二次函数汇编大题周矶中学专题复习Word文档下载推荐.doc
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一次函数求极值是根据y随x的增大而增大还是缩小;
二次函数的极值分为两部分:
顶点极值和非顶点极值。
是每次中考都要考查的重点内容。
教学时要多加注意。
难度中等。
(2012黑龙江省绥化市,23,6分)如图,二次函数的图像经过坐标原点,与x轴交与点A(-4,0).
(1)求此二次函数的解析式;
(2)在抛物线上存在点P,满足,请直接写出点P的坐标.
【解析】解:
(1)把点A(-4,0)及原点(0,0)代入函数解析式,利用待定系数法求二次函数解析式解答;
解得
所以,此二次函数的解析式为y=-x2-4x;
(2)根据三角形的面积公式求出点P到AO的距离,然后分点P在x轴的上方与下方两种情况解答即可.由已知条件得
(2)∵点A的坐标为(-4,0),
∴AO=4,
设点P到x轴的距离为h,
则S△AOP=×
4h=4,解得h=4,
①当点P在x轴上方时,-x2-4x=4,解得x=-2,所以,点P的坐标为(-2,4);
②当点P在x轴下方时,-x2-4x=-4,解得x1=-2+2,x2=-2-2
所以,点P的坐标为(-2+2,-4)或(-2-2,-4),
综上所述,点P的坐标是:
(-2,4)、(-2+2,-4)、(-2-2,-4).
【答案】⑴;
⑵点P的坐标是:
(-2,4)、(-2+,-4)、(-2-,-4).
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式,二次函数图象上的点的坐标特征,
(2)要注意分点P在x轴的上方与下方两种情况讨论求解.难度中等.
(2012甘肃兰州,27,10分)若x1、x2是关于x一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根,则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系:
.把它们称为一元二次方程根与系数关系定理。
如果设二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的两个交点为A(x1,0),B(x2,0).利用根与系数关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为:
参考以上定理和结论,解答下列问题:
设二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的两个交点A(x1,0),B(x2,0),抛物线的顶点为C,显然△ABC为等腰三角形.
(1)当△ABC为等腰直角三角形时,求的值;
(2)当△ABC为等边三角形时,求的值.
第27题图
解析:
(1)当△ABC为直角三角形时,由于AC=BC,所以△ABC为等腰直角三角形,过C作CD⊥AB于D,则AB=2CD.根据本题定理和结论,得到,根据顶点坐标公式,得到
,列出方程,解方程即可求出的值;
(2)当△ABC为等边三角形时,解直角△ACD,得,据此列出方程,解方程即可求出的值.
解:
(1)当△ABC为等腰直角三角形时,过C作CD⊥AB于D,则AB=2CD.
∵抛物线与x轴有两个交点,∴△=b2-4ac>0,则|b2-4ac|=b2-4ac.
∵a>0,∴AB==
又∵,∴=2×
∴=,∴b2-4ac=
∵>0,
∴=4;
(2)如图,当△ABC为等边三角形时,由
(1)可知CE=AB,
∴=×
∴=12.
点评:
本题考查了等腰直角三角形、等边三角形的性质,抛物线与x轴的交点及根与系数的关系定理,综合性较强,难度中等.
(2012山东省滨州中考,24,10分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣2,﹣4),O(0,0),B(2,0)三点.
(1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式;
(2)若点M是该抛物线对称轴上的一点,求AM+OM的最小值.
(1)将A、O、B三点代入此抛物线求出抛物线的解析式即可。
(2)求出此抛物线的对称轴以及对称轴的垂直平分线的方程,画出它们,由几何关系可求得AM+OM的最小值.
(1)把A(﹣2,﹣4),O(0,0),B(2,0)三点的坐标代入y=ax2+bx+c中,得
解这个方程组,得a=﹣,b=1,c=0
所以解析式为y=﹣x2+x.
(2)由y=﹣x2+x=﹣(x﹣1)2+,可得
抛物线的对称轴为x=1,并且对称轴垂直平分线段OB
∴OM=BM
∴OM+AM=BM+AM
连接AB交直线x=1于M点,则此时OM+AM最小
过点A作AN⊥x轴于点N,
在Rt△ABN中,AB===4,
因此OM+AM最小值为.
