实际问题中的二次函数解析式初中数学组卷解析Word文档下载推荐.doc
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y=﹣x2﹣x+1
y=﹣x2﹣x﹣1
5.(2010•南宁)如图,从地面竖直向上抛出一个小球,小球的高度h(单位:
m)与小球运动时间t(单位:
s)之间的关系式为h=30t﹣5t2,那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是( )
6s
4s
3s
2s
6.(2010•庆阳)向空中发射一枚炮弹,经x秒后的高度为y米,且时间与高度的关系为y=ax2+bx+c(a≠0).若此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等,则在下列时间中炮弹所在高度最高的是( )
第8秒
第10秒
第12秒
第15秒
7.(2007•枣庄)小敏在某次投篮中,球的运动路线是抛物线y=x2+3.5的一部分(如图),若命中篮圈中心,则他与篮底的距离L是( )
3.5m
4m
4.5m
4.6m
8.(2014•黄陂区模拟)如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称.AB∥x轴,AB=4cm,最低点C在x轴上,高CH=1cm,BD=2cm.则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为( )
y=(x+3)2
y=(x﹣3)2
9.(2013春•富顺县校级月考)如图是抛物线形拱桥,已知水位在AB位置时,水面宽4米,水位上升3米,就达到警戒线CD,这时水面CD宽4米.若洪水到来时水位以每小时0.25米的速度上升,那么水过警戒线后( )小时淹到拱桥顶.
6
12
18
24
二.填空题(共8小题)
10.(2014•仙桃)如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面宽4米时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米,水面下降1米时,水面的宽度为 米.
11.(2014•绍兴)如图的一座拱桥,当水面宽AB为12m时,桥洞顶部离水面4m,已知桥洞的拱形是抛物线,以水平方向为x轴,建立平面直角坐标系,若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣(x﹣6)2+4,则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是 .
12.(2014•咸宁)科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度,将这种植物分别放在不同温度的环境中,经过一定时间后,测试出这种植物高度的增长情况,部分数据如表:
温度t/℃
﹣4
﹣2
1
4
植物高度增长量l/mm
41
49
46
25
科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系.由此可以推测最适合这种植物生长的温度为 ℃.
13.(2014•沈阳)某种商品每件进价为20元,调查表明:
在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30﹣x)件.若使利润最大,每件的售价应为 元.
14.(2013•仙桃)2013年5月26日,中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军,成就了首个五连冠霸业.比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图).若不考虑外力因素,羽毛球行进高度y(米)与水平距离x(米)之间满足关系,则羽毛球飞出的水平距离为 米.
15.(2013•山西)如图是我省某地一座抛物线形拱桥,桥拱在竖直平面内,与水平桥面相交于A、B两点,拱桥最高点C到AB的距离为9m,AB=36m,D、E为拱桥底部的两点,且DE∥AB,点E到直线AB的距离为7m,则DE的长为 m.
16.(2012•济南)如图,济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁,抛物线的表达式为y=ax2+bx.小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC,当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同,则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需 秒.
17.(2008•庆阳)兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高,房子的价格y(元/平方米)随楼层数x(楼)的变化而变化(x=1,2,3,4,5,6,7,8);
已知点(x,y)都在一个二次函数的图象上(如图所示),则6楼房子的价格为 元/平方米.
三.解答题(共9小题)
18.(2015•吴兴区一模)一座隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长为8m,宽为2m,隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m,建立如图所示的坐标系.
(1)求抛物线的表达式;
(2)一辆货车高4m,宽2m,能否从该隧道内通过,为什么?
19.(2014•海南模拟)如图,一位篮球运动员在离篮圈水平距离4m处跳起投篮,球沿一条抛物线运行,当球运行的水平距离为2.5m时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮框内.已知篮圈中心离地面高度为3.05m.
(1)建立图中所示的直角坐标系,求抛物线所对应的函数关系式;
(2)若该运动员身高1.8m,这次跳投时,球在他头顶上方0.25m处出手.问:
球出手时,他跳离地面多高?
20.(2014•广东模拟)一个拱形桥洞成抛物线形,它的截面如图.现测得,桥洞顶点O与水面DE的距离为1m,桥洞的水面宽ED=3m,当水位下降到桥洞顶点O与水面AB的距离为3m时,这时水面宽AB是多少m?
