华师大版八年级第20章:平行四边形的判定全章教案(完备)Word文件下载.doc
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分析:
要证四边形是平行四边形,只要证AB∥CD,AD∥BC.
我们还是要转化为三角形全等的问题来解决。
证明:
连接AC
在△ABC和△CDA中,
∴△ABC≌△CDA(SSS)
∴∠BAC=∠DCA,∠ACB=∠CAD
∴AB∥CD,AD∥BC
所以四边形ABCD是平行四边形.
由于第二问的设置,学生的思路完全被激活,主动参与的程度相当高,第三个问题也就迎刃而解,最后的结论也非常容易地被描述出来.
『活动2』
两根长度不相等的绳子.
(1)你能用这两根长度不等的绳子在纸上构造平行四边形吗?
说说你是如何做到的.
(2)你能用说理的方法来说明你的操作是正确的吗?
对角线互相平分的四边形是平行四边形.(定理2)
这个活动更具开放性,有的学生受平行四边形形状的影响,想用这两根细线围成一个平行四边形,但由于没有其他工具,始终只能做到形似而非,就是无法通过说理的方法来说明得到的四边形是平行四边形,只有少部分学生在尝试着将两根细线作为所要构成的四边形的对角线来看待。
看到此情形,我作了适当的提示:
“请问同学们,平行四边形的性质有哪些?
”这时,大部分学生意识到把两根绳子作为对角线来看待,摆成如右图的形状。
下面的关键是如何使两条细线互相平分.有一位同学想到了一个非常实用的好方法:
将两根细线交叉后再对折,这时它们会勾在一起,此时在结点处将两根细线分别打结,然后将两根细线分别拉直,将它们的端点顺次连接起来,就得到一个平行四边形.这个方法的优点在于它的固定性非常好,由此可以看出只要给学生机会去思考,他们的方法有时就会使你眼前一亮,非常具有独创性,这正是我们想要看到的可喜的一面.
已知:
如图,四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,OA=OC,OB=OD.
在△AOD和△COB中
∴△AOD≌△COB(SAS)
AD=BC
同理:
AB=CD
学生自主总结有关结论:
平行四边形的判别方法:
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.(定义)
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形.
练习:
判断下列四边形是否为平行四边形?
并说出你的依据.
A
B
C
D
6.8cm
4.2cm
O
4cm
5cm
120°
60°
『例题讲解』
例1:
如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E、F是AC上的两点,并且AE=CF.
四边形BFDE是平行四边形.
(方法一)
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
E
F
∴AO=CO,BO=DO.
∵AE=CF,
∴AO-AE=CO-CF,
∴EO=FO.
又BO=DO,
∴四边形BFDE是平行四边形.
(方法二)
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,且AD=BC,
∴∠EAD=∠FCB.
∴≌(SAS)
∴DE=BF.
同理可证:
BE=DF.
∴四边形ABCD是平行四边形.
(三)巩固练习
(课本97页练习)
1.如图,AB=DC=EF,AD=BC,DE=CF,图中有哪些互相平行的线段?
解:
AB∥DC∥EF,AD∥BC,DE∥CF.
∵AB=DC,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵DE=CF,DC=EF,
∴四边形DEFC是平行四边形.
∴AB∥CD,AD∥BC,DC∥EF,DE∥CF
又∵AB∥CD,DC∥EF,
∴AB∥EF.
2.求证:
两组对角相等的四边形是平行四边形.(推论)
如图,四边形ABCD中,∠A=∠C,∠B=∠D.
四边形ABCD是平行四边形.
在四边形ABCD中
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360
∠A=∠C,∠B=∠D
∴2(∠A+∠B)=360
即∠A+∠B=180
∴AD∥BC
AB∥CD
所以四边形ABCD是平行四边形.
3.如图,在平行四边形ABCD中,已知两条对角线相交于点O,E、F、G、H
分别是AO、BO、CO、DO的中点,以图中的点为顶点,尽可能多地画出平行四边形。
判定方法
文字语言
符号语言
性质
定义
两组对边分别平行的
四边形是平行四边形.
∵AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD是
平行四边形.
平行四边形的对边平行.
定理1
两组对边分别相等的 四边形是平行四边形.
∵AB=CD,AD=BC,
平行四边形的对边相等.
定理2
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
∵OA=OC,OB=OD,
平行四边形的对角线互相平分.
推论
两组对角相等的四边形 是平行四边形.
∵∠A=∠C,∠B=∠D,
∴四边形ABCD是平行四边形
平行四边形的对角相等.
(五)课后作业
1.作业卷
2.《课时作业本》
3.继续预习“平行四边形判定”一节.
