关于全等三角形的旋转难题Word格式文档下载.docx
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∴ED=AD+BE.点评:
本题考查了全等三角形的判定和性质;
利用全等三角形的对应边相等进行等量交换,证明线段之间的数量关系,这是一种很重要的方法,注意掌握
3.如图1、图2、图3,△AOB,△COD均是等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90o,
(1)在图1中,AC与BD相等吗,有怎样的位置关系?
请说明理由。
....
(2)若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后,到达图2的位置,请问AC与BD还相等吗,还具有那种位置关系吗?
为什么?
(3)若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后,到达图3的位置,请问AC与BD还相等吗?
还具有上问中的位置关系吗?
根据等腰三1)全等三角形的判定与性质;
等腰直角三角形.分析:
(旋转的性质;
角形的两腰相等进行解答.)相(1≌△COA,根据全等三角形的对应边相等进行说明.解答:
解:
(2)证明△DOB等.COD=90°
,COD均是等腰直角三角形,∠AOB=∠在图1中,∵△AOB,△OC=OD,∴OA=OB,0A-0C=0B-OD,∴AC=BD;
∴2)相等.(OB=OA,∠COA,在图2中,0D=OC,∠DOB=,DOB≌△COA∴△.点评:
本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质以及旋转问题,在旋转的过程中要注意哪些量BD=AC∴是不变的,找出图形中的对应边与对应角.ACABABC,中,的知识时,老师布置了一道作业题:
“如图①,已知在△=.4.(2008河南)(9分)复习“全等三角形”CPBQBQCPAPAAQQAPBACPABC”顺时针旋转至,则,使∠.=∠=是△,连接内部任意一点,将、绕PCPACPBQABQ移到等,从而证得=小亮是个爱动脑筋的同学,他通过对图①的分析,证明了△之后,将点≌△CPABCBQ之外,原题中的条件不变,发现“”仍然成立,请你就图②给出证明.=腰三角形
全等三角形的判定与性质;
等腰三角形的性质.专题:
此题的两个小题思路是一致;
而根∠PAC题是加上同一个角),来证得∠QAB=的;
已知∠QAP=∠BAC,那么这两个等角同时减去同一个角(2的结论.解答:
BQ=CP≌△ACP,进而得出,即可由AP=AQ,且已知AB=ACSAS证得△ABQ据旋转的性质知:
,QAP=∠BAC证明:
(1)∵∠,∠BAPQAP-∠BAP=∠BAC-∴∠;
∠CAP即∠QAB=CPA中,在△BQA和△,∠CAPAB=ACAQ=AP∠QAB=;
(SAS)∴△BQA≌△CPA.∴BQ=CPBQ=CP仍然成立,理由如下:
2(),BAC∵∠QAP=∠PAB,BAC+QAP+∴∠∠PAB=∠∠....
即∠QAB=∠PAC;
在△QAB和△PAC中,
AQ=AP∠QAB=∠PACAB=AC,
∴△QAB≌△PAC(SAS),
∴BQ=CP.点评:
此题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质;
选择并利用三角形全等是正确解答本题的关键.
△ABC和(2009山西太原)将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开,得到图①中的两张三角形胶片5.BEBDEFDEF△△DEF△ABC△顺时针方向旋将这两张三角形胶片的顶点.且重合,把与顶点≌绕点。
ACDFO.转,这时相交于点与
?
DCA)(EBAFD?
DEF△DC,的数量关系是在同一直线上时,,旋转至如图②位置,点.与①当
△DEF继续旋转至如图③位置时,
(1)中的结论还成立吗?
AO与DO②当存在怎样的数量关系?
请说明理由.
点:
旋转的性质;
(1)根据外角的性质,得∠AFD=∠D+∠ABC,∠DCA=∠A+∠ABC,从而得出∠AFD=∠DCA;
(2)成立.由△ABC≌△DEF,可证明∠ABF=∠DEC.则△ABF≌△DEC,从而证出∠AFD=∠DCA;
(3)BO⊥AD.由△ABC≌△DEF,可证得点B在AD的垂直平分线上,进而证得点O在AD的垂直平分线上,则直线BO是AD的垂直平分线,即BO⊥AD.解答:
(1)∠AFD=∠DCA(或相等).