21.(2014•仙居县模拟)如图,要建造一座抛物线型拱桥,其水面跨度为160m,桥面主跨度AB为120m,桥面离水面高度为16m.
(1)求该抛物线型拱桥桥拱离桥面的最高高度;
(2)如果要在桥面上每隔15m设置一根钢索,垂直于桥面连接到桥拱上,请问,共需要钢索多少米?
(不计穿过桥拱和桥面部分钢索长度,精确到1m).
22.(2013秋•临沭县期末)某公司推出一种高效环保型洗涤用品,年初上市后公司经历了从亏损到盈利的过程,下面的二次函数图象(部分)反映了该公司年初以来累计利润y(万元)与销售时间x(月)之间的关系(即前x个月的利润总和y与x的关系),根据图象提供的信息,解答下列问题:
(1)如图,已知图象上的三点坐标,求累计利润y(万元)与时间x(月)之间的函数关系式;
(2)求截止到几月末公司累计利润可达到30万元?
(3)求第8月末公司所获利润是多少万元?
23.(2014秋•龙口市期末)如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x﹣6)2+2.6.已知球网与O点的水平距离为9m,高度为2.43m.
(1)求y与x的关系式;
(不要求写出自变量x的取值范围)
(2)球能否越过球网?
球会不会出界?
请说明理由.
24.(2014秋•清河区校级期末)某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系:
y=ax2+bx﹣75.其图象如图所示.
(1)求y与x之间的函数关系式.
(2)销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大?
最大利润为多少元?
(3)销售单价在什么范围时,该种商品每天的销售利润不低于16元?
(直接写出答案)
25.(2013秋•南岗区期末)横跨松花江两岸的阳明滩大桥是我市首座悬索桥,夜色中的璀璨灯光已成为一道亮丽的风景线,桥梁双塔间的悬索成抛物线型,如图,以桥面为x轴,以抛物线的对称轴为y轴,以1米为一个单位长度,建立平面直角坐标系.已知大桥的双塔AE和BF与桥面垂直,且它们的高度均是83米,悬索抛物线上的点C、D的坐标分别为(0,3)、(50,8).
(1)求抛物线的解析式;
(2)李大爷以每秒0.8米的速度沿桥散步,那么从点E走到点F所用时间为多少秒?
26.(2013秋•泉港区期末)如图是一座古拱桥的截面图.在水平面上取点为原点,以水平面为x轴建立直角坐标系,桥洞上沿形状恰好是抛物线的图象.桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4米高的景观灯.请求出这两盏景观灯间的水平距离.
参考答案与试题解析
1.(2014•河北)某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比,设边长为x厘米.当x=3时,y=18,那么当成本为72元时,边长为( )
考点:
二次函数的应用.菁优网版权所有
分析:
设y与x之间的函数关系式为y=kx2,由待定系数法就可以求出解析式,当y=72时代入函数解析式就可以求出结论.
解答:
解:
设y与x之间的函数关系式为y=kx2,由题意,得
18=9k,
解得:
k=2,
∴y=2x2,
当y=72时,72=2x2,
∴x=6.
故选:
点评:
本题考查了待定系数法求函数的解析式的运用,根据解析式由函数值求自变量的值的运用,解答时求出函数的解析式是关键.
2.(2011•株洲)某广场有一喷水池,水从地面喷出,如图,以水平地面为x轴,出水点为原点,建立平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x(单位:
专题:
应用题;
压轴题;
数形结合.
根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标,利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案.
∵水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x,
∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标,
∴y=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4,
∴顶点坐标为:
(2,4),
∴喷水的最大高度为4米,
故选A.
本题考查了二次函数的应用,解决此类问题的关键是从实际问题中整理出函数模型,利用函数的知识解决实际问题.
3.(2011•聊城)某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成,为了牢固起见,每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱,防护栏的最高点距底部0.5m(如图),则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为( )
压轴题.
根据所建坐标系特点可设解析式为y=ax2+c的形式,结合图象易求B点和C点坐标,代入解析式解方程组求出a,c的值得解析式;
再根据对称性求B3、B4的纵坐标后再求出总长度.
