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4.k,b与函数图象所在象限:
y=kx时(即b等于0,y与x成正比,此时的图象是是一条经过原点的直线)
当k>
0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大;
当k<
0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。
y=kx+b(k,b为常数,k≠0)时:
当k>
0,b>
0,这时此函数的图象经过一,二,三象限;
0,b<
0,这时此函数的图象经过一,三,四象限;
当k<
0,这时此函数的图象经过一,二,四象限;
0,这时此函数的图象经过二,三,四象限。
当b>
0时,直线必通过一、二象限;
当b<
0时,直线必通过三、四象限。
特别地,当b=0时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图象。
这时,当k>
0时,直线只通过一、三象限,不会通过二、四象限。
0时,直线只通过二、四象限,不会通过一、三象限。
【特殊位置关系】
当平面直角坐标系中两直线平行时,其函数解析式中K值(即一次项系数)相等.
当平面直角坐标系中两直线垂直时,其函数解析式中K值互为负倒数(即两个K值的乘积为-1.[1]
【直线y=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示:
】
k>
0:
经过第一、二、三象限
经过第一、三、四象限
0,b=0:
经过第一、三象限(经过原点)
结论:
0时,图象从左到右上升,y随x的增大而增大。
k<
0b>
经过第一、二、四象限
经过第二、三、四象限
经过第二、四象限(经过原点)
0时,图象从左到右下降,y随x的增大而减小
【常用公式】
1.求函数图象的k值:
(y1-y2)/(x1-x2),即k=tanα(α为直线与x轴正方向的夹角)
2.求与x轴平行线段的中点:
(x1+x2)/2
3.求与y轴平行线段的中点:
(y1+y2)/2
4.求任意线段的长:
√[(x1-x2)2+(y1-y2)2]
5.求两个一次函数式图像交点坐标:
解两函数式
两个一次函数y1=k1x+b1,y2=k2x+b2,令y1=y2,得k1x+b1=k2x+b2。
将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1,y2=k2x+b2两式的任一式,得到y=y0,则(x0,y0)即为y1=k1x+b1与y2=k2x+b2之交点坐标。
6.求任意2点所连线段的中点坐标:
((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)
7.求任意2点的连线的一次函数解析式:
(x-x1)/(x1-x2)=(y-y1)/(y1-y2)(若分母为0,则分子为0)
(x,y)的正负性为+,+(正,正)时该点在第一象限
(x,y)的正负性为-,+(负,正)时该点在第二象限
(x,y)的正负性为-,-(负,负)时该点在第三象限
(x,y)的正负性为+,-(正,负)时该点在第四象限
8.若两条直线y1=k1x+b1,y2=k2x+b2互相平行,则k1=k2,b1≠b2
9.如两条直线y1=k1x+b1,y2=k2x+b2互相垂直,则k1×
k2=-1
10.设原直线为y=f(x)=kx+b
y=f(x-n)=k(x-n)+b就是直线向右平移n个单位
y=f(x+n)=k(x+n)+b就是直线向左平移n个单位
y=f(x)+n=kx+b+n就是向上平移n个单位
y=f(x)-n=kx+b-n就是向下平移n个单位
口诀:
左加右减相对于X,上加下减相对于b。
【经典考题自主训练】
1、
(1)(2015宿迁)在平面直角坐标系中,若直线y=kx+b经过第一、三、四象限,则直线y=bx+k不经过的象限是()
A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限
(2)在平面直角坐标系中,已知点A(2,3)B(4,7),直线y=kx-k(k≠0)与线段AB有交点,则k的取值范围为
2、
(1)(2015宿迁),直线如图,在平面直角坐标系中,点P的坐标为(0,4),直线y=x-3
与
x轴、y轴分别交于A,B,点M是直线AB上的一个动点,则PM长的最小值为
。
(2)已知直线y=(k-1)x+b与直线y=3x-2相互垂直,且过点(1,-2),请问直线y=bx-k不经过第象限
3、若等腰三角形的周长是80cm,则能反映这个等腰三角形的腰长ycm与底边长xcm的函数关系式的图像是()
4、(2015精编)已知过点(2,-3)的直线y=ax+b(a≠0)不经过第一象限。
设s=a+2b,求s的取值范围
5、(2015精编)某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务,想转行经营服装,专卖店又缺少资金。
中国梦想秀栏目组决定借给该店30000元资金,并约定利用经营的利润偿还债务(所有债务均不计利息)。
已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元,该品牌服装日销售量y件与销售价x元/件之间的关系可以用图中的一条折线(实线)来表示。
该店支付员工的工资为每人每天82元,每天还应该支付其他费用为106元(不包含债务)
(1)求日销售量y件与销售价x元/件之间的函数关系式
(2)若该店暂时不考虑偿还债务,当某天的销售价位48元/件时,当天正好收支平衡,求该店员工的人数
(3)若该店只有2名员工,则该店最早需要多少天能还请所有债务,此时每件服装的价格应定位多少元?