(2)∠AFD=∠DCA(或成立),理由如下:
方法一:
由△ABC≌△DEF,得AB=DE,BC=EF(或BF=EC),∠ABC=∠DEF,∠BAC=∠EDF.∴∠ABC-∠FBC=∠DEF-∠CBF,
∴∠ABF=∠DEC.
在△ABF和△DEC中,AB=DE∠ABF=∠DECBF=EC
∴△ABF≌△DEC,∠BAF=∠EDC.
∴∠BAC-∠BAF=∠EDF-∠EDC,∠FAC=∠CDF.
∵∠AOD=∠FAC+∠AFD=∠CDF+∠DCA,
∴∠AFD=∠DCA.
方法二:
连接AD.同方法一△ABF≌△DEC,
∴AF=DC.
由△ABC≌△DEF,得FD=CA.
在△AFD≌△DCA,AF=DCFD=CAAD=DA
∴△AFD≌△DCA,∠AFD=∠DCA.
(3)如图,BO⊥AD.
由△ABC≌△DEF,点B与点E重合,
得∠BAC=∠BDF,BA=BD.
∴点B在AD的垂直平分线上,
且∠BAD=∠BDA.
BDA-∠BDF,∵∠OAD=∠BAD-∠BAC,∠ODA=∠OAD=∠ODA.∴∠O在AD的垂直平分线上.∴OA=OD,点BO.⊥AD∴直线BO是AD的垂直平分线,.,同方法一,OA=OD方法二:
延长BO交AD于点GAB=DBBO=BOOA=OD在△ABO和△DBO中,
.∠DBO∴△ABO≌△DBO,∠ABO=DBGBG=BGDBG中,AB=DB∠ABG=∠在△ABG和△°
.∠DGB=90∴△ABG≌△DBG,∠AGB=.点评:
本题考查了三角形全等的判定和性质以及旋转的性质,是基础知识要熟练掌握.⊥AD∴BO.EAF的度数上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠例1正方形ABCD中,E为BCAD≌△考点:
正方形的性质.分析:
延长EB使得BG=DF,易证ABG△解.解题可得∠AF=AG,进而求证△AEG≌△AEFEAG=∠EAF,再求出∠EAG+∠EAF=90°
即可ADF(SAS)可得F,EB使得BG=DF答:
延长中,ABG和△ADF在△,ADF=90°
BG=DF由AB=AD∠ABG=∠CBE≌△ADF(SAS),ABG可得△DAF=∠BAG,AF=AG,∴∠AE=AE,又∵EF=DF+BE=EB+BG=EG,),AEF(SSS∴△AEG≌△,EAG=∴∠∠EAF°
EAF+∠BAE=90∵∠DAF+∠EAF=90EAG+∠°
,∴∠∴∠EAF=45°
.°
.点评:
本题考查了正方形各内角均为直角,考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形对应边、对应角EAF的角度为45答:
∠BEAF是解题的关键.相等的性质,本题中求证∠EAG=∠
ABCRt?
斜边AB的中点,DM⊥DN,DM,DN分别交例2D为等腰BC,CA。
于点E,FMDN?
。
当转动时,求证DE=DF绕点D
(1)A的面积。
若AB=2,求四边形DECF
(2)E连考点:
等腰直角三角形.专题:
计算题.分析:
(1)CMA,则∠AB,∠A=45°
,CD=DAACBCD,根据等腰直角三角形的性质得到CD平分∠,CD⊥FDCE△根据全等三角形的判ADF,定易得DNBCD=45°
,∠CDA=90°
,由∠DM⊥得∠EDF=90°
,根据等角的余角相等得到∠CDE=∠,即可得到结论;
≌△ADF的面积公CD=DA=1,根据三角形,由而的面积ADF,于是四边形DECF=S△ACDAB=2可得△,则)由△(2DCE≌△ADFS△DCE=SN,如图,(的面积.解答:
1)连CDACD式易求得S△,从而得到四边形DECFAB的中点,斜边为等腰∵DRt△ABC,∴CD平分∠ACBCD⊥ABCD=DA,,∠A=45°
,°
,∠BCD=45CDA=90°
,∴∠,⊥∵∠DMDN∴∠EDF=90°
,,∠∴∠CDE=ADFAAA中,和△在△DCEADFMECDE=DAFDC=DADCE=∠∠∠∠ADF,EMBBB,ADFDCE∴△≌△∴;
DE=DFFCDDDCCDCE2()∵△≌△,ADFFFNNN△S∴ADF△,DCE=SE的面积DECF∴四边形ACD△,=SMAB=2而,)3(图)2(图1)(图....
