图形变换平移.习题集(2014-2015)Word格式.doc
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图形变换平移.习题集(2014-2015)Word格式.doc
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【例7】操作探究:
一动点沿着数轴向右平移个单位,再向左平移个单位,相当于向右平移个单位.用实数加法表示为.
若平面直角坐标系中的点作如下平移:
沿轴方向平移的数量为(向右为正,向左为负,平移个单位),沿轴方向平移的数量为(向上为正,向下为负,平移个单位),则把有序数对叫做这一平移的“平移量”.规定“平移量”与“平移量”的加法运算法则为.
(1)计算:
;
(2)若一动点从点出发,先按照“平移量”平移到点,再按照“平移量”平移到点;
最后按照“平移量”平移到点,在图中画出四边形,并直接写出点的坐标;
(3)将
(2)中的四边形以点为中心,顺时针旋转,点旋转到点,连结.若动点从点出发,沿的三边、、平移一周.请用“平移量”加法算式表示动点的平移过程.
(2013丰台二模)
(1);
(2)①如图所示:
②;
(3).
y
x
B
A
C
D
O
1
【例8】已知线段、、、、、..且.求证:
.
【答案】可以把平移到,把平移到,显然可以构成一个边长为的等边三角形.从而.
【例9】如图,已知的面积为,.现将沿直线向右平移个单位到的位置.
()当时,求所扫过的面积;
()连结、,设,当是以为一腰的等腰三角形时,求的值.
(2011怀柔二模)
()设与交于点,则
∵,为中点为中点.
又∵,
∴.
∴所扫过面积.
()①当时,.
②当时,取中点,则.
∵,
在中,
此时,
综上可知,或.
【例10】如图,一个横截面为的物体,,,米,师傅要把此物体搬到墙边,先将边放在地面(直线上),再按顺时针方向绕点翻转到的位置(在上),最后沿射线的方向平移到的位置,其平移距离为线段的长度(此时,恰好靠在墙边).
()直接写出、的长;
()画出在搬动此物体的整个过程中点所经过的路径,并求出该路径的长度.
(2011昌平二模)
()米,米.
()点的路径如图中的粗线所示,路径长为米.
三、平移与几何证明
【例11】在正方形中,、、三边上分别有点、、,且.求证:
【例12】是的中线,是的中点,的延长线交于.求证:
【答案】取的中点,连接易得,为的中点,
所以,从而可证得:
【例13】如图,已知
(1)请你在边上分别取两点、(的中点除外),连结、,写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件,并表示出面积相等的三角形;
(2)请你根据使
(1)成立的相应条件,证明.
(1)如图
(1)相应的条件是:
两对面积相等的三角形分别是:
和,和.
(2)(方法1):
如图
(2),分别过点、作、的平行线,两线交于点,与交于点.
所以,
在和中,又,可证
在中,,所以
即,所以
(方法2):
如图(3)取中点,连结并延长至,,
连结,,延长交于,可证得,
所以,,在中,
所以,即
所以
【例14】如图所示,两条长度为的线段和相交于点,且,求证:
【答案】考虑将、和集中到同一个三角形中,以便运用三角形的不等关系.
作且,则四边形是平行四边形,从而.
(教师可告诉学生:
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形),
在中可得,
即.
由于,,
所以是等边三角形,故,所以.
【例15】已知:
矩形内有定点,试证:
【答案】过点、点分别作、的平行线,交于点,连接,,交于点.
∵∥,∥(根据定义可知其为平行四边形)
∴,
∴,(一组对边平行且相等的四边形为平行四边形或用全等知识解决)
∴为平行四边形,∴
∵
∴,,,
∴
【例16】如图所示,在六边形中,,,,,,.又知对角线,厘米,厘米.请你回答:
六边形的面积是多少平方厘米?