20.2矩形的判定
预习导航学案
激活思维
1.请你画一个矩形,并画出它们的对角线.观察图形,你能说出它有哪些性质吗?
试一试.
2.__________________叫做矩形.
3.矩形的对边________;
四个角都是___________;
对角线___________。
4.____________________的平行四边形是矩形.
对角线_____________的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是________________形
信息鼠标
1.(略)
2.有一个内角是直角的平行四边形
3.相等直角相等
4.有一个角是直角相等矩
互动研学教练
教材研学
一、矩形的性质回顾
1.矩形的性质
(1)矩形具有平行四边形的一切性质;
(2)矩形对角线相等;
(3)矩形的四个角都是直角;
(4)矩形既是轴对称图形,又是中心对称图形.对称轴有两条,分别是每组对边中点连线所在的直线;
对称中心是两对角线的交点.
2.矩形性质的图形说明
如图20—2—1,在矩形ABCD中,
从边上看:
AB∥CD,AB=CD;
AD∥BC,AD=BC.
从对角线上看:
AC=BD
且OA=OB=OC=OD。
从角上看:
∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°
.
老师:
根据上面矩形的性质分析可得直角三角形的一个什么性质?
小弘:
在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.如:
在Rt△ABC中,O是斜边AC的中点,则AC=2OB.
二、矩形的判定
如图20-2-2
1.利用定义判别
平行四边形矩形
2.利用对角线判别
对角线相等的平行四边形是矩形;
对角线平分且相等的四边形是矩形.
即:
①在平行四边形ABCD中,
若AC=BD,则平行四边形ABCD是矩形;
②在四边形ABCD中,若AC=BD,且OA=OC、OB=OD,则四边形ABCD是矩形.
3.利用角判别
四个角是直角的四边形是矩形.即:
在四边形ABCD中,若∠A=∠B=∠C=∠D=90°
,则四边形ABCD是矩形.实际证明中,只要证明出三个角为直角即可.
三、矩形的应用
(1)用以证明线段相等或平分或倍数关系;
(2)直角三角形两锐角互余;
(3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;
(4)直角三角形中30°
角所对的直角边等于斜边的一半;
(5)证明两条直线垂直.
四、探究活动
如果一个三角形和一个矩形满足条件:
三角形的一边与矩形的一边重合,且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上,则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”.如图20一2—3①,矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”,显然,当△ABC是钝角三角形时,其“友好矩形”只有一个.
问题:
仿着上述叙述,画出直角三角形的“友好矩形”,并比较这些矩形面积的大小.
考察直角三角形的每一条边与矩形重合的情形,当以两条直角边为边作矩形时,这两个矩形重合,即为一个,所以直角三角形的“友好矩形”有两个.
探究:
如图20一2—3②,若△ABC为直角三角形,且∠C=90°
,在图20—2—3②中画出△ABC的所有“友好矩形”,此时共有2个矩形,如图20—2—4中的BCAD、ABEF;
易知,矩形BCAD、ABEF的面积等于△ABC面积的2倍,∴△ABC的“友好矩形”的面积相等.
结论:
直角三角形有两个“友好矩形”,且这两个矩形的面积相等.
点石成金
例1.如图20—2—5所示,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AE⊥BD于E,则:
(1)图中与∠BAE相等的角有__________;
(2)若∠AOB=60°
,则AB:
BD=_________。
图中△DOC是___________三角形(按边分).
解析:
这是一道直接考查矩形特征的例题,在解答时,我们应充分考虑矩形的特征及与之相关的知识,例如在寻找与∠BAE相等的角时,看清∠BAE的形成,即为过A作AE⊥BD所形成,则∠BAE+∠EAD=90°
,而∠ADB+∠EAD=90°
,故∠BAE=∠ADB.又因为∠ADB=∠DBC=∠DAC,由此找与∠BAE相等的角就不难了;
至于在第
(2)问求AB:
BD的方法,可根据题目的特殊条件及图形的特殊性找到结论.
答案
(1)∠ADB,∠DBC,∠ACB,∠DAC
(2)1:
2等边
名师点金:
找角时一定要找全,不能漏掉.
例2.如图20—2—6所示,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,已知AC=6om,∠BOC=120°
.求:
(1)∠ACB的度数;
(2)求AB、BC的长度.
本题是对矩形性质的考查
(1)
要求∠ACB的度数,而已知∠BOC=120°
,
△BOC中,由矩形的性质,知OB=OC,从
而∠OBC=∠ACB.由此可求出∠ACB.