∴CD=DA=1,
∴四边形DECF的面积=S△ACD=12CD?
DA=12.点评:
本题考查了旋转的性质:
旋转前后两图形全等,即对应角相等,对应线段相等,对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角.也考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质.
∠ABC?
120∠MBN?
60BC?
BC?
CDABABCDBMBN∠AD?
AB点旋中,,绕,,,1、已知四边形,
E,FDCAD,.(或它们的延长线)于转,它的两边分别交CFAE?
BEF?
∠MBNAE?
CF当时(如图1绕,易证点旋转到.)BCFMBN?
AE∠这两种情况下,上述结论是否成立?
若成立,请给予证明;
若不成立,绕3点旋转到时,在图当2和图EFCFAE,线段,又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,不需证明.
2的AB、D两点落在直线AB为一边作正方形ABCD,2、(西城09年一模)已知使:
PA=P,PB=4,以.两侧;
的长及PD,当∠APB=45°
时求AB
(1)如图,.的大小及相应∠APB,求PD的最大值,
(2)当∠APB变化,且其它条件不变时ABCABC?
外一点,且D为所在直线上分别有两点M、3、在等边N,的两边AB、AC
?
120BDC?
60?
MDN、BMAC上移动时,N分别在直线AB、,BD=DC.探究:
当M、,ABCAMN?
与等边L、NCMN之间的数量关系及的关系.的周长的周长Q
3
图图2图1
Q?
;
此时、、)如图(I1,当点M、N边ABAC上,且DM=DN时,BM、NCMN之间的数量关系是
L
;
)问的两个结论还成立吗?
写出你的猜想并加以证明;
上,且当ACDM时,猜想(DNI、边、,点)如图(II2MNAB....
(III)如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,
xx、L表示)(用.若AN=,则Q=
等边三角形的性质;
全等三角形的判定与性质.分析:
(1)由DM=DN,∠MDN=60°
,可证得△MDN是等边三角形,又由△ABC是等边三角形,CD=BD,易证得Rt△BDM≌Rt△CDN,然后由直角三角形的性质,即可求得BM、NC、MN之间的数量关系
BM+NC=MN,此时QL=23;
(2)在CN的延长线上截取CM1=BM,连接DM1.可证△DBM≌△DCM1,即可得DM=DM1,易证得∠CDN=∠MDN=60°
,则可证得△MDN≌△M1DN,然后由全等三角形的性质,即可得结论仍然成立;
(3)首先在CN上截取CM1=BM,连接DM1,可证△DBM≌△DCM1,即可得DM=DM1,然后证得∠CDN=∠MDN=60°
,易证得△MDN≌△M1DN,则可得NC-BM=MN.解答:
(1)如图1,BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN.
此时QL=23.(2分).
理由:
∵DM=DN,∠MDN=60°
∴△MDN是等边三角形,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=60°
BDC=120°
,∵BD=CD,∠DCB=30°
,∴∠BDC=∠NCD=90°
,∴∠MBD=∠BD=CD,∵DM=DN,CDN,≌Rt△BDM∴Rt△BM=CN,∠CDN=30°
,∴∠BDM=DN=2CN,∴DM=2BM,MN=2BM=2CN=BM+CN;
∴AM=AN,∴AMN是等边三角形,∴△,∵AB=AM+BM,AB=2:
3∴AM:
∴QL=23
.(3分)
(2)猜想:
结论仍然成立.