【点评】本题考查二次函数的性质:
二次函数的求法、二次函数对称轴的求法、二次函数对称轴的求法以及对称的性质.待定系数法求二次函数的解析式是二次函数常考查的问题,二次函数性质的综合应用在中考中常作为压轴题考查.
(2012甘肃兰州,28,12分)如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(-3,0)、(0,4),抛物线经过点B,且顶点在直线上.
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE,点A、B、O的对应点分别是D、C、E,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;
(3)在
(2)的条件下,连结BD,已知在对称轴上存在一点P是的△PBD的周长最小,求出P点的坐标;
(4)在
(2)、(3)条件下,若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合),过点M作MN∥BD交x轴与点N,连结PM、PN,设OM的长为t,△PMN的面积为S,求S与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围。
S是否存在最大值?
若存在,求出最大值和此时M点的坐标;
若不存在,说明理由。
第28题图
(1)根据抛物线经过点B(0,4),以及顶点在直线上,得出b,c即可;
(2)根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0),利用图象上点的性质得出x=5或2时,y的值即可.
(3)首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b,求出解析式,当时,求出y即可;
(4)利用MN∥BD,得出△OMN∽△OBD,进而得出,得到,进而表示出△PMN的面积,利用二次函数最值求出即可.
(1)∵抛物线经过B(0,4),∴c=4
∵顶点在直线上,∴,
∴所求的函数关系式为:
(2)在Rt△ABO中,OA=3,OB=4,∴AB==5
∵四边形ABCD是菱形,∴BC=CD=DA=AB=5,
∴C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0),
当x=5时,
当x=2时,
∴点C和点D都在所求抛物线上;
(3)设CD与对称轴交于点P,则P为所求的点,
设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b,则,解得:
,
当时,,∴
(4)∵MN∥BD,∴△OMN∽△OBD,
∴,即,得
设对称轴交x轴于点F,则S梯形PFOM=
∵S△MON=
S△PNF=
S存在最大值.
由
∴当时,S取得最大值为
此时点M的坐标为.
此题主要考查了二次函数的综合应用,以及菱形性质和待定系数法求解析式,求图形面积最值,利用二次函数的最值求出是解题关键第28题图
,难度较大.
(2012贵州遵义,27,分)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点O,交x轴于点A,其顶点B的坐标为(3,﹣).
(1)求抛物线的函数解析式及点A的坐标;
(2)在抛物线上求点P,使S△POA=2S△AOB;
(3)在抛物线上是否存在点Q,使△AQO与△AOB相似?
如果存在,请求出Q点的坐标;
如果不存在,请说明理由.
(1)根据函数经过原点,可得c=0,然后根据函数的对称轴,及函数图象经过点
(3,﹣)可得出函数解析式,根据二次函数的对称性可直接得出点A的坐标.
(2)根据题意可得点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍,即点P的纵坐标为
2,代入函数解析式可得出点P的横坐标;
(3)先求出∠BOA的度数,然后可确定∠Q1OA=的度数,继而利用解直角三角形的
知识求出x,得出Q1的坐标,利用二次函数图象函数的对称性可得出Q2的坐标.
答案:
(1)由函数图象经过原点得,函数解析式为y=ax2+bx(a≠0),
又∵函数的顶点坐标为(3,﹣),
∴,
解得:
故函数解析式为:
y=x2﹣x,
由二次函数图象的对称性可得点A的坐标为(6,0);
(2)∵S△POA=2S△AOB,
∴点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍,即点P的纵坐标为2,
代入函数解析式得:
2=x2﹣x,
x1=3+,x2=3﹣,
即可得满足条件的有两个,P1(3+,2),P2(3﹣,2).
(3)存在.
过点B作BP⊥OA,则tan∠BAP==,
故可得∠BOA=60°
设Q1坐标为(x,x2﹣x),过点Q1作Q1F⊥x轴,
∵△OAB∽△OQ1A,
∴∠Q1OA=30°
故可得OF=Q1F,即x=(x2﹣x),
x=9或x=0(舍去),
即可得Q1坐标为(9,3),
根据函数的对称性可得Q2坐标为(﹣3,3).
此题属于二次函数的综合题目,涉及了相似三角形的判定与性质,三角形的面积及
一元二次方程的解,综合性较强.