(2)在Rt△ACB中,对角线
AC=6cm,第
(1)问已求出∠ACB=30°
,因此AB即可求出.然后
利用勾股定理求出BC的长.
(1)在矩形ABCD中,对角线AC与BD互相平分且相等,于是OB=OC,所以∠OBC=∠ACB,故
∠ACB=(180°
一120°
)=30°
(2)矩形ABCD中,∠ABC=90°
,又∠ACB=30°
,因此30°
角所对直角边AB等于斜边AC的一半,即AB=AC=3cm,BC=(cm)
矩形问题通常通过对角线将其转化为等腰三角形或直角三角形来解决.
例3.已知□ABCD的对角线AC,BD相交于O,△ABO是等边三角形,AB=4cm,求这个平行四边形的面积(图20一2—7.)
(1)先判定□ABCD为矩形。
(2)求出Rt△ABC的
直角边BC的长。
(3)计算S=AB·
BC
∵四边形ABCD是平行四边形。
∴△ABO≌△DCO
又∵△ABO是等边三角形
∴△DCO也是等边三角形,即AO=BO=CO=DO∴AC=BD
∴□ABCD为矩形。
在Rt△ABC中,∠BAC=60°
,∠ABC=90°
∴BC=AB,即BC=4cm
SABCD=AB·
AC=16cm2
本题首先判定平行四边形是矩形,再利用矩形的面积公式来计算.
例4.
(1)利用左栏的探究结论说明什么是三角形的“友好平行四边形”.
(2)若△ABC为锐角三角形,且BC<
AC<
AB,在图20一2—8中画出△ABC的所有“友好矩形”,指出其中周长最小的矩形并加以证明.
用类比联想的方法先构造出每一种情况下三角形的“友好矩形”,根据矩形的边和面积与其三角形的边和面积之间的关系,寻找其周长与面积.
(1)如果一个三角形和一个平行四边形满足条件:
三角形的一边与平行四边形的一边重合,三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上,则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.
(2)此时共有3个“友好矩形”,
如图20—2—9中矩形BCDE,CAFG及ABHK,其中矩形ABHK的周长最小.证明如下:
易知,这三个矩形的面积相等,令其为s.设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1、L2、L3,△ABC的边长BC=a,CA=b,AB=c,则L1=+2a
L2=+2b,L3=+2c。
∴
==2(a-b)
而a>b,∴L1-L2>0,即L1>L2。
同理可得L2>L3
∴L3的周长最小,即矩形ABHK的周长最小。
在阅读理解的基础上,先画出图形,确定好每一种情形,利于进一步求解。
20.3菱形判定
(1)
教学目的:
1、理解并掌握菱形的定义及性质;
会判定一个四边形或平行四边形是菱形;
2、会用这些定理进行有关的论证和计算;
3、培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力。
教学重点:
菱形的判定方法。
教学难点:
定理的证明方法及运用。
教学程序
一、复习提问:
1.什么样的平行四边形是菱形?
2.菱形有什么性质?
3.有哪几个方法来判定一个四边形是矩形?
二.新课讲解
设问:
(1)菱形的定义能否作为菱形的判定?
有哪两个条件?
(2)有什么方法来判定一个四边形是菱形?
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
提问:
这个命题的前提是什么?
结论是什么?
在平行四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,
平行四边形ABCD是菱形。
我们可根据定义来证明这个四边形是平行四边形,由平行四边形的性质得到BO=DO,由∠AOB=∠AOD=90º
及AO=AO,得ΔAOB≌ΔAOD,可得到AB=AD,得平行四边形ABCD是菱形。
(I板书证明过程。
)
方法二:
四边相等的四边形的菱形。
如何证明这个命题呢?
(让学生思考并证明)
几何证言表达:
在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,
∴四边形ABCD是菱形。
小结:
(1)菱形判定方法,填写下表。
应具备两个条件
菱形的定义
菱形判定方法一(定义)
判定方法1
判定方法2
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形。
()
(2)对角线互相平分的四边形是菱形。
(3)两组对边分别平行,且对角线的四边形是菱形。
(4)两组对边分别相等,且对角线互相垂直的四边形是菱形。
综合应用练习
(1)如图,O是矩形ABCD的对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,DE和CE相交于E,求证:
四边形OCED是菱形。
四.作业布置
20.3菱形的判定
(2)
会用这些定理进行有关的论证和计算;
2、培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力;
3、在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点。
菱形定义及其性质。
性质的证明方法及运用。
教学程序:
一.引入新课
1.提问:
我们已经学习了矩形的性质,矩形有哪些性质呢?
2.矩形有哪些判定方法?
