特殊平行四边形相关计算与证明(培优专用)Word格式文档下载.doc
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判定
·
有三个角是直角;
是平行四边形且有一个角是直角;
是平行四边形且两条对角线相等.
四边相等的四边形;
是平行四边形且有一组邻边相等;
是平行四边形且两条对角线互相垂直。
是矩形,且有一组邻边相等;
是菱形,且有一个角是直角。
对称性
既是轴对称图形,又是中心对称图形
专题一:
特殊平行四边形的有关证明
一.矩形
矩形定义:
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形或正方形).矩形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点,矩形也是轴对称图形,对称轴是通过对边中点的直线,有两条对称轴;
矩形的性质:
(具有平行四边形的一切特征)
性质1:
矩形的四个角都是直角.
性质2:
矩形的对角线相等且互相平分.
如右图,在矩形ABCD中,可以得到
直角三角形的一个性质:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
矩形的判定方法:
方法1:
对角钱相等的平行四边形是矩形.
方法2:
有三个角是直角的四边形是矩形.
方法3:
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
方法4:
对角线相等且互相平分的四边形是矩形.
例1.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,已知,AB=2.5,则AC的长为。
例2
BFC
AHD
EG
例2.如图,将矩形纸ABCD的四个角向内折起,恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH,若EH=3厘米,EF=4厘米,则边AD的长是___________厘米.
例3.如图,矩形中,过对角线交点作交于则的长是()
A.1.6 B.2.5C.3 D.3.4
例4.已知:
如图,矩形ABCD,AB长8cm,对角线比AD边长4cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长.
例5已知:
如图,矩形ABCD中,E是BC上一点,DF⊥AE于F,若AE=BC.求证:
CE=EF.
例6.如图,已知矩形ABCD中,E是AD上的一点,F是AB上的一点,EF⊥EC,且EF=EC,DE=4cm,矩形ABCD的周长为32cm,求AE的长.
例7、如图,在ABCD中,E为BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F.
(1)求证:
AB=CF;
(2)当BC与AF满足什么数量关系时,四边形ABFC是矩形,并说明理由.
二.菱形
菱形定义:
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形的性质
性质1菱形的四条边都相等;
性质2菱形的对角线互相平分,且每条对角线平分一组对角;
菱形的判定
方法1:
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.方法2:
四边都相等的四边形是菱形.
例1.已知一个菱形的周长是20cm,两条对角线的比是4∶3,则这个菱形的面积是()
A.12cm2B.24cm2C.48cm2D.96cm2
例2.若一个菱形的边长为2,则这个菱形两条对角线的平方和为()
A16B8C4D1
例3如图,P是菱形ABCD对角线BD上一点,PE⊥AB于点E,PE=4cm,则点P到BC的距离是_________cm.
例4.菱形ABCD中,∠B=60°
,AB=2,E、F分别是BC、CD的中点,连接AE、EF、AF,则△AEF的周长为()
A.B.C.D.
例5
已知:
如图,四边形ABCD是菱形,F是AB上一点,DF交AC于E.
求证:
∠AFD=∠CBE.
例6已知:
如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F.
四边形AFCE是菱形.
例7、如图,在ABCD中,O是对角线AC的中点,过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F,求证:
四边形AFCE是菱形.
例8、如图,菱形ABCD的边长为2,BD=2,E、F分别是边AD,CD上的两个动点,且满足AE+CF=2.
△BDE≌△BCF;
(2)判断△BEF的形状,并说明理由;
(3)设△BEF的面积为S,求S的取值范围.
三.正方形
正方形是在平行四边形的前提下定义的,它包含两层意思:
①有一组邻边相等的平行四边形(菱形)
②有一个角是直角的平行四边形(矩形)
正方形不仅是特殊的平行四边形,并且是特殊的矩形,又是特殊的菱形.
正方形定义:
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.正方形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点,正方形又是轴对称图形,对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线,共有四条对称轴;
因为正方形是平行四边形、矩形,又是菱形,所以它的性质是它们性质的综合,正方形的性质总结如下:
边:
对边平行,四边相等;
角:
四个角都是直角;
对角线:
对角线相等,互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.
正方形的判定方法:
1)有一个角是直角的菱形是正方形;
2)有一组邻边相等的矩形是正方形.
例1.如图,正方形纸片ABCD的边长为1,M、N分别是AD、BC边上的点,将纸片的一角沿过点B的直线折叠,使A落在MN上,落点记为A′,B
C
E
A
D
F
折痕交AD于点E,若M、N分别是AD、BC边的中点,则A′N= ;
例2.如图,正方形ABCD的边长为1cm,E、F分别是BC、CD的中点,连接BFN
M
B
题3
、DE,则图中阴影部分的面积是cm2.
例3如图,将边长为8㎝的正方形ABCD折叠,使点D落在BC边的中点E处,
点A落在F处,折痕为MN,则线段CN的长是()
A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm
例4已知:
如图,正方形ABCD中,对角线的交点为O,E是OB上的一点,DG⊥AE于G,DG交OA于F.
OE=OF.
如图,四边形ABCD是正方形,分别过点A、C两点作l1∥l2,作BM⊥l1于M,DN⊥l1于N,直线MB、DN分别交l2于Q、P点.
四边形PQMN是正方形.
例6、如图,P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点(P与A、C不重合),点E在射线BC上,且PE=PB.
①PE=PD;
②PE⊥PD;
(2)设AP=x,△PBE的面积为y.
①求出y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;
②当x取何值时,y取得最大值,并求出这个最大值.
例7:
如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,DB平分∠ADC,过点A作AE∥BD,交CD的延长线于点E,且∠C=2∠E.
梯形ABCD是等腰梯形.
(2)若∠BDC=30°
,AD=5,求CD的长.
四边形动点专题:
证明与计算
与中点相关的证明,或构造平行四边形将条件集中,或构造出中位线等等。
例1.如图l,在四边形A8CD中,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,连结EF并延长,分别与BA、CD的延长线交于点M、N,则∠BME=∠CNE(不需证明).
(温馨提示:
在图1中,连结BD,取BD的中点H,连结HE、HF,根据三角形中位线定理,可证得HE=HF,从而∠HFE=∠HEF,再利用平行线的性质,可证得∠BME=∠CNE.)
问题一:
如图2,在四边形ADBC中,AB与CD相交于点O,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,连结EF,分别交DC、AB于点M、N,判断△OMN的形状,请直接写出结论.
问题二:
如图3,在△ABC中,AC>
AB,D点在AC上,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,连结EF并延长,与BA的延长线交于点G,
若∠EFC=600,连结GD,判断△AGD的形状并证明.A
N
O
H
1
2
图1
图2
图3
G
例2.已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.
EG=CG;
(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º
,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请给出证明;
若不成立,请说明理由.
(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问
(1)中的结论是否仍然成立?
通过观察你还能得出什么结论?
图②
图①
图③
6
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- 特殊 平行四边形 相关 计算 证明 专用