人教版七年级下册51相交线专项练习Word格式.docx
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④一个角的两个邻补角是对顶角,此说法正确;
⑤若两个角不是对顶角,则这两个角不一定相等,此说法错误;
⑥如果两个角有一条公共边,它们的另一条边互为反向延长线,则这两个角互为邻补角,此说法错误;
【中】6.如图所示,直线AB,CD,EF,MN,GH相交于点O,则图中对顶角共有( )
A.3对B.6对C.12对D.20对
2条直线交于一点,对顶角有2对,2=2×
1;
3条直线交于一点,对顶角有6对,6=3×
2;
4条直线交于一点,对顶角有12对,12=4×
3;
由规律可得,n条不同直线相交于一点,可以得到n(n﹣1)对对顶角,
∴直线AB,CD,EF,MN,GH相交于点O,对顶角共有5×
4=20对,
故选:
D.
类型二:
邻补角和对顶角的计算
依据定理及性质,对邻补角、对应角进行简单的计算;
【易】1.如图,直线AB,CD交于点O,OA平分∠EOC,∠EOC:
∠EOD=4:
5,则∠BOD= 度.
【答案】见解析
【解析】解:
∵∠EOC:
5,
∴设∠EOC=4x,∠EOD=5x,
故4x+5x=180°
,
解得:
x=20°
可得:
∠COE=80°
,∠EOD=100°
∵OA平分∠EOC,
∴∠COA=∠AOE=40°
∴∠BOD=40°
.
故答案为:
40.
【易】2.如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD,∠COB与它的邻补角的差为40°
,则∠AOE= 度.
∵直线AB,CD相交于点O,∠COB与∠DOB互为邻补角,
∴∠COB+∠DOB=180°
,①
已知∠COB﹣∠DOB=40°
,②
由①、②解得∠DOB=70°
∵OE平分∠BOD,
∴∠BOE=∠DOB÷
2=70°
÷
2=35°
∴∠AOE=180°
﹣∠BOE=180°
﹣35°
=145°
145.
【中】3.如图,直线AB、CD相交于点O,OE平分∠AOD,∠FOC=90°
,∠1=40°
求:
(1)∠3的度数;
(2)求∠2的度数.
(1)∵∠AOB=180°
∴∠1+∠3+∠COF=180°
∵∠FOC=90°
∴∠3=180°
﹣∠1﹣∠FOC=50°
(2)∠BOC=∠1+∠FOC=130°
∴∠AOD=∠BOC=130°
∵OE平分∠AOD,
∴∠2=
∠AOD=65°
【中】4.如图:
已知直线AB、CD相交于点O,∠COE=90°
(1)若∠AOC=36°
,求∠BOE的度数;
(2)若∠BOD:
∠BOC=1:
5,求∠AOE的度数.
(1)∠BOE=180°
﹣∠AOC﹣∠COE
=180°
﹣36°
﹣90°
=54°
;
(2)∵∠BOD:
5,∠BOD+∠BOC=180°
∴∠BOD=30°
∵∠BOD=∠AOC,
∴∠AOC=30°
∴∠AOE=∠COE+∠AOC=90°
+30°
=120°
【难】5.如图,已知直线AB和CD相交于点O,在∠COB的内部作射线OE.
,∠COE=90°
(2)若∠COE:
∠EOB:
∠BOD=4:
3:
2,求∠AOE的度数.
(1)∵∠AOC=36°
∴∠BOE=180°
﹣∠COE﹣∠BOD=54°
(2)∵∠COE:
2,
∴设∠COE=4α,∠EOB=3α,∠BOD=2α
∵∠COE+∠EOB+∠BOD=180°
∴4α+3α+2α=180°
∴α=20°
∴∠COE=4α=80°
,∠EOB=3α=60°
,∠BOD=2α=40°
﹣∠EOB=180°
﹣60°
【难】6.如图,直线AB、CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠COE.
(1)若∠AOC=76°
,求∠BOF的度数;
(2)若∠BOF=36°
,求∠AOC的度数;
(3)若|∠AOC﹣∠BOF|=α°
,请直接写出∠AOC和∠BOF的度数.(用含a的代数式表示)
(1)∵∠BOD=∠AOC=76°
又∵OE平分∠BOD,
∴∠DOE=
∠BOD=
×
76°
=38°
∴∠COE=180°
﹣∠DOE=180°
﹣38°
=142°
∵OF平分∠COE,
∴∠EOF=
∠COE=
142°
=71°
∴∠BOF=∠EOF﹣∠BOE=71°
=33°
(2)∵OE平分∠BOD,OF平分∠COE,
∴∠BOE=∠EOD,∠COF=∠FOE,
∴设∠BOE=x,则∠DOE=x,
故∠COA=2x,∠EOF=∠COF=x+36°
则∠AOC+∠COF+∠BOF=2x+x+36°
+36°
x=36°
故∠AOC=72°
(3)设∠BOE=x,则∠DOE=x,
则∠COA=2x,∠BOF=90°
﹣
x,
∵|∠AOC﹣∠BOF|=α°
∴|2x﹣(90°
x)|=α°
x=(
)°
+
α°
或x=(
当x=(
时,
∠AOC=2x=(
∠BOF=90°
【难】7.如图,直线AB、CD相交于点O.已知∠BOD=75°
,OE把∠AOC分成两个角,且
∠AOE=
∠EOC
(1)求∠AOE的度数;
(2)将射线OE绕点O逆时针旋转α°
(0°
<α<360°
)到OF.
①如图2,当OF平分∠BOE时,求∠DOF的度数;
②若∠AOF=120°
时,直接写出α的度数.
(1)∵∠AOE=
∠EOC,即∠AOE:
∠EOC=2:
3.
∴设∠AOE=2x,则∠EOC=3x,
∴∠AOC=5x,
∵∠AOC=∠BOD=75°
∴5x=75°
x=15°
则2x=30°
∴∠AOE=30°
(2)①∵∠AOE=30°
﹣∠AOE=150°
∵OF平分∠BOE,
∴∠BOF=75°
∵∠BOD=75°
∴∠DOF=75°
+75°
=150°
②分两种情况:
当OF在∠BOC的内部时,如图2,
∵∠AOF=120°
,∠AOE=30°
∴α=∠EOF=120°
﹣30°
=90°
当OF在∠BOD的内部时,如图3,
∴α=360°
﹣∠AOF﹣∠AOE=360°
﹣120°
=210°
综上所述,α的度数为90°
或210°
垂线的定义及性质
两线相交形成的其中一个角为90度,即说两线互相垂直,且其中一条线为另一条线的垂线;
垂线的性质是垂线段最短
【易】1.若∠A与∠B是对顶角且互补,则它们两边所在的直线( )
A.互相垂直B.互相平行
C.既不垂直也不平行D.不能确定
【答案】A
∵∠A与∠B是对顶角,
∴∠A=∠B,
又∵∠A与∠B互补,
∴∠A+∠B=180°
可求∠A=90°
.
【易】2.下列说法正确的有( )
①在同一平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;
②在同一平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;
③在同一平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;
④在同一平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.
【答案】B
由垂线的性质可知①②正确.故选:
B.
【易】3.下列说法中不正确的是( )
A.垂线是直线
B.互为邻补角的两个角的平分线一定垂直
C.过一个已知点有且只有一条直线与已知直线垂直
D.直线外一点与直线上各点连线中垂线段最短
A、垂线是两条互相垂直的直线,正确;
B、互为邻补角的两个角的平分线将平角平分,夹角为90°
,故垂直,正确;
C、应强调在同一平面内,否则,可以作无数条,错误;
D、这是垂线的一条性质,正确.
【易】4.已知直线AB,CB,l在同一平面内,若AB⊥l,垂足为B,CB⊥l,垂足也为B,则符合题意的图形可以是( )
根据题意可得图形
,故选:
C.
【中】5.用3根火柴棒最多能拼出( )
A.4个直角B.8个直角C.12个直角D.16个直角
如图所示,
当3根火柴棒有公共交点且两两垂直时(是立体图形)图中说的是AB,CD,EF三条火柴棒,
可构成12个直角(∠AOC,∠BOC,∠COE,∠COF,∠AOD,∠BOD,∠DOF,∠DOE,∠AOF,∠BOF,∠AOE,∠BOE).故选:
C.
【中】6.如图,要从小河l引水到村庄B,请设计并作出一条最短路线,并说明理由.
【答案】
如图,
沿BA引水距离最短,
理由:
垂线段最短.
【中】7.火车站,码头分别位于A,B两点,直线a,b分别表示铁路与河流
(1)从火车站到码头怎样走最近?
(2)从码头到铁路怎样走最近?
请画图并说明理由.
(1)连接AB,沿线段AB走最短;
(2)沿线段BD走最近.
【难】8.在同一平面上,若∠BOA=70°
,BO⊥CO,垂足是O,求∠AOC的度数.
如右图所示,
∵∠BOA=70°
,BO⊥CO,垂足是O,
∴∠BOC1=90°
,∠BOC2=90°
∴∠AOC1=∠BOC1﹣∠BOA=20°
,∠AOC2=∠AOB+∠BOC2=160°
即∠AOC的度数是20°
或160°
【难】9.已知:
∠MON=132°
,射线OC是∠MON内一条射线,且
∠CON+
∠MOC=59度.问OM与OC是否垂直,并说明理由.
