期末汇编一次函数综合题Word格式.docx
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期末汇编一次函数综合题Word格式.docx
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26.
(1)函数y的自变量x的取值范围是全体实数;
…………………1分
(3)m、n的取值不唯一,符合即可.…………………2分
(4)图象略;
(要求描点、连线正确)…………………4分
(5)答案不唯一,符合函数y的性质均可.…………………5分
29.阅读材料:
通过一次函数的学习,小明知道:
当已知直线上两个点的坐标时,可以用待定系数法,求出这个一次函数的表达式.
有这样一个问题:
直线l1的表达式为y=-2x+4,若直线l2与直线l1关于y轴对称,求直线l2的表达式.
下面是小明的解题思路,请补充完整.
第一步:
求出直线l1与x轴的交点A的坐标,与y轴的交点B的坐标;
第二步:
在平面直角坐标系中,作出直线l1;
第三步:
求点A关于y轴的对称点C的坐标;
第四步:
由点B,点C的坐标,利用待定系数法,即可求出直线l2的表达式.
小明求出的直线l2的表达式是_________________.
请你参考小明的解题思路,继续解决下面的问题:
(1)若直线l3与直线l1关于直线y=x对称,则直线l3的表达式是_________________;
(2)若点M(m,3)在直线l1上,将直线l1绕点M顺时针旋转90。
得到直线l4,求直线l4的表达式.
29.y=2x+4…………………………………1分
(1)……………………2分
(2)解:
过M点作直线l4⊥l1,l4交y轴于点D.
作MN⊥y轴于点N.
∵点M(m,3)在直线l1上
∴-2m+4=3
∴m=
∴MN=,BN=1
∴BM=…………………………………3分
设ND=a,则MN=,BN=1,BD=a+1
由勾股定理得:
解得:
a=
∴D(0,)…………………………………………4分
设直线l4的表达式y=kx+
把M(,3)代入得:
k=
∴直线l4的表达式y=x+…………………………………………5分
(本题还有其它方法,请酌情给分)
3.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,3)、B(6,3),连接AB.如果对于平面内一点P,线段AB上都存在点Q,使得PQ≤1,那么称点P是线段AB的“附近点”.
(1)请判断点D(4.5,2.5)是否是线段AB的“附近点”;
(2)如果点H(m,n)在一次函数的图象上,且是线段AB的“附近点”,求m的取值范围;
(3)如果一次函数的图象上至少存在一个“附近点”,请直接写出b的取值范围.
26.解:
(1)是;
………………………………………1分
(2)∵点H(m,n)是线段AB的“附近点”,点H(m,n)在直线上,
∴;
方法一:
直线与线段AB交于.
①当时,有≥3,
又AB∥x轴,∴此时点H(m,n)到线段AB的距离是n-3,
∴0≤n-3≤1,∴.…………………2分
②当时,有≤3,
又AB∥x轴,∴此时点H(m,n)到线段AB的距离是3-n,
∴0≤3-n≤1,∴,……………3分
综上所述,.…………………………4分
方法二:
线段AB的“附近点”所在的区域是图中虚线及其内部,
由图可知,当时,,即M;
…………………2分
当时,,即N(5,4).………………………3分
∴.…………………………4分
(3).…………………6分
4.直线与四边形的关系我们给出如下定义:
如图1,当一条直线与一个四边形没有公共点时,我们称这条直线和这个四边形相离.如图2,当一条直线与一个四边形有唯一公共点时,我们称这条直线和这个四边形相切.如图3,当一条直线与一个四边形有两个公共点时,我们称这条直线和这个四边形相交.
(1)如图4,矩形AOBC在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴上,点B在y轴上,OA=3,OB=2,直线y=x+2与矩形AOBC的关系为.
(2)在
(1)的条件下,直线y=x+2经过平移得到直线y=x+b,
当直线y=x+b,与矩形AOBC相离时,b的取值范围是;
当直线y=x+b,与矩形AOBC相交时,b的取值范围是.