(1)由题意得B(0,0.5)、C(1,0)
设抛物线的解析式为:
y=ax2+c
代入得
∴解析式为:
(2)当x=0.2时y=0.48
当x=0.6时y=0.32
∴B1C1+B2C2+B3C3+B4C4=2×
(0.48+0.32)=1.6米
∴所需不锈钢管的总长度为:
1.6×
100=160米.
此题主要考查了二次函数的应用,数学建模思想是运用数学知识解决实际问题的常规手段,建立恰当的坐标系很重要.
4.(2011•梧州)2011年5月22日﹣29日在美丽的青岛市举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛.在比赛中,某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=﹣x2+bx+c的一部分(如图),其中出球点B离地面O点的距离是1m,球落地点A到O点的距离是4m,那么这条抛物线的解析式是( )
根据已知得出B点的坐标为:
(0,1),A点坐标为(4,0),代入解析式即可求出b,c的值,即可得出答案.
∵出球点B离地面O点的距离是1m,球落地点A到O点的距离是4m,
∴B点的坐标为:
(0,1),A点坐标为(4,0),
将两点代入解析式得:
,
∴这条抛物线的解析式是:
y=﹣x2+x+1.
此题主要考查了二次函数的应用,根据已知得出B,A两点的坐标是解决问题的关键.
5.(2010•南宁)如图,从地面竖直向上抛出一个小球,小球的高度h(单位:
由小球高度h与运动时间t的关系式h=30t﹣5t2,令h=0,解得的两值之差便是所要求得的结果.
由小球高度h与运动时间t的关系式h=30t﹣5t2.
令h=0,﹣5t2+30t=0
t1=0,t2=6
△t=6,小球从抛出至回落到地面所需要的时间是6秒.
本题考查了运动函数方程,是二次函数的实际应用.
6.(2010•庆阳)向空中发射一枚炮弹,经x秒后的高度为y米,且时间与高度的关系为y=ax2+bx+c(a≠0).若此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等,则在下列时间中炮弹所在高度最高的是( )
本题需先根据题意求出抛物线的对称轴,即可得出顶点的横坐标,从而得出炮弹所在高度最高时x的值.
∵此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等,
∴抛物线的对称轴是:
x==10,
∴炮弹所在高度最高时:
时间是第10秒.
故选B.
本题主要考查了二次函数的应用,在解题时要能根据题意求出抛物线的对称轴得出答案是本题的关键.
7.(2007•枣庄)小敏在某次投篮中,球的运动路线是抛物线y=x2+3.5的一部分(如图),若命中篮圈中心,则他与篮底的距离L是( )
如图,实际是求AB的距离.而OA已知,所以只需求出OB即可;
而OB的长,又是C点的横坐标,所以把C点的纵坐标3.05代入解析式即可解答.
如图,把C点纵坐标y=3.05代入y=x2+3.5中得:
x=±
1.5(舍去负值),
即OB=1.5,
所以l=AB=2.5+1.5=4.
令解:
把y=3.05代入y=﹣x2+3.5中得:
x1=1.5,x2=﹣1.5(舍去),
∴L=2.5+1.5=4米.
本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用.此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题.
8.(2014•黄陂区模拟)如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称.AB∥x轴,AB=4cm,最低点C在x轴上,高CH=1cm,BD=2cm.则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为( )
应用题.
利用B、D关于y轴对称,CH=1cm,BD=2cm可得到D点坐标为(1,1),由AB=4cm,最低点C在x轴上,则AB关于直线CH对称,可得到左边抛物线的顶点C的坐标为(﹣3,0),于是得到右边抛物线的顶点C的坐标为(3,0),然后设顶点式利用待定系数法求抛物线的解析式.
∵高CH=1cm,BD=2cm,
而B、D关于y轴对称,
∴D点坐标为(1,1),
∵AB∥x轴,AB=4cm,最低点C在x轴上,
∴AB关于直线CH对称,
∴左边抛物线的顶点C的坐标为(﹣3,0),
∴右边抛物线的顶点C的坐标为(3,0),
设右边抛物线的解析式为y=a(x﹣3)2,
把D(1,1)代入得1=a×
(1﹣3)2,解得a=,
故右边抛物线的解析式为y=(x﹣3)2.
