：

（1）准确的找出同类项；

（2）运用加法交换律，把同类项交换位置后结合在一起；

（3）利用法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；

（4）写出合并后的结果。

5去括号

去括号的法则：

（1）括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项的符号都不变；

（2）括号前面是“—”号，把括号和它前面的“—”号去掉，括号里各项的符号都要改变。

6添括号法则：

添括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；

若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号.

7整式的加减：

进行整式的加减运算时，如果有括号先去括号，再合并同类项；

整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并.

8整式加减的步骤：

（1）列出代数式；

（2）去括号；

（3）添括号（4）合并同类项。

第三章一元一次方程

1等式与等量：

用“=”号连接而成的式子叫等式.注意：

“等量就能代入”！

2等式的性质：

等式性质1：

等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；

等式性质2：

等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得结果仍是等式.

3方程：

含未知数的等式，叫方程.

4一元一次方程的概念：

只含有一个未知数（元）（含未知数项的系数不是零）且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程。

一般形式：

ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）.最简形式：

ax=b（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）

未知数在分母中时，它的次数不能看成是1次。

如，它不是一元一次方程。

5解一元一次方程

方程的解：

能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；

“方程的解就能代入”验算！

解方程：

求方程的解的过程叫做解方程。

等式的性质：

（1）等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；

（2）等式两边都乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍是等式。

6移项

移项：

方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。

移项的依据：

（1）移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质1；

（2）系数化为1实际上就是对方程两边同时乘除，根据是等式的性质2。

移项的作用：

移项时一般把含未知数的项向左移，常数项往右移，使左边对含未知数的项合并，右边对常数项合并。

移项时要跨越“=”号，移过的项一定要变号。

7解一元一次方程的一般步骤：

整理方程、去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1；

（检验方程的解）。

去分母时不可漏乘不含分母的项。

分数线有括号的作用，去掉分母后，若分子是多项式，要加括号。

解下列方程：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）

8用方程解决问题

列一元一次方程解应用题的基本步骤：

审清题意、设未知数（元）、列出方程、解方程、写出答案。

关键在于抓住问题中的有关数量的相等关系，列出方程。

解决问题的策略：

利用表格和示意图帮助分析实际问题中的数量关系

9列一元一次方程解应用题：

（1）读题分析法:

…………多用于“和，差，倍，分问题”

仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：

“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.

（2）画图分析法:

…………多用于“行程问题”

利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础.

10实际问题的常见类型：

（1）行程问题：

路程=时间×

速度，时间=，速度=

（单位：

路程——米、千米；

时间——秒、分、时；

速度——米／秒、米／分、千米／小时）

（2）工程问题：

工作总量=工作时间×

工作效率，；

；

工