(3)已知P(m,m+2),Q(3,m+2),M(3,1),N(m,1),当直线y=x+2与四边形PQMN相切且线段QN最小时,利用图5求直线QN的函数表达式.
29题
(1)相切………………………………1分
(2)①b>2或b〈-3,②-3<
b<
2…………………………………3分
(3)∵P(m,m+2),Q(3,m+2),M(3,1),N(m,1)
∴PQ∥MN,PN∥QM,PN⊥x轴
∴四边形PQMN是矩形
∴PM=QN
∵直线y=x+2与矩形PQMN相切
∴y=x+2必过P点
∵线段QN最短,
∴只需线段PM最短,
根据点到直线的距离,垂线段最短得MP垂直直线时最短……………………6分
∵y=x+2
∵E(-2,0),H(0,2)
∴OE=OH
∴∠OEH=45°
∵FN∥x轴
∴∠2=45°
当∠NMP=45°
时,∠MPE=90°
,MP⊥EH,此时最短………………………7分
∵∠NMP=45°
∴∠NPM=45°
∴PN=MN
∴矩形PQMN是正方形时线段QN最短
∵PN=m+1,MN=3-m
∴m+1=3-m
∴m=1
∴Q(3,3)N(1,1)
∴直线QN的函数表达式:
y=x…………………………………8分
5.已知菱形OABC在坐标系中的位置如图所示,O是坐标原点,点C,点A在x轴上.
点M(0,2).
(1)点P是直线OB上的动点,求PM+PC最小值.
(2)将直线向上平移,得到直线.
①当直线y=kx+b与线段OC有公共点时,结合图象,直接写出b的取值范围.
②当直线y=kx+b将四边形OABC分成面积相等的两部分时,求k,b.
(只需写出解题的主要思路,不用写出计算结果).
备用图1
备用图2
28.
(1)
由已知,OA=OC=
连接AC、OB,设AC与OB交于点D.
∵四边形OABC是菱形
∴AC⊥OB,CD=DA.
∴PC+PM≤PM+PA≤AM.
即PC+PM≤………………………………………………….3分
(2)①0≤b≤3.……………………………………5分
②
由OC=OA点A在x轴上,可求点A的坐标;
由CB//OA,CB=OA,可求点B的坐标;
利用待定系数法求出直线OB、直线AC的表达式;
求出直线AC、直线OB的交点D的坐标;
第五步:
因为直线是由平移得到,可得;
由直线经过点D,可求b值.
……………………………………………………………………..8分.
6.对于平面直角坐标系中的任意点,点P到x,y轴的距离分别为d1,d2我们把d1+d2称为点P的直角距离.记作,即.直线y=-2x+4分别与x,y轴交于点A,B,点P在直线上.
(1)当P为线段AB的中点时,d=________;
(2)当d=3时,求点P的坐标;
(3)若在线段AB上存在无数个P点,使d1+ad2=4(a为常数),求a的值.
29.解:
(1)3;
1
(2)设P(m,-2m+4),
∴d=d1+d2=|m|+|-2m+4|.
当0≤m≤2时,d=d1+d2=m-2m+4=4-m=3,
m=1,此时P1(1,2). 2
当m>2时,d=d1+d2=m+2m-4=3,
m=,此时P(,). 3
当m<0时,d=d1+d2=-m-2m+4=3,
m=,因为m<0,所以此时不存在点P.
综上,P的坐标为(1,2)或(,). 4
(3)设P(m,-2m+4),
∴d1=|-2m+4|,d2=|m|. 5
∵P在线段AB上,
∴0≤m≤2.
∴d1=-2m+4,d2=m.
∵d1+ad2=4,
∴-2m+4+am=4,即(a-2)m=0. 6
∵有无数个点,
∴a=2. 7
7.在平面直角坐标系xOy中,过象限内一点分别作坐标
轴的垂线,若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等,
则这个点叫做“和谐点”.如右图,过点H(-3,6)分
别作x轴,y轴的垂线,与坐标轴围成的矩形OAHB
的周长与面积相等,则点H(3,6)是“和谐点”.