菱形的定义是什么?
它能否作为菱形的判定?
有哪些条件?
(1)菱形的定义:
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
(2)性质1:
(几何语言表达)已知:
在菱形ABCD,求证:
AB=BC=CD=DA。
(3)性质2:
(让学生思考,然后板书证明过程。
菱形除了用平行四边形的方法求面积外,还有没有其它办法呢?
(简间写出推理的过程。
(4)菱形的面积公式:
例题讲解:
(补充例题)分析解题过程并板书。
(1)跟踪练习1,矩形、菱形各具有哪些性质?
填写下表。
矩形、菱形各具有哪些性质?
填写下表、填图:
矩形
菱形
性质
判定
三.本课小结:
菱形的定义:
一组邻边相等的平行四边形;
(判定:
2个条件)
性质1:
菱形的四条边都相等;
性质2:
菱形的对角线互相平分,并且每条对角线平分一组对角;
四.作业布置
20.4正方形判定
(1)
教学目的
1.掌握正方形的判定方法.
2.通过运用正方形的判定解题,培养学生的分析能力和观察能力.
3.通过正方形有关知识的学习,感受完美的正方形的图形美和语言美
教学设计:
小结、归纳、提高
正方形的判定方法.
正方形判定方法的应用.
教学过程:
一.复习提问
1.矩形、菱形是怎样的特殊平行四边形,它们比平行四边形多些什么性质?
2.正方形是怎样的特殊平行四边形?
正方形,菱形有什么关系?
正方形有什么性质?
二.讲解新课
我们已经知道,正方形是一个中心对称图形,也是一个轴对称图形,具有如下的性质:
1.四条边都相等;
2.四个角都是直角.
因此,正方形可以看作为:
有一个角是直角的菱形;
有一组邻边相等的矩形.
这些实际上就是判定正方形的方法.
例 如图20.4.1,△ABC中,∠ACB=90°
,CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC,垂足分别为E、F.求证:
四边形CFDE是正方形.
分析 要证明四边形CFDE是正方形,可以先证四边形CFDE是矩形,然后再证有一组邻边相等;
也可以先证四边形CFDE是菱形,然后再证有一个角是直角.
证明 ∵CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC,
∴DE=DF(角平分线上的点到角的两边距离相等).
又∵∠DEC=∠ECF=∠CFD=90°
∴四边形CFDE是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形),
∴四边形CFDE是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形).
正方形的判定方法:
1:
对角线相等的菱形是正方形吗?
2:
对角线互相垂直的矩形是正方形吗?
为什么?
3:
对角线垂直且相等的四边形是正方形吗?
4:
四条边都相等的四边形是正方形吗?
5:
说“四个角相等的四边形是正方形”对吗?
三.小结:
(1)判定一个四边形为正方形的基本方法:
定义法,矩形菱形法.
(2)正方形的性质较多,在证题时要灵活应用.
2.思考题:
已知如图3正方形的边长为1,、上都有一点、,如果△周长为2,求度数.
四.布置作业:
P118。
1。
2
图3
20.4正方形
(2)
1.掌握正方形的定义,理解正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系.
2.掌握正方形的性质定理.
3.正确运用正方形的性质解题.
教学方法:
正方形的性质.
正方形性质的应用.
一.复习提问】
1.让学生叙述平行四边形、矩形、菱形的定义和它们的特殊性质.
2.说明平行四边形、矩形、菱形的内在联系.
矩形和菱形都是特殊的平行四边形,那么更加特殊的平行四边形是什么图形?
它又有什么特殊性质呢?
这一堂课就来学习这种特殊的图形——正方形(写出课题)
1.正方形的定义:
有一组邻边相等,有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
正方形从定义看,它既是矩形又是菱形。
哪么它又有什么性质呢?
2.正方形的性质
因为正方形是特殊的平行四边形,还是特殊的矩形,特殊的菱形,所以它具有这些图形性质的综合,因此正方形有以下性质(由学生和老师一起总结).
正方形性质定理1:
正方形的四个角都是直角,四条边相等.
正方形性质定理2:
正方形的两条对角钱相等并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角.
说明:
定理2包括了平行四边形,矩形,菱形对角钱的性质,一个题设同时有四个结论,这是该定理的特点,在应用时需要哪个结论就用哪个结论,并非把结论写全.
例4如图3,
图4
1、课本1、2、3提问回答。
2.补充练习:
如图4,已知正方形ABCD,延长到,
连结,作于,交于,求证:
2.思考题已知正方形的边长为4,为边上一点,且,为上一点,求的最小值
八、布置作业
教材P119。
3
19.
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