OM⊥OC.
理由如下:
设∠CON为x°
,则∠MOC为(132﹣x)°
依题意,得
x+
(132-x)=59,
解得x=42.
∴∠MOC=∠MON﹣∠CON=132°
﹣x=132°
﹣42°
即OM⊥OC.
点到直线的距离
点到直线的距离是一个长度,而不是一个图形,也就是垂线段的长度,而不是垂线段.它只能量出或求出,而不能说画出,画出的是垂线段这个图形.
【易】1.如图,AC⊥BC,CD⊥AB,则点C到AB所在直线的距离是线段( )的长.
A.CAB.CDC.CBD.以上都不是
∵CD⊥AB,
∴线段CD的长度表示点C到AB的距离.
B.
【易】2.下列图形中,线段AD的长表示点A到直线BC距离的是( )
【答案】D
线段AD的长表示点A到直线BC距离的是图D,
【易】3.如图,AB,CD交于点O,OE⊥CD于O,连接CE,
(1)若∠AOC=25°
,则∠BOE= .
(2)若OC=2cm.OE=1.5cm,CE=2.5cm,那么点E到直线CD的距离是 cm.
【答案】65°
,1.5
(1)∵OE⊥CD,
∴∠DOE=90°
∵∠AOC=25°
∴∠BOD=90°
∴∠BOE=90°
﹣25°
=65°
(2)∵OE⊥CD,OE=1.5cm,
∴点E到直线CD的距离是1.5cm,
故答案为65°
,1.5.
【中】4.A、B、C是直线l上的三点,P是直线l外一点.若PA=5cm、PB=6cm、PC=8cm.由此可知,点P到直线l的距离是( )
A.5cmB.不小于5cm
C.不大于5cmD.在6cm与8cm之间
∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短,
∴点P到直线a的距离≤PA,
即点P到直线a的距离不大于5cm.故选:
【易】5.如图,BC⊥AC,C为垂足,BC=8cm,AC=6cm,AB=10cm,则点B到AC的距离是 cm,点A到BC的距离是 cm,点A、点B的距离是 cm.
【答案】8,6,10
点B到AC的距离是线段BC的长度,为8cm,
点A到BC的距离是线段AC的长度,为6cm,
点A、点B的距离是线段AB的长度,为10cm,
8,6,10.
【中】6.如图所示:
(1)过点P画直线MN∥AB;
(2)连接PA、PB;
过B画AP、MN的垂线,垂足为C、D;
(3)过点P画AB的垂线,垂足为E;
(4)量出P到AB的距离≈ 2.2 (厘米),(精确到0.1厘米)
量出B到MN的距离≈ 2.2 (厘米);
(精确到0.1厘米)
(5)由(4)知P到AB的距离 = B到MN的距离.(填“<”或“=”或“>”)
(1)如图:
(2)如图:
(3)如图:
(4)点P到AB的距离即为PE的长度,用直尺量出约为2.2,
点B到MN的距离即为BD的长度,用直尺量出约为2.2,
(5)∵MN∥AB,
∴PE=BD.
=.
同位角、内错角、同旁内角基本识别
熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义
【易】1.下列说法正确的是( )
A.若两条直线被第三条直线所截,则同旁内角互补
B.相等的角是对顶角
C.有一条公共边并且和为180°
的两个角互为邻补角
D.若三条直线两两相交,则共有6对对顶角
A、应该是“若两条平行直线被第三条直线所截,则同旁内角互补”,故错误;
B、相等的角不一定都是对顶角,如两直线平行,其中的同位角相等但不是对顶角,故错误;
C、如果这两个角在公共边的同侧,则不是邻补角,故错误;
D、正确.
【易】2.在我们常见的英文字母中,也存在着同位角、内错角、同旁内角.在下面几个字母中,含有内错角最少的字母是( )
A.HB.MC.ND.A
字母H中含有2对内错角;
字母M中含有2对内错角;
字母N中含有1对内错角;
字母A中含有2对内错角;
【易】3.两条直线被第三条直线所截,就第三条直线上的两个交点而言形成了“三线八角”.为了便于记忆,同学们可仿照图用双手表示“三线八角”(两大拇指代表被截直线,食指代表截线).下列三幅图依次表示( )
A.同位角、同旁内角、内错角B.同位角、内错角、同旁内角
C.同位角、对顶角、同旁内角D.同位角、内错角、对顶角
根据同位角、内错角、同旁内角的概念,可知
第一个图是同位角,第二个图是内错角,第三个图是同旁内角.