【答案】本题初看似乎无法下手求解,但仔细观察,题中彼此平行且相等的线段有三组,于是我们可将图形平移,使其拼成一个长方形,且、厘米、厘米的条件可以得到利用.为此,如图所示,将平移到的位置;
将平移到的位置,则长方形的面积等于六边形的面积.易知长方形的面积等于(平方厘米),所以,六边形的面积是432平方厘米.
【例17】已知:
AB,CD交于E,AB、CD夹锐角为45°
,若∠B+∠C=225°
,AC=3,DB=4,AB=5,求DC.
【答案】平移使的对应点为.
【例18】如图,在等腰△ABC中,延长边到点,延长边到点,连接,恰有.求证:
【例19】如图所示,在中,,为上的一点,且;
为上的一点,且.连接、交于点,求证:
【答案】如图所示,过点作且使.
连接,则为平行四边形,
所以,.
又因为,
连接,则,
故.
而,
因此,
则,,
所以为等腰直角三角形.
因为,
【例20】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,D,E分别为CA,CB延长线上的点,AE与BD相交于点F.
(1)若BE=AC,AD=CE,求∠AFD的度数;
(2)若BE=AC,AD=CE,求∠AFD的度数.
(1)将CA平移到EG,连接AG、BG、DG、EG,则四边形ACEG是平行四边形A
E
F
G
又∵∠C=90°
,∴四边形ACEG是是矩形
∴∠CAG=∠AGE=∠BEG=90°
,AG=CE=AD
又∵EG=AC=BE,∴△ADG和△EBG都是等腰直角三角形
∴∠AGD=∠BGE=45°
,∴∠DGB=∠AGE=90°
又∵==,∴△DGB∽△AGE
∴∠BDG=∠EAG
设AG与BD相交于点O,则∠AOF=∠DOG
∴∠AFD=∠AGD=45°
(2)∠AFD=30°
,解法同
(1)
(选讲)
【例21】图是李晨在一次课外活动中所做的问题研究:
他用硬纸片做了两个三角形,分别为和,其中,,,,,.将的斜边与的斜边重合在一起,并将沿方向移动.在移动过程中,、两点始终在边上(移动开始时点与点重合).
(1)请回答李晨的问题:
若,则__________;
(2)如图,李晨同学连接,编制了如下问题,请你回答:
①的最大度数为__________;
②当时,__________;
③当以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形,且为斜边时,__________;
④的面积的取值范围是__________.
[
(2014昌平一模)
(1)是等腰直角三角形,,,,.
(2)①,当且仅当点与点重合时,有最大值.
②过点作交于.
依题可知,为等腰直角三角形,为的直角三角形,,,,,,.
③设,,
,
解得,.
④,,.
【例22】阅读下列材料:
已知:
如图,在中,,,,为边上的一动点,以,为边构造平行四边形,求对角线的最小值及此时的值是多少.
在解决这个问题时,小明联想到在学习平行线间的距离时所了解的知识:
端点分别在两条平行线上的所有线段中,垂直于平行线的线段最短.
进而,小明构造出了如图的辅助线,并求得的最小值为.
参考小明的做法,解决以下问题:
(1)继续完成阅读材料中的问题:
当的长度最小时,__________;
(2)如图,延长到点,使=(为大于的常数).以,为边作平行四边形,那么对角线的最小值为__________,此时__________;
(3)如图,如果为边上的一动点,延长到点,使(为大于的常数),以,为边作平行四边形,那么对角线的最小值为_______,此时______.
(2014丰台二模)
(2),;
(3),.
【例23】在中,,,将线段绕点逆时针旋转得到线段,再将线段平移到,使点在上,点在上.
(1)如图,直接写出和的度数;
(2)在图中,证明:
(3)如图,连接,判断的形状并加以证明.
(2014顺义二模)
(1),.
(2)证明:
连结、.
∵线段绕点逆时针旋转得到线段,
∴,.
∴是等边三角形.
∵线段平移到,
∴四边形是平行四边形,.