【复习达标差异训练】A级
一、填空题
1、
(1)在同一平面直角坐标系中,若一次函数y=-x+3与y=3x-5的图像交于点M,则点的坐标为
(2)(2015宁夏)如图在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,4),ΔOAB延x轴向右平移后得到ΔOAB,点A的对应点A是直线y=x上一点,则点B与其对应点B间的距离为
2、
(1)如图直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点,把ΔAOB绕点A顺时针旋转90·
后得到ΔAOB,则点B的坐标是
(2)(2015梁山)已知函数y=2x+a+2b是正比例函数,则a=b=
3、
(1)(2015精编)在平面直角坐标系内,已知点(1-2a,a-2)在第三象限的角平分线上,则经过(a-1,a)与(2a,3a)的直线的函数解析式
(2)(2015精编)点P(2,-2)到直线y=2x-3的距离
4、
(1)直线y=kx-1与y=x-1平行,则y=kx-1的图像经过第象限
(2)如图,直线l过A,B两点,A(0,1),B(1,0),则过点B,且与l垂直的直线解析式为
二、选择题
5、(2015精编)对于一次函数y=kx+k-1(k≠0),下列叙述正确的是()
A当0<
1时,函数图像经过第一、二、三象限
B当k>
0的时候,y随x的增大而减小
C当k<
1的时候,函数图像一定交于y轴的负半轴
D函数图像一定经过点(-1,-2)
6、(2015精编)已知直线y=kx+b,若k+b=-5,kb=6,那么该直线不经过()
A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限
7、如图,三棱柱的体积为10,其侧棱AB上有一个点P从点A开始运动到点B停止,过P点作与底面平行的平面将这个三棱柱截成两个部分,它们的体积分别为x、y,则下列能表示y与x之间函数关系的大致图象是( )
ABCD
8、(2015潍坊)若式子+(k-1)有意义,则一次函数y=(k-1)-k的图像可能是()
三、解答题
9、如图,一次函数y=-x+2的图像分别于x轴,y轴交于点A,B,以线段AB为边在第一象限内作等腰直角三角形ABC,∠BAC=90,求过B,C两点的解析式
10、(2015天水)如图在平面直角坐标系内,O为原点,点A的坐标(-3,0)经过A、O两点作半径为的⊙C,交y轴的负半轴于点B。
(1)求B点的坐标;
(2)过B点作⊙C的切线交x轴于点D,求直线BD的解析式。
B级
11、
(1)(2015精编)一次函数y=kx+b,当1《x《4时,3《y《6则的值是
(2)如图直线y=x+n与坐标轴交于点B,C,连接AC,如果∠ACD=90,A(-4,0),则n的值为
12、(2015精编)如图,已知A
1
、A
2
3
、…、A
n
n+1
是x轴上的点,且OA
=A
A
=…=A
An+1
=1,分别过点A
作x轴的垂线交直线y=2x于点B
、B
3、…、B
,连接A
B
,依次相交于点P
、P
、…、P
.△A
P
、△A
的面积依次记为S1
、S
、…、S
,则S
为( )
14、(2015精编)如图1所示,在A,B两地之间有汽车站C站,客车由A地驶往C站,货车由B地驶往A地.两车同时出发,匀速行驶.图2是客车、货车离C站的路程y1,y2(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系图象.
(1)填空:
A,B两地相距______千米;
(2)求两小时后,货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式;
(3)客、货两车何时相遇?