【易】4.如图,∠1和∠2是同位角的图形是( )
A.∠1与∠2是同位角;
B.∠1与∠2不是同位角;
C.∠1与∠2不是同位角;
D.∠1与∠2不是同位角.故选:
A.
【易】5.如图,∠1和∠2是同位角的有( )
A.①②B.①③C.②③D.②④
【解析】【解答】解:
根据同位角定义可得②③是同位角,故选:
【中】6.已知直线l1,l2,l3,(如图),∠5的内错角是( )
A.∠1B.∠2C.∠3D.∠4
A、∠1与∠5是邻补角,故本选项错误;
B、∠2是∠5的内错角,故本选项正确;
C、∠3是∠5的同位角,故本选项错误;
D、∠4是∠1的内错角,不是∠5的内错角,故本选项错误;
【中】7.如图,下列说法错误的是( )
A.∠A与∠B是同旁内角B.∠1与∠3是同位角
C.∠2与∠A是同位角D.∠2与∠3是内错角
由图可知:
∠1与∠3是同旁内角,故B说法错误
【中】8.如图,如果∠1=40°
,∠2=100°
,∠3的同旁内角等于 .
【答案】100°
∵∠2=100°
∴∠4=100°
复杂图形中识别同位角、内错角、同旁内角
根据定义,在复杂图形中识别同位角、内错角、同旁内角
【中】1.如图所示,∠1与∠3是直线 AC 和直线 BC 被直线BM所截形成的 同位角 ;
∠2与∠4是直线AB与直线BC被直线 AC 所截形成的 同旁内角 .
如图所示,∠1与∠3是直线AC和直线BC被直线BM所截形成的同位角;
∠2与∠4是直线AB与直线BC被直线AC所截形成的同旁内角.
AC,BC,同位角;
AC,同旁内角.
【中】2.如图所示,同位角一共有 6 对,分别是 ∠1和∠5,∠2和∠6,∠3和∠7 ∠4和∠8,∠7和∠9,∠4和∠9 ;
内错角一共有 4 对,分别是 ∠1和∠7,∠4和∠6,∠5和∠9,∠2和∠9 ;
同旁内角一共有 4 对,分别是 ∠1和∠6,∠1和∠9 . ∠4和∠7,∠6和∠9 .
同位角一共有6对,分别是∠1和∠5,∠2和∠6,∠3和∠7,∠4和∠8,∠7和∠9,∠4和∠9;
内错角一共有4对,分别是∠1和∠7,∠4和∠6,∠5和∠9,∠2和∠9;
同旁内角一共有4对,分别是∠1和∠6,∠1和∠9,∠4和∠7,∠6和∠9.
6,∠1和∠5,∠2和∠6,∠3和∠7,∠4和∠8,∠7和∠9,∠4和∠9;
4,∠1和∠7,∠4和∠6,∠5和∠9,∠2和∠9;
4,∠1和∠6,∠1和∠9,∠4和∠7,∠6和∠9
【中】3.如图,已知直线a,b被直线c,d所截,直线a,c,d相交于点O,按要求完成下列各小题.
(1)在图中的∠1~∠9这9个角中,同位角共有多少对?
请你全部写出来;
(2)∠4和∠5是什么位置关系的角?
∠6和∠8之间的位置关系与∠4和∠5的相同吗?
(1)如图所示:
同位角共有5对:
分别是∠1和∠5,∠2和∠3,∠3和∠7,∠4和∠6,∠4和∠9;
(2)∠4和∠5是同旁内角,∠6和∠8也是同旁内角,故∠6和∠8之间的位置关系与∠4和∠5的相同.
【难】4.读图1~图4,回答下列问题.
(1)请你写出图1、图2、图3和图4中分别有几对同旁内角?
(2)观察图形,请写出图n(n是正整数)中有几对同旁内角?
(1)图1中:
有2对同旁内角;
图2中:
有8对同旁内角;
图3中:
有18对同旁内角;
图4中:
有32对同旁内角;
(2)图n(n是正整数)中有2n2对同旁内角.
【难】5.已知:
如图是一个跳棋棋盘,其游戏规则是:
一个棋子从某一个起始角开始,经过若干步跳动以后,到达终点角.跳动时,每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上,例如:
从起始位置∠1跳到终点位置∠3写出其中两种不同路径,路径1:
∠1﹣同旁内角→∠9﹣内错角→∠3.
路径2:
∠1一内错角→∠12一内错角→∠6﹣同位角→∠10﹣同旁内角→∠3.
试一试:
(1)从起始∠1跳到终点角∠8;
(2)从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳,能否跳到终点∠8?
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- 人教版七 年级 下册 51 相交 专项 练习