(2012呼和浩特,25,12分)(12分)如图,抛物线(a<
0)与双曲线相交于点A、B,且抛物线经过坐标原点,点A的坐标为(–2,2),点B在第四象限内,过点B作直线BC∥x轴,点C为直线BC与抛物线的另一交点,已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍,记抛物线顶点为E。
(1)求双曲线和抛物线的解析式;
(2)计算△ABC与△ABE的面积;
(3)在抛物线上是否存在点D,使△ABD的面积等于△ABE的面积的8倍。
若存在,请求出点D的坐标;
若不存在,请说明理由。
【解析】二次函数、反比例函数综合题
【答案】
(1)∵点A(–2,2)在双曲线上
∴k=–4
∴双曲线的解析式为
∵BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍
∴可设B点坐标为(m,–4m)(M>
0)代入双曲线解析式得m=1
∴抛物线过点A(–2,2)、B(1,–4)、O(0,0)
∴解得
∴抛物线的解析式为y=–x2–3x
(2)∵抛物线的解析式为y=–x2–3x
∴顶点E,对称轴为x=
∵B(1,–4)
∴–x2–3x=–4 解得x1=1,x2=–4
∴C(–4,–4)
∴S△ABC=5×
6×
=15
由A、B两点坐标为(–2,2),(1,–4)可求得直线AB的解析式为:
y=–2x–2
设抛物线对称轴与AB交于点F,则F点坐标为(–,1)
∴EF=
∴S△ABE=S△AEF+S△BEF=×
×
3=
(3)∵S△ABE=
∴8S△ABE=15
∴当点D与点C重合时,显然满足条件。
当点D与点C不重合时,过点C作AB的平行线CD,其对应的一次函数解析式为y=–2x–12
令–2x–12=–x2–3x
解得x1=3,x2=–4(舍)
当x=3时,y=–18
∴存在另一点D(3,–18)满足条件。
【点评】
(1)利用反比例函数求点的坐标,并求出抛物线的解析式。
(2)中利用解析式求出各个点的坐标,再求三角形的面积。
(3)利用同底等高的原理作出平行线,找出另一点并求坐标。
(2012湖北武汉,23,10分)如图,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成,已知河底ED是水平的,ED=16米,AE=8米,抛物线的顶点C到ED距离是11米,以ED所在的直线为x轴,抛物线的对称轴y轴建立平面直角坐标系,
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知从某时刻开始的40小时内,水面与河底ED的距离h(单位:
米)随时间t(单位:
时)的变化满足函数关系
h=- (0≤t≤40)
且当水面到顶点C的距离不大于5米时,需禁止船只通行,请通过计算说明:
在这一时段内,需多少小时禁止船只通行?
1、根据题意可得A,B,C,三点坐标分别为(-8,8)(0,11)(8,8),利用待定系数法,设抛物线解析式为y=ax2+c,有,解方程组即可
2、水面到顶点C的距离不大于5米,即函数值不小大于11-5=6,解方程-=6即可
1、依题有顶点C的坐标为(0,11),点B的坐标为(8,8),设抛物线解析式为y=ax2+c
有,解得
∴抛物线解析式为y=-x2+11
2、令-=11-5,解得t1=35,t2=3
画出 h=- (0≤t≤40)的图像,
由图像变化趋势可知,当3≤t≤35时,
水面到顶点C的距离不大于5米,需禁止船只通行,
禁止船只通行时间为35-3=32(时)
答:
禁止船只通行时间为32小时。
难度中等
(2012湖北武汉,25,12分)如图1、点A为抛物线C1:
y=的顶点,点B的坐标为(1,0),直线AB交抛物线C1于另一点C,
(1)求点C的坐标;
(2)如图1,平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D,交抛物线C于点E,平行于y轴的直线x=a交直线AB于F,交抛物线C1于G,若FG:
DE=4:
3,求a的值。
(3)如图2将抛物线C向下平移m(m>
0)个单位得到抛物线C2且抛物线C2的顶点为点P交X轴负半轴于点M,交射线BC于点N,NQ⊥x轴于点Q,当NP平分∠MNQ时,求m的值。
1、求C点的坐标,可首先利用待定系数法求出直线AB的解析式,联立直线与抛物线得到方程组,求解方程组即可;
2、根据题意,DE的长度可求又FG:
3,故可求FG=2即∣yF-yG∣=2,把x=a代人两个函数解析式,用a表示F、G、纵坐标,得到关于a的方程即可;
3、解决本题关键在于抓住M、P之间的联系,可设点M坐标为( t,0),根据待定系数法得抛物线C2解析式为y=,即P点坐标为(0,),又直线AB与抛物线C2的交点N坐标为(2-t,2-2t),从而有∠NMO=450,进而MN与y轴交点为T(0,-t),由特殊角三角函数和线段和差有NT=(2-t),PT=-t+t2,又PN平分∠MNQ,NQ∥TP故∠MNP=∠PNQ=∠TPN,PT=NT,即-t+t2=(2-t),从而求得t值,进而求得m.