(1)H1(1,2),H2(4,-4),H3(-2,5)这三个点中的“和谐点”为;
(2)点C(-1,4)与点P(m,n)都在直线上,且点P是“和谐点”.
若m>0,求点P的坐标.
26.
(1)H2⋯⋯⋯⋯⋯1分
∵点C(-1,4)在直线上
∴∴
∴⋯⋯⋯⋯⋯2分
∴与x轴,y轴的交点为N(3,0),M(0,3)
∵点P(m,n)在直线上
∴点P(m,-m+3)
过点P分别作x轴,y轴的垂线,垂足为D,E
∵m>0
图2
图1
∴点P可能在第一象限或第四象限
(解法一)①若点P在第一象限,如图1,则
∴
∵点P是“和谐点”
∴⋯⋯⋯3分
∴此方程无实根
∴第一象限的直线上的点不可能是“和谐点”.⋯⋯⋯⋯⋯4分
②若点P在第四象限,如图2,则
∴⋯⋯5分
∵点P(m,-m+3)在第四象限
∴点P(6,-3)⋯⋯⋯⋯⋯6分
综上所述,满足条件的点P的坐标为P(6,-3).
(解法二)①若点P在第一象限,如图1,
则
∵⋯⋯⋯3分
而
∴第一象限的直线上的点不可能是“和谐点”.⋯⋯⋯⋯⋯4分
②若点P在第四象限,如图2,则
∴⋯⋯⋯⋯⋯5分
∴
经检验,是方程的解
∴点P(6,-3)⋯⋯⋯⋯⋯6分
8.在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为(a,b),点P的“变换点”P’的坐标
定义如下:
当时,P’点坐标为(b,-a);
当时,P’点坐标为(a,-b).
(1)求A(5,3),B(1,6),C(-2,4)的变换点坐标;
(2)如果直线l与x轴交于点D(6,0),与y轴交于点E(0,3).直线l上所有点的变换点组成一个新的图形,记作图形W,请画出图形W,并简要说明画图的思路;
(3)若直线y=kx-1(k≠0)与图形W有两个交点,请直接写出k的取值范围.
29.(本小题满分7分)
(1)(3,-5),(1,-6),(-2,-4)…………………………3分
(2)画出图形W…………………………4分
画图的思路:
1.由点D,E坐标,求出直线l的表达式;
2.求出直线l上横纵坐标相等的点F坐标;
3.求出点F的变换点Q的坐标;
4.求出点D,E的变换点M,N的坐标;
5.作射线QM,QN
射线QM和QN组成的图形即为所求.…………………..5分
(3)k<-或k>2…………………………7分
9.如图所示,将菱形放置于平面直角坐标系中,其中边在轴上点坐标为. 直线m:
经过点,将该直线沿着轴以每秒个单位的速度向上平移,设平移时间为经过点时停止平移.
(1)填空:
点的坐标为
,
(2)设平移时间为t,求直线m经过点A、C、D的时间t;
(3)已知直线m与BC所在直线互相垂直,在平移过程中,直线m被菱形截得线段的长度为l,请写出l与平移时间函数关系表达式(不必写出详细的解答过程,简要说明你的解题思路,写清结果即可).
29.
(1)点D的坐标为(4,5).…………………1分
∵∴B(0,-3),OB=3
∵C(4,0)∴OC=4,由勾股定理BC=5,即菱形边长是5,点A(0,2)
直线m:
从点B(0,-3)开始沿着y轴向上平移,
设平移过程中直线m的函数表达式为,直线m与y轴交点为M,则BM=t
当直线m:
经过点A(0,2)时:
M与A重合,t=BM=BA=5;
…………………2分
经过点C(4,0)时:
,此时M坐标为(0,),t=BM=;
……3分
经过点D(4,5)时:
,此时M坐标为(0,),t=BM=…………4分
(3)①当0≤t≤5时,如图1:
设直线m交y轴于M,
交BC于N,则l=MN,BM=t
∵在平移过程中直线m与BC所在直线互相垂直
显然△BNM∽△BOC,
∵OC=4,BC=5∴l=MN=…………………5分
②当5<t≤时,设直线m交y轴于M,交BC于N,
交AD于P,此时:
l=NP,BM=t
过A点作AE⊥BC于E,则AE=PN=l.
