过任意一点P作一条直线把三角形ABC面积平分Word下载.doc
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D
C
B
A
E
作法:
1、连接AP.取BC的中点D,连接AD.
2、过D点作DE‖AP交AB于点E。
3、作直线PE交AB于点O。
则直线PE即为所求。
证明:
∵点D是BC的中点
∴
∵DE‖AP,∴∴
二、过△ABC内一点P作一条直线把△ABC面积平分
1.取AC中点D,连接PD、PC;
2.在△ABC的内部作△BEC∽△PDC;
3.过点P作AC的平行线与CE的延长线交于点Q;
4.作△QEP的外接圆交BC于M;
5.连接MP并延长交AC于H,直线HM即为所求.
连接EM.
由△BEC∽△PDC得
即CE•PC=CD•BC.
∵Q、E、P、M四点共圆,∴∠Q=∠EMP.
又PQ‖AC.∴∠Q=∠ACQ
又△BEC∽△PDC.∴∠HCP=∠BCE.∴∠ACQ=∠PCM
∴∠ACQ=∠PCM=∠Q=∠EMP
∴∠HPC=∠PMC+∠PCM.∠EMC=∠PMC+∠EMP.
∴∠HPC=∠EMC.∴△HPC∽△EMC.∴即CE•PC=CH•CM.
∴CD•BC=CH•CM.
三、过△ABC外一点P作一条直线把△ABC面积平分
1.取AB中点E,连接PE;
2.在△ABC的外部作△ACH∽△APE;
3.过点P作AB的平行线与HA的延长线交于点K;
4.作△PKH的外接圆交AC于G;
5.连接PG,直线PG即为所求.
设直线PG交AB于点F,连接HG.
∵K、P、G、H四点共圆
∴∠AHG与∠KPG互补.
又PK‖AB
∴∠AHG=∠AFP
又△ACH∽△APE
∴∠HAG=∠FAP.
∴△AHG∽△AFP
∴即AF•AG=AP•AH.
再由△ACH∽△APE
得即AP•AH=AE•AC.
∴AF•AG=AE•AC.
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