(1)当x=0时,y=-2,∴A(0,-2)
设直线AB的解析式为y=kx+b,有
,解得.∴直线AB的解析式为y=2x-2.
由C点为直线与抛物线y=的交点,则点C的横、纵坐标满足
解得(舍)∴点C的坐标为(4,6)
(2)直线x=3分别交直线AB和交抛物线C1于D、E两点。
∴yD=4,yE=,∴DE=
∵FG:
3.FG=2
∵直线分别交直线AB和抛物线C于F、G两点。
∴yF=2a-2,yG=a2-2,∴FG=|2a-a2|=2
解得a1=2,a2=2+2,a3=2-2
(3)解法一:
设直线MN交y轴于T,过点N作NH⊥y轴于点H。
设点M坐标为( t,0),抛物线C2的解析式为y=
∴0=,∴∴y=
∴点P坐标为(0,),
∵点N是直线AB与抛物线y=x2-t2的交点,则点N的横,纵坐标满足
解得(舍去)∴点N坐标为(2-t,2-2t)
NQ=2--2t,MQ=NQ,∴
∴△MOT,△NHT均为等腰直角三角形,∴MO=NO,HT=HN,
∴OT=t,NT=NH=(2-t),PT=-t+t2
∵PN平分∠MNQ,NQ∥TP∴∠MNP=∠PNQ=∠TPN∴PT=NT,
∴-t+t2=(2-t),∴t1=-2,t2=2(舍去)
-2-m=-t2=-(-2)2,∴m=2
解法二,设N坐标为(t,2t-2),抛物线C2的解析式为y=x2-2-m,∴2t-2=t2-2-m
∴点P坐标为(0,+2t-2)
同解法一可得∠MNQ=450,∴∠PNQ=∠MNQ=22.50,
过点P作PF⊥NQ于点F,在FN上截取FJ=FP,连线JP,∴NJ=JP=PF=FJ
∴NF=(+1)PF,∴即(2t-2)-(-t2+2t-2)=(+1)t
∴t1=2+2,t2=0(舍去),∴m=t2-2t=2∴m=2
本题以二次函数为背景,考察了待定系数法,函数与方程组,抛物线与直线所截线段长度的计算,特殊角的三角函数,平行线、角平分线的性质等相关知识,以及数形结合的数学思想,1、2问难度不大,2问学生需注意分类讨论,也可以对线段的长度加绝对值达到分类讨论的效果;
3问难度较大,学生不容易找到问题的突破口,学生可以先进行必要的计算,边算边找,只要找到∠NMQ=450,问题就较为明晰了。
(2012湖南衡阳市,27,10)如图,A、B两点的坐标分别是(8,0)、(0,6),点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动,速度为每秒3个单位长度,点Q由A出发沿AO(O为坐标原点)方向向点O作匀速直线运动,速度为每秒2个单位长度,连接PQ,若设运动时间为t(0<t<)秒.答案如下问题:
(1)当t为何值时,PQ∥BO?
(2)设△AQP的面积为S,
①求S与t之间的函数关系式,并求出S的最大值;
②若我们规定:
点P、Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则新坐标(x2﹣x1,y2﹣y1)称为“向量PQ”的坐标.当S取最大值时,求“向量PQ”的坐标.