故选C.
本题考查了二次函数的应用:
利用实际问题中的数量关系与直角坐标系中线段对应起来,再确定某些点的坐标,然后利用待定系数法确定抛物线的解析式,再利用抛物线的性质解决问题.
9.(2013春•富顺县校级月考)如图是抛物线形拱桥,已知水位在AB位置时,水面宽4米,水位上升3米,就达到警戒线CD,这时水面CD宽4米.若洪水到来时水位以每小时0.25米的速度上升,那么水过警戒线后( )小时淹到拱桥顶.
已知B、D可得y的解析式,从而求出OM的值.又因为MN=OM﹣ON,故可求t的值.
根据题意设抛物线解析式为:
y=ax2+h
又∵B(2,0),D(2,3)
∴,
∴y=﹣x2+6
∴M(0,6)即OM=6m
∴MN=OM﹣ON=3,
则t==12(小时).
答:
水过警戒线后12小时淹到拱桥顶.
本题考查二次函数的实际应用.此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题.
10.(2014•仙桃)如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面宽4米时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米,水面下降1米时,水面的宽度为 米.
函数思想.
根据已知得出直角坐标系,进而求出二次函数解析式,再通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度,即可得出答案.
建立平面直角坐标系,设横轴x通过AB,纵轴y通过AB中点O且通过C点,则通过画图可得知O为原点,
抛物线以y轴为对称轴,且经过A,B两点,OA和OB可求出为AB的一半2米,抛物线顶点C坐标为(0,2),
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2,其中a可通过代入A点坐标(﹣2,0),
到抛物线解析式得出:
a=﹣0.5,所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2,
当水面下降1米,通过抛物线在图上的观察可转化为:
当y=﹣1时,对应的抛物线上两点之间的距离,也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离,
可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出:
﹣1=﹣0.5x2+2,
x=,
所以水面宽度增加到米,
故答案为:
米.
此题主要考查了二次函数的应用,根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键.
11.(2014•绍兴)如图的一座拱桥,当水面宽AB为12m时,桥洞顶部离水面4m,已知桥洞的拱形是抛物线,以水平方向为x轴,建立平面直角坐标系,若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣(x﹣6)2+4,则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是 y=﹣(x+6)2+4 .
根据题意得出A点坐标,进而利用顶点式求出函数解析式即可.
由题意可得出:
y=a(x+6)2+4,
将(﹣12,0)代入得出,0=a(﹣12+6)2+4,
a=﹣,
∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是:
y=﹣(x+6)2+4.
此题主要考查了二次函数的应用,利用顶点式求出函数解析式是解题关键.
12.(2014•咸宁)科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度,将这种植物分别放在不同温度的环境中,经过一定时间后,测试出这种植物高度的增长情况,部分数据如表:
科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系.由此可以推测最适合这种植物生长的温度为 ﹣1 ℃.
图表型.
首先利用待定系数法求二次函数解析式解析式,在利用二次函数最值公式求法得出即可.
设l=at2+bt+c(a≠0),选(0,49),(1,46),(4,25)代入后得方程组
所以l与t之间的二次函数解析式为:
l=﹣t2﹣2t+49,
当t=﹣=﹣1时,l有最大值50,
即说明最适合这种植物生长的温度是﹣1℃.
另法:
由(﹣2,49),(0,49)可知抛物线的对称轴为直线t=﹣1,故当t=﹣1时,植物生长的温度最快.
﹣1.
此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求二次函数解析式,得出二次函数解析式是解题关键.
13.(2014•沈阳)某种商品每件进价为20元,调查表明:
在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30﹣x)件.若使利润最大,每件的售价应为 25 元.
销售问题.
本题是营销问题,基本等量关系:
利润=每件利润×
销售量,每件利润=每件售价﹣每件进价.再根据所列二次函数求最大值.
设最大利润为w元,
则w=(x﹣20)(30﹣x)=﹣(x﹣25)2+25,
∵20≤x≤30,
∴当x=25时,二次函数有最大值25,
故答案是:
25.
本题考查了把实际问题转化为二次函数,再利用二次函数的
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