人教版七年级数学上册培优讲义《第10讲 线角压轴题突破》Word文件下载.docx
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AC<
6,求线段MN的长度;
(3)如图,若C、D是线段AB的三等分点,P是线段AC上任意一点,求
的值.
例2
(2014武昌区七上期末)已知,C为线段AB上一点,D为AC的中点,E为BC的中点,F为DE的中点.
(1)如图1,若AC=4,BC=6,求CF的长;
(2)若AB=16CF,求
的值;
(3)若AC>BC,AC-BC=a,取DC的中点
,CE的中点
,
的中点
,则
=
(用含有a的代数式表示).
总结归纳
对于线段动点类的题,有时可以利用线段与线段之间的关系,经过一些转换之后巧妙的得到所求(尤其是有多个中点的题),如例1:
对于线段关系较复杂的题,可以设元导线段,便于理清线段关系,化繁为简,如例2:
有的题情况较多,需分类讨论.在有一定的解题经验之后,同学们应能根据题目特点选取最简洁、最顺应题目条件的方法来解题.
有时会研究数轴上的线段,特别是当运动的线段(或点)有一定的速度时,我们可以类似之前“数轴动点问题”的解法,表示动点后表示出相关线段,代入计算即可,如下面的例
3.有时题目即使没有数轴,我们也可以自己建立数轴,转化为数轴动点问题来解决.
题型二涉及运动速度的线段动点
例3
(2014年汉阳区七上期末)如图,已知数轴上有三点A、B、C,AC=2AB,点A对应的数是40.
(1)若AB=60,求点C到原点的距离;
(2)如图,在
(1)的条件,动点P、Q两点同时从C、A出发向右运动,同时动点R从点A向左运动,已知点P的速度是点R的速度的3倍,点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒,经过5秒,点P、Q之间的距离与点Q、R之间的距离相等,求定点Q的速度;
(3)如图,在
(1)的条件,O表示原点,动点P、T分别从C、O两点同时出发向左运动,同时动点R从点A向右运动,点P、T、R的数对分别为5个单位长度/秒,1个单位长度/秒、2个单位长度/秒,在运动过程中,如果点M为线段PT的中点,点N为线段OR的中点,证明
的值不变.若其它条件不变,将R的数对改为3个单位长度/秒,10秒后,
的值为多少?
练
(2014年洪山区七上期末)如图1,点A、B分别在数轴原点O的左右两侧,且
点B对应的数是10.
(1)求A点对应的数;
(2)如图2,动点M、N、P分别从原点O、A、B同时出发,其中M、N均向右运动,速度分别为4个单位长度/秒、2个单位长度/秒,点P向左运动,速度为5个单位长度/秒.设它们运动时间为t秒,当点P是MN的中点时,求t的值.
模块二角的旋转问题
题型一不涉及速度的角的旋转
例4
(2014武昌区七上期末)已知∠AOB=100°
,∠COD=40°
,OE平分∠AOC,OF平分
∠BOD(本题中的角均为大于0°
且小于180°
的角).
(1)如图1,当OB、OC重合时,求∠EOF的度数;
(2)当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°
(0<n<90)时,∠AOE-∠BOF的值是否为定值?
若是定值,求出∠AOE-∠BOF的值;
若不是,请说明理由;
(3)当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°
(0<n<180)时,满足∠AOD+∠EOF=6∠COD,则n=.
例5
已知:
O为直线AB上的一点,射线OA表示正北方向,射线OC在北偏东m°
的方向,
射线OE在南偏东n°
的方向,射线OF平分∠AOE,且2m+2n=180°
.
(1)如图1,∠COE=,∠COF和∠BOE之间的数量关系为.
(2)若将∠COE绕点O旋转至图2的位置,射线OF仍然平分∠AOE时,试问
(1)中
∠COF和∠BOE之间的数量关系是否发生变化?
若不发生变化,请你加以说明,若发生变化,请你什么理由;
(3)若将∠COE绕点O旋转至图3的位置,射线OF仍然平分∠AOE时,
2∠COF+∠BOE=.
(2015江岸区七上期末)如图,线段OA绕点O逆时针旋转一周,满足∠EOF始终在∠AOB的内部且∠EOF=58°
,线段OM、ON分别为∠AOE和∠BOF的平分线,在旋转过程中,∠MON的最大值是.
角度与线段的题本质上是相同的,只是线段是对一维直线的研究,角度是对二维平面的研究,二者联系紧密.不难看出,线段和角度的题型很大程度上是类似的,分类讨论的情况也类似,因此,对于角的旋转问题,可以类比线段动点问题的解法.
若不涉及旋转速度,则题目主要考查角的分类讨论和设元导角,如本讲例4例5,以及上有一讲的“四象限讨论法”也可以看作射线在旋转
若涉及旋转速度,则可类比“数轴动点问题”的解法,如本讲例6例7,只不过现在的射线带来的是张角大小的变化,不再是线段长度的变化.同学们可以对比、体会线段动点与角的旋转之间的异同.