C级
15、(2015精编)如图,四边形ABCD是矩形,点E在线段CB的延长线上,连接DE交AB于点F,∠AED=2∠CED,点GF的中点,若BE=1,AG=4,则AB的长为
16、(2015精编)如图放置的ΔOAB,ΔBAB,△B2A2B3,…都是边长为2的等边三角形,边AO在y轴上,点B1,B2,B3,…都在直线y=x上,则A2014的坐标是
.
17、(2015精编)如图在平面直角坐标系中,矩形OEFG的顶点F的坐标为(4,2),将矩形OEFG绕点O逆时针旋转,使点F落在y轴上,得到矩形OMNP,OM与GF相交于点A.若经过点A的反比例函数
(x>0)的图象交EF于点B,则点B的坐标为____________.
18、(2015精编)如图,在ΔABC中,D是BC边上的点(不与点BC重合),连接AD
问题引入:
(1)如图①,当点D是BC边上的中点时,S△ABD:
S△ABC=
;
当点D是BC边上任意一点时,S△ABD:
(用图中已有线段表示).
探索研究:
(2)如图②,在△ABC中,O点是线段AD上一点(不与点A、D重合),连结BO、CO,试猜想S△BOC与S△ABC之比应该等于图中哪两条线段之比,并说明理由.
拓展应用:
(3)如图③,O是线段AD上一点(不与点A、D重合),连结BO并延长交AC于点F,连结CO并延长交AB于点E,试猜想的值,并说明理由.
第十二讲反比例函数
一、反比例函数的概念
1、一般的,如果两个变量x,y之间的关系可以表示成y=(k为常数,k≠0)[1]
,其中k叫做反比例系数,x是自变量,y是因变量x的函数,x的取值范围是不等于0的一切实数,且y也不能等于0。
0时,图像在一、三象限。
0时,图像在二、四象限.k的绝对值表示的是x与y的坐标形成的矩形的面积。
2、反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线(hyperbola),反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交(y≠0)。
3、当k>
0时,两支曲线分别位于第一、三象限内;
0时,两支曲线分别位于第二、四象限内,两个分支无限接近x和y轴,但永远不会与x轴和y轴相交.
.
4、
(1)当K>
0时,在图象所在的每一象限内,Y随X的增大而减小。
(2)当K<
0时,在图象所在的每一象限内,Y随X的增大而增大
5、k的意义及应用过反比例函数y=(k为常数,k≠0)图像上任意一点P(x,y),作两坐标轴的垂线,两垂足、原点、P点组成一个矩形,矩形的面积为;
过反比例函数一点,作垂线,并连接原点,三角形的面积为
1、当a≠0时,函数y=ax+1与函数y=在同一坐标系中图像可能是()
.
B.
C.
D.
2、已知反比例函数的图像y=-上有两点A(x,y),B(x,y),若y>
y,则x-x的值是()A正数B负数C非负数D不能确定
3、(2015鄂州)如图,直线y=x-2与y轴交于点C,与x轴交于点B,与反比例函数的图象在y=的图像在第一象限交于点A,连接OA.若S△AOB:
S△BOC=1:
2,则k的值为( )
4、(2015精编)如图,反比例函数y=(x<
0)的图像经过点A(-1,1),过点A作AB⊥y轴,垂足为B,在y轴的正半轴上取一点P(0,t),过点P作直线OA的垂线l,以直线l为对称轴,点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上,则t的值是( )
.
B.
C.
D.
5、(2015精编)如图,将透明三角形纸片PAB的直角顶点P落在第四象限顶点A、B分别落在反比例函数图像的两支上,且PB⊥x于点C,PA⊥y于点D,AB分别与x轴,y轴相交于点E、F,已知B(1,3).
(1)k=
;
(2)试说明AE=BF;
(3)当四边形ABCD的面积为时,求点P的坐标.