此时△AEB≌△COB,AE=OC=4
∴l=4…………………6分
③当<t≤时,设直线m交y轴于M,交AD于P,
交CD于N,此时:
l=PN,BM=t,MA=t-5
过N点作NF∥BC交y轴于F,则FN=BC=5.
由△MFN∽△CBO,得,MN=;
由△MAP∽△CBO,得,MP=
l=PN=MN-MP=………………7分
综上所述:
…………………8分
10.如图1,将矩形ABCD置于平面直角坐标系中,其中AD边在x轴上,AB=2,直线MN:
y=x﹣4沿x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移,设在平移过程中该直线被矩形ABCD的边截得的线段长度为m,平移时间为t,m与t的函数图象如图2所示.
(1)点A的坐标为 ,矩形ABCD的面积为 ;
(2)求a,b的值;
(3)在平移过程中,求直线MN扫过矩形ABCD的面积S与t的函数关系式(其中)
27.解:
(1)令直线y=x﹣4的y=0得:
x﹣4=0,解得:
x=4,
∴点M的坐标为(4,0).
由函数图象可知:
当t=3时,直线MN经过点A,
∴点A的坐标为(1,0)………………1分
沿x轴的负方向平移3个单位后与矩形ABCD相交于点A,
∵y=x﹣4沿x轴的负方向平移3个单位后直线的解析式是:
y=x+3﹣4=x﹣,
∴点A的坐标为(1,0);
当t=7时,直线MN经过点D,
∴点D的坐标为(﹣3,0).
∴AD=4.
∴矩形ABCD的面积=AB•AD=4×
2=8.………………2分
(2)如图1所示;
当直线MN经过点B时,直线MN交DA于点E.
∵点A的坐标为(1,0),
∴点B的坐标为(1,2)
设直线MN的解析式为y=x+c,
将点B的坐标代入得;
1+c=2.
∴c=1.
∴直线MN的解析式为y=x+1.
将y=0代入得:
x+1=0,解得x=﹣1,
∴点E的坐标为(﹣1,0).
∴BE===2.
∴a=2………………3分
如图2所示,当直线MN经过点C时,直线MN交x轴于点F.
∵点D的坐标为(﹣3,0),
∴点C的坐标为(﹣3,2).
设MN的解析式为y=x+d,将(﹣3,2)代入得:
﹣3+d=2,解得d=5.
∴直线MN的解析式为y=x+5.
将y=0代入得x+5=0,解得x=﹣5.
∴点F的坐标为(﹣5,0).
∴b=4﹣(﹣5)=9.………………4分
(3)
当3≤t<5时,如图3所示;
当5≤t<7时,如图4所示:
过点B作BG∥MN.
由
(2)可知点G的坐标为(﹣1,0).
∴FG=t﹣5.
当7≤t≤9时,如图5所示.
FD=t﹣7,CF=2﹣DF=2﹣(t﹣7)=9﹣t.
综上所述,S与t的函数关系式为
28.在学习完一次函数的图像及其性质后,我们可以利用图像上“数对”的一些特殊情况,来重新看待和它相关的一元一次方程、二元一次方程组的解,一元一次不等式(不等式组)的解集问题,下面是有关的描述:
图1是一次函数的图象,由于当时,,所以我们可以知道二元一次方程一组解是;
也可以得到一元一次方程的解是,;
同时还可以得到不等式的解集是.
请尝试用以上的内在联系通过观察图像解决如下问题:
(1)观察图1请直接写出时,x的取值范围___________;
图3
(2)请通过观察图2直接写出
的解集______________;
(3)图3给出了以及的图象,请直接写出
的解集_________________________.
28.
(1)……………………1分
(2)……………………2分
(3)或……………………4分
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- 期末 汇编 一次 函数 综合
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