初中数学函数专题总结Word文档格式.doc
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(1)列表(一般找4-6个点);
(2)描点;
(3)连线,可以作出一次函数的图象。
(用平滑的直线连接)
2)性质:
在一次函数图象上的任意一点P(x,y),都满足等式:
y=kx+b。
3)k,b与函数图象所在象限。
当k>0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大;
当k<0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。
当b>0时,直线必通过一、二象限;
当b<0时,直线必通过三、四象限。
当b=0时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图象。
这时,当k>0时,直线只通过一、三象限;
当k<0时,直线只通过二、四象限。
4、在y=kx+b中,两个坐标系必定经过(0,b)和(-b/k,0)两点
k>
0,b>
0k>
0,b<
0k<
反比例函数
1.反比例函数:
一般地,如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=kx-1(k为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数
反比例函数的图像为双曲线。
2.反比例函数的概念需注意以下几点:
(1)(k为常数,k≠0);
(2)自变量x的取值范围是x≠0的一切实数;
(3)因变量y的取值范围是y≠0的一切实数.
3.因为在y=k/x(k≠0)中,x不能为0,y也不能为0,所以反比例函数的图象不可能与x轴相交,也不可能与y轴相交.
4.在一个反比例函数图象上任取两点P,Q,过点P,Q分别作x轴,y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1,S2则S1=S2=|K|
二次函数
1.一般地,自变量x和因变量y,y是x的函数之间存在如下关系:
y=ax^2+bx+c(a≠0)a,b,c为常数,a≠0,则称y为x的二次函数。
2.二次函数的三种表达式
一般式:
y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
顶点式:
y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h,k)]对于二次函数y=ax^2+bx+c其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/(4a))
交点式:
y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A(x1,0)和B(x2,0)的抛物线]
其中x1,2=(-b±
√(b^2-4ac))/(2a)(即一元二次方程求根公式)
注:
在3种形式的互相转化中,有如下关系:
h=-b/2a
k=(4ac-b²
)/4a
x1,x2=(-b±
√b²
-4ac)/2a二次函数的图像
3.在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像,
二次函数可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。
二次函数标准画法步骤
(在平面直角坐标系上)
(1)列表
(2)描点
(3)连线
4.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P,坐标为P(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
当-b/2a=0时,P在y轴上;
当Δ=b^2-4ac=0时,P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时,抛物线向上开口;
当a<0时,抛物线向下开口。
|a|越大,则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c)
6.抛物线与x轴交点个数
Δ=b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b^2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。
当a>
0时,函数在x=-b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a;
在{x|x<
-b/2a}上是减函数,在{x|x>
-b/2a}上是增函数;
抛物线的开口向上;
函数的值域是{x|x≥4ac-b^2/4a}相反不变
当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)
二次函数与一元二次方程
特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c,
当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),
即ax^2+bx+c=0此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
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