【复习达标差异训练】
1、
(1)如果反比例函数y=的图像经过点(-1,-2),则k的值是
(2)(2015娄底)反比例函数y=-的图像上有两点P(X,Y),P2(x2,y2),若x1<0<x2,则下列结论正确的是( )
A.y1<y2<0B.y1<0<y2C.y1>y2>0D.y1>0>y2
2、如图点A是反比例函数y=-(x<
0)的图像上的一点,过点A作ABCD,使点B、C在x轴上,点D在y轴上,则ABCD的面积为( )
3、(2015)铜仁)如图在平面直角坐标系中,直线y=kx+2与x轴交于点A,与y轴交于点C,与反比例函数y=在第一象限内的图象交于点B,连接B0.若S△OBC=1,tan∠BOC=,则k2的值是( )
4、(2015精编)如图直线y=kx+b与双曲线y=交于A,B两点,其横坐标分别为1和5,则不等式kx<
+b的解集是
二、选择题
5、(2015南海)点A(-1,1)是反比例函数y=的图像上一点,则m的值为()
A、-1B、-2C、0D、1
6、(2015精编)如图正比例函数y=x与反比例函数y=的图像交于A,B两点,BC⊥x与点C,则ΔABC的面积为()
A、1B、2C、D、
7、(2015精编)如图已知点A是直线y=x与反比例函数y=(k>
0,x>
0)的交点,B是y=图像上的另一点,BC∥x轴,交y轴于点C.动点P从坐标原点O出发,沿O→A→B→C(图中“→”所示路线)匀速运动,终点为C,过点P作PM⊥x轴,PN⊥y轴,垂足分别为M,N.设四边形OMPN的面积为S,P点运动时间为t,则S关于t的函数图象大致为( )
ABCD
8、(2015精编)如图一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象交于A(1,2),B(-2,-1)两点,若y<
y,则x的取值范围是()
9、(2015陕西)如图在平面直角坐标系中,过点M(-3,2)分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数y=的图象交于A,B两点,则四边形MAOB的面积为 .
10、(2015精编)如图,在平面直角坐标系中,A(-3,1),以点O为顶点作等腰直角三角形AOB,双曲线y1=在第一象限内的图象经过点B.设直线AB的解析式为y2=k2x+b,当y1>y2时,x的取值范围是( )
B级
11、(2015精编)如图已知直线y=-x+2分别于x轴y轴交于A,B两点,与双曲线y=kx交于E,F两点,若AB=2EF,则k的值是
12、(2015精编)如图ΔOAC都是等腰直角三角形,∠ACO=∠ADB=90,反比例函数y=在第一象限的图象经过点B,若OA-AB=12,则k的值为______
13、(2015精编)如图在x轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A,A2,A3,A4,…,An分别过这些点做x轴的垂线与反比例函数y=的图象相交于点P1,P2,P3,P4,…Pn作P2B1⊥A1P1,P3B2⊥A2P2,P4B3⊥A3P3,…,PnBn﹣1⊥An﹣1Pn﹣1,垂足分别为B1,B2,B3,B4,…,Bn﹣1,连接P1P2,P2P3,P3P4,…,Pn﹣1Pn,得到一组Rt△P1B1P2,Rt△P2B2P3,Rt△P3B3P4,…,Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn,则Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn的面积为 . .
14、(2015精编)如图以ABCO的顶点O为原点,边OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,顶点A、C的坐标分别是(2,4)、(3,0),过点A的反比例函数y=的图象交BC于D,连接AD,
(1)求反比例函数和直线BC的解析式
(2)求四边形AOCD的面积
C级
15、(2015广元)从3,0,-1,-2,-3这5个数中抽取一个数,作为函数y=(5﹣m2)x和关于x的一元二次方程(m+1)x2+mx+1=0中m的值.若恰好使函数的图象经过第一、三象限,且使方程有实数根,则满足条件的m的值是 .
16、(2015精编)如图,菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3,,∠A=120,则图中阴影部分的面积是多少?
17、(2015精编)如图,圆O是ΔABC的外接圆,∠C=30,AB=2cm,则圆O的半径为cm
18、(2015精编)如图,AB为圆O的直径,P是BA延长线上一点,PC切圆O与点C,CG是圆O的弦,CG⊥AB,垂足为D.
(1)求证:
∠PCA=∠ABC;
(2)过点A作AE∥PC,交⊙O于点E,交CD于点F,连接BE.若sin∠P=3/5,CF=5,求BE的长.
15
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- 最新 一次 函数 分层 练习