分)(4.CN的延长线上截取CM1=BM,连接DM1证明:
在,°
,BD=CD∵∠MBD=∠M1CD=90,≌△DCM1∴△DBM,,M1C=BM,∠MBD=∠M1CD∴DM=DM1
°
,BDC=120∵∠MDN=60°
,∠°
,∴∠M1DN=∠MDN=60,∴△MDN≌△M1DN,∴MN=M1N=M1C+NC=BM+NC,AMN的周长为:
AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC∴△;
(4分)CN)证明:
在上截取CM1=BM,连接DM1.(3≌△DCM1,可证△DBM5分)∴DM=DM1,(MDN=60°
,可证∠CDN=∠,M1DN∴△MDN≌△.,(7分)∴MN=M1N.点评:
此题考查了等边三角形,直角三角形,等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识.此题分).(8∴NC-BM=MN
综合性很强,难度较大,解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法.
拼成菱形ACD2005年马尾)用两个全等的等边三角形△ABC和△(例8.°
角的顶点与点60°
角的三角尺与这个菱形叠合,使三角尺的60ABCD.把一个含.
AAC,重合.将三角尺绕点按逆时针方向旋转ABA重合,两边分别与....
(如图F时,CD相交于点E,
(1)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,
么结论?
并证明你的结的长度,你能得出什,通过观察或测量BE,CF13—1)论;
F,CD的延长线相交于点E
(2)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,.
简要说明理由,你在
(1)中得到的结论还成立吗?
时(如图13—2)旋转的性的判定与性质;
菱形的性质;
三角形的面积;
全等三角形即可得出答案;
≌△ACF质.分析:
(1)利用全等三角形的判定得出△ABE即可;
ABE≌△ACF)根据已知可以得出∠BAE=∠CAF,进而求出△
(2)得出求出即可.解答:
(1△ACF=S△AEC+SABE=S△ABC(3)利用四边形AECF的面积S=S△AEC+S△结论是:
BE=CF,∠EAF=60°
,证明:
∵∠BAC=∠EAC,∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠CAF,即:
∠BAE=∠ACF=60°
,又∵AB=AC,∠ABE=,CAFAB=AC∠ABE=∠ACF∴∠BAE=∠ASA),∴△ABE≌△ACF(BE=CF,∴2)还成立,(EAF=60°
∵∠BAC=∠EAC,∠EAC=∠EAF+∠∴∠BAC+CAF,即∠BAE=∠ACF=60°
,又∵AB=AC,∠ABE=∠,ABE=∠ACF即∠BAE=∠CAFAB=AC∠),≌△ACF(ASA∴△ABEBE=CF,∴,)证明:
∵△ABE≌△ACF(3,△ABE=S△ACF∴S;
△ABE=S△ABCS=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S∴四边形AECF的面积,ABC=12S菱形ABCD而S△.点评:
此题主要考查了全等三角形的判定以及四边形面积,熟练利用全等三角形判定求ABCD∴S=12S菱形出是解题关键..BE=CF解:
(1)EAC=60°
,EAC=∠CAF+∠∵∠证明:
在△ABE和△ACF中,BAE+∠.
=∠CAF∴∠BAE).ABE≌△ACF(ASAACF∵AB=AC,∠B=∠=60°
,∴△CF.∴BE=和△ACF仍然成立.根据三角形全等的判定公理,同样可以证明△ABE
(2)BE=CF旋转型
ABCD为一边向正方形以CG、G与CD不重合),G1、如图,正方形ABCD的边长为1,为CD边上一动点(点D的延长线于H。
BG外作正方形GCEF,连接DE交A
DCE△BCG≌△求证:
①H
GFDE
BH⊥②
正方形的性质;
线段垂直平分线的性质.专题:
动点型.分析:
(1)根据正方形的边的性质和直角可通过SAS判定△BCG≌△DCE,从而利用全等的性质得到∠BGC=∠DEC;
EBC
(2)连接BD,解题关键是利用垂直平分线的性质得出BD=BE,从而找到BD=2,CE=BE-BC=2
-1,根据全等三角形的性质求解即可.解答:
∵四边形ABCD、GCEF都是正方形,
∴BC=DC,∠BCG=∠DCE=90°
,GC=EC
∴△BCG≌△DCE(3分)
∴∠BGC=∠DEC(4分)
BD
2)连接(6分)DE,则有BD=BE(如果BH垂直平分BC=CD=1,∵8分)∴BD=2(9分)∴CE=BE-BC=2-1(CG=CE=2-1
∴分)点评:
此题主要考查正方形的性质,全等三角形的判定和线段的垂.(10BH垂直平分DE即当CG=2-1时,直平分线的性质等几何知识.线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.特殊图形的特殊性质要熟练掌握.在同一条直E,C,所示放置,图2、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图12是由它抽象出的几何图形,B.线上,连结DC;
)请找出图2中的全等三角形,并给予证明(说明:
结论中不得含有未标识的字母)(1
(2)证明:
DC⊥BE.