∵,,
(3)解:
是等腰直角三角形.
证明:
过点作于,
∴为的中点.
∴为的垂直平分线.
∴是等腰直角三角形.
【例24】在平面直角坐标系中,已知点,点,点在上,且.
()如图①,求点的坐标;
()如图②,将沿轴向右平移得到,连接、.
①设,其中,试用含的式子表示,并求出使取得最小值时点的坐标;
②当取得最小值时,求点的坐标(直接写出结果即可).
(2013天津中考)
()∵点,点,
∴,即,解得,
∴点的坐标为;
()①如图,连接.
由题设知(),则.
在中,由,得.
∵是沿轴向右平移得到的,
∴,且.
又,
∴在中,,
当时,可以取得最小值,
此时,点的坐标是.
②如图,过点作,并使.
易证,
当点、、在同一条直线上时,最小,
即此时取得最小值.
∴点的坐标是.
【例25】已知,是直线上的点,.
(1)如图,过点作,并截取,连接、、,判断的形状并证明;
(2)如图,是直线上的一点,直线、相交于点,,求证:
(2014朝阳二模)
(1)是等腰直角三角形.
(2)过点作,并截取,连接、.
∴四边形是平行四边形.
【例26】在中,,为平面内一动点,,,其中,为常数,且.将沿射线方向平移,得到,点、、的对应点分别为、、,连接.
(1)如图,若点在内部,请在图中画出;
(2)在()的条件下,若,求的长(用含,的式子表示);
(3)若,则当线段的长度最大时,的大小为___________;
当线段的长度最小时,的大小为___________(用含的式子表示).
(2014海淀二模)
(1)如图所示:
(2)连接.
∵将沿射线方向平移,得到,
∴,;
,.
∴四边形为矩形.
(3);
课后作业
【练1】下列图形可以由一个图形经过平移变换得到的是().
【练2】如图,点、、的坐标分别为、、,将先向下平移个单位,得;
再将沿轴翻折,得.
(1)画出和;
(2)求线段长.
(2011东城二模)
(1)点的坐标为,点的坐标为,点的坐标为;
点的坐标为,点的坐标为,
点的坐标为.
(2)利用勾股定理可求.
【练3】在正方形中,、、、分别是、、、边上的点,且,求证:
【练4】阅读下面材料:
小明遇到这样一个问题:
如图1,△ABO和△CDO均为等腰直角三角形,Ð
AOB=Ð
COD=90°
.若△BOC的面积为1,试求以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形的面积.
图1图2
小明是这样思考的:
要解决这个问题,首先应想办法移动这些分散的线段,构造一个三角形,再计算其面积即可.他利用图形变换解决了这个问题,其解题思路是延长CO到E,使得OE=CO,连接BE,可证△OBE≌△OAD,从而得到的△BCE即是以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形(如图2).
请你回答:
图2中△BCE的面积等于__________.
请你尝试用平移、旋转、翻折的方法,解决下列问题:
如图3,已知△ABC,分别以AB、AC、BC为边向外作正方形ABDE、AGFC、BCHI,连接EG、FH、ID.
(1)在图3中利用图形变换画出并指明以EG、FH、ID的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹);
(2)若△ABC的面积为1,则以EG、FH、ID的长度为三边长的三角形的面积等于__________.
(2012海淀一模)
【答案】解:
△BCE的面积等于2.
(1)如图(答案不唯一):
以EG、FH、ID的长度为三边长的一个三角形是△EGM.
(2)以EG、FH、ID的长度为三边长的三角形的面积等于3.
【练5】如图,在四边形中,,为上一点,且,,连结、、,则的形状是__________.
(2)如图,在中,,、分别为、上的点,连结、,两线交于点.
①当,时,在图中补全图形,猜想的度数并给予证明.
②当时,的度数__________.
(2014平谷二模)
(1)等腰直角三角形.
(2)①.
过点作,且.
②.
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