(1)如图①所示,当PQ∥BO时,利用平分线分线段成比例定理,列线段比例式,求出t的值;
(2)①求S关系式的要点是求得△AQP的高,如图②所示,过点P作过点P作PD⊥x轴于点D,构造平行线PD∥BO,由线段比例关系求得PD,从而S可求出.S与t之间的函数关系式是一个关于t的二次函数,利用二次函数求极值的方法求出S的最大值;
②本问关键是求出点P、Q的坐标.当S取最大值时,可推出此时PD为△OAB的中位线,从而可求出点P的纵横坐标,又易求Q点坐标,从而求得点P、Q的坐标;
求得P、Q的坐标之后,代入“向量PQ”坐标的定义(x2﹣x1,y2﹣y1),即可求解.
(1)∵A、B两点的坐标分别是(8,0)、(0,6),则OB=6,OA=8,
∴AB===10.
如图①,当PQ∥BO时,AQ=2t,BP=3t,则AP=10﹣3t.
∵PQ∥BO,∴,即,解得t=,
∴当t=秒时,PQ∥BO.
(2)由
(1)知:
OA=8,OB=6,AB=10.
①如图②所示,过点P作PD⊥x轴于点D,则PD∥BO,
∴,即,解得PD=6﹣t.
S=AQ•PD=•2t•(6﹣t)=6t﹣t2=﹣(t﹣)2+5,
∴S与t之间的函数关系式为:
S=﹣(t﹣)2+5(0<t<),
当t=秒时,S取得最大值,最大值为5(平方单位).
②如图②所示,当S取最大值时,t=,
∴PD=6﹣t=3,∴PD=BO,又PD∥BO,
∴此时PD为△OAB的中位线,则OD=OA=4,
∴P(4,3).
又AQ=2t=,∴OQ=OA﹣AQ=,∴Q(,0).
依题意,“向量PQ”的坐标为(﹣4,0﹣3),即(,﹣3).
∴当S取最大值时,“向量PQ”的坐标为(,﹣3).
本题是典型的动点型问题,解题过程中,综合利用了平行线分线段成比例定理(或相似三角形的判定与性质)、勾股定理、二次函数求极值及三角形中位线性质等知识点.第
(2)②问中,给出了“向量PQ”的坐标的新定义,为题目增添了新意,不过同学们无须为此迷惑,求解过程依然是利用自己所熟悉的数学知识.
(2012·
湖南省张家界市·
25题·
12分)如同,抛物线与轴交于C、A两点,与y轴交于点B,OB=4点O关于直线AB的对称点为D,E为线段AB的中点.
(1)分别求出点A、点B的坐标
(2)求直线AB的解析式
(3)若反比例函数的图像过点D,求值.
(4)两动点P、Q同时从点A出发,分别沿AB、AO方向向B、O移动,点P每秒移动1个单位,点Q每秒移动个单位,设△POQ的面积为S,移动时间为t,问:
若存在,求出这个最大值,并求出此时的t值,若不存在,请说明理由.
y
x
B
D
P
A
Q
O
C
2
【分析】
(1)求抛物线与x轴的交点的横坐标,即求函数值为0时,x的值;
(2)利用待定系数法可求;
(3)求出D点的坐标,再代入反比例函数关系式即可求k值;
(4)利用二次函数的最值求解.
【解答】解:
(1)令y=0,即-x2+x+2=0,解答x1=-,x2=2.
∴C(-,0),A(2,0)
(2)令AB为直线为y=k1x+2,∵点A(2,0)在直线上,
∴0=K1·
2+2,∴k1=-.
∴AB的解析式为y=-x+2.
(3)∵D点与O点关于AB对称,∴OD=OA=2.
∴D点的横坐标为,纵坐标为3,即D(,3).
因为y=过点D,∴3=,∴k=3.
(3)∵AP=t,AQ=t,∴OQ=2-t.
点P到OQ的距离为t.
∴S△OPQ=·
(2-t)·
t=-(t-2)2+.
依题意,,得0<t≤4,
∴当t=2时,S有最大值为.
【点评】本题是考查一次函数、反比例函数和二次函数,由函数及满足函数图象的点,求出相关点的坐标,然后用待定系数法,求出抛物线的解析式;
再根据二次函数的最值求解问题.
(2012年四川省巴中市,29,9)某种商品的进价为每件50元,售价为每件60元,每个月可卖出200件;
如果每件商品的售价上涨1元,则每个月少卖10件(每件售价不能高于72元),设每件商品的售价上涨x元(x为整数),每个月的销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;
(2)每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润?
最大
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