等腰直角三角形.D
A
B
E图1
2图专题:
证明题.分析:
(1)此题根据△ABC与△AED均为等腰直角三角形,容易得到全等条件证明△
(2)根据
(1)的结论和已知条件可以证明解答:
(1)∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形,∴AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=90°
.∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE.
即∠BAE=∠CAD,
在△ABE与△ACD中,
∵
CDC⊥BE
AB≌ACAB=AC
∠BAE=∠CAD
AE=AD
∴△ABE≌△ACD.
(2)∵△ABE≌△ACD,
∴∠ACD=∠ABE=45°
又∵∠ACB=45°
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°
∴DC⊥BE.
点评:
此题是一个实际应用问题,利用全等三角形的性质与判定来解决实际问题,关键是理解题意,得到所需要的已知条件.
3、
(1)如图7,点O是线段AD的中点,分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角....
AEB的大小;
,相交于点E,连结BC.求∠形OCD,连结AC和BDC
E
D
O
7
图
不OCD和ΔO旋转(ΔOABΔOAB固定不动,保持ΔOCD的形状和大小不变,将ΔOCD绕着点
(2)如图8,.的大小,求∠AEB能重叠)B
E,AB=AE,∠B=∠AE⊥AB,AD⊥AC,4、如图,C
ECE.2)BD⊥求证:
(1)BD=CE;
(
O
8
CAD
BAE=∠⊥AB,AD⊥AC∠.证明:
(1)AE?
,ECAE.而AB=AE,∠B=∠∠BAD=∠.∴△ABD≌△AEC.∴BD=CE
.AEC知∠B=∠EABD
(2)由△≌△°
,∴BD⊥CE.∠而∠AGB=∠EGF,∴∠EFG=EAB=90,的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD为边在线段如图,点O是线段AD的中点,分别以AO和DOAD专全等三角形的判定与性质.考点:
BC相交于点E,连接.求∠AEB的大小.AC连接和BD,与∠BDAOD=DC=OC=OB=OA,进而求出∠题:
由于△BOC和△ABO都是等边三角形,可得ABO都是等边三角形,CAD的大小及关系,则可求解∠AEB.解答:
∵△DOC和△AD的中点,且点O是线段,∴OD=DC=OC=OB=OA,∴△ACD≌△DBA.∴∠BDA=∠CAD∠OBD=∠BOA=60°
,又∵∠BDA+ODB=∠OBD,而∠∴∠°
.BDA=30°
.∴∠CAD=30CAD,AEB=∵∠∠BDA+∠°
本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质;
可围绕结论寻找全等三角形,∴∠AEB=60运用全等三角形的性质判定线段相等,求得角的度数是正确解答本题的关键.yeyue
答题:
,AF=ACAE=ABAFAE5、如图所示,已知⊥AB,⊥AC,BF
(;
2)EC⊥EC=BF1求证:
()....
F
M
C
.
的度数BE+DF=EF,求∠EAF上的一点,F为CD6、正方形ABCD中,上的一点,E为BCADFCBE
)SASADF(BG=DF,易证△ABG≌△正方形的性质.考点:
分析:
延长EB使得使EBEAF=90°
即可解题.解答:
延长∠EAF,再求出∠EAG+∠可得AF=AG,进而求证△AEG≌△AEF可得∠EAG=,得BG=DF中,和△ADF在△ABG,°
BG=DF∠ABG=∠ADF=90由AB=AD
,SAS)ABG≌△ADF(可得△AF=AG,BAG∴∠DAF=∠,B
,又∵EF=DF+BE
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