题型二涉及速度的角的旋转
例6
(2014年东西湖区七上期末)如图1,点O为直线AB上一点,过O点作射线OC,使∠AOC:
∠BOC=1:
3,将一直角△MON的直角顶点放在点O处,边OM在射线OB上,另一边ON在直线AB的下方,绕点O逆时针旋转△MON,其中旋转的角度为a(0<
a<
360°
).
(1)如图2逆时针旋转图1中的直角△MON,使得ON落在射线OB上,此时a为度;
(2)若直角△MON绕点O按每秒5°
的速度逆时针旋转,当直角△MON的直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时,求此时直角△MON绕点O的旋转时间t的值.
(3)若直角△MON绕点O按每秒5°
例7
(2014年汉阳区七上期末)如图1,O为直线AB上一点,过O作射线OC,∠AOC=30°
,将一直角三角板(∠M=30°
)的直角顶点放在点O处,一边ON在射线OA上,另一边OM与OC都在直线AB上方.
(1)将图1中的三角板绕点O以每秒3°
的速度沿顺时针方向旋转一周.
①如图2,经过t秒后,OM恰好平分∠BOC,求此时t的值;
②此时ON是否平分∠AOC?
请说明理由.
(2)在
(1)的条件下,若在三角板开始转动的同时,射线OC也绕O点以每秒6°
的速度沿顺时针方向旋转一周.如图3,那么经过多长时间OC平分∠MOB?
请画图并说明理由.
(3)在
(2)的条件下,从旋转开始经过多长时间OC平分∠MOB?
挑战压轴题
(2015江岸区七上期末)已知:
如图1,∠AOB和∠COD共顶点O,OB和OD重合,OM为∠AOD的平分线,ON为∠BOC的平分线,∠AOB=
∠COD=
(1)如图2,若
=90°
=30°
,则∠MON=;
(2)如图3,若∠COD绕O逆时针旋转,且∠BOD=
,求∠MON;
(3)如图4,
,∠COD绕O逆时针旋转,转速为3°
/秒,∠AOB绕O同时逆时针旋转,转速为1°
/秒,(转到OC与OA共线时停止运动),且OE平分∠BOD,以下两个结论:
①
的值不变;
②
的值不变,其中只有一个结论准确,请判断正确的结论,并说明理由.
第10讲【课后作业】
线角压轴题突破
1.(2014汉阳区七上期末)点A在数轴上对应的数为a,点B对应的数为b,且a、b满足
(1)求线段AB的长;
(2)点C在数轴上对应的数为x,且x是方程
的解,在数轴上是否存在点P使
,若存在,求出点P对应的数,若不存在,说明理由;
(3)如图,若P点是B点右侧一点,PA的中点为M,N为PB的三等分点且靠近于P点.
当P中B的右侧运动时,有两个结论:
的值不变,其中只有一个结论正确,请判断正确的结论,并求出其值.
2.(2013武昌区七上期末)如图,C为线段AB延长线上一点,D为线段BC上一点,CD=2BD,E为线段AC上一点,CE=2AE.
(1)若AB=18,BC=21,求DE的长;
(2)若AB=a,求DE的长(用含a的代数式表示);
(3)若图中所有线段的长度之和是线段AD长度的7倍,求
3.(2013汉阳区七上期末)已知线段AB=m,CD=n,线段CD在直线AB上运动(A在B左侧,C在D左侧
(1)若
,求线段AB、CD的长;
(2)M、N分别为线段AC、BD的中点,则MN的长与CD的位置是否有关?
请以BC<
CD为例说明;
(3)在
(1)的条件下,当CD运动到某一时刻时,D点与B点重合,P是线段AB延长线上任意一点,下列两个结论:
是定值;
②是定值,请选择正确的一个并加以证明.
4.(2014洪山区七上期末)如图1,已知∠AOC=2∠BOC,∠AOB与∠BOC互补.
(1)求∠AOB的度数;
(2)经过点O在∠AOC内部作射线OD、OE、OF分别为∠AOD和∠BOC的平分线,当OD绕点O在∠AOC内部转动时,请写出∠AOB、∠COD和∠EOF之间的等量关系,并说明理由;
(3)如图,P在BO的延长线上,若∠POD=50°
,将∠AOC绕点O顺时针旋转,使AC与直线OB相交,在旋转的过程中,那么∠AOD-∠BOC的值是否发生变化?
5.如图1,O为直线AB上一点,过O作射线OC,∠AOC=30°
,将一直角三角板(∠M=45°
)的直角顶点放在点O处,一边ON在射线OA上,另一边OM与OC都在直线AB的上方.
的速度沿逆时针方向匀速旋转一周,经过多少秒后OC所在直线恰好平分∠MON;
(2)在
(1)的条件下,若在三角板开始转动的同时,射线OC也绕O点以每秒2°
的速度沿顺时针方向匀速旋转一周,那么经过多长时间射线OC平分∠MON?
请画图并说明理由;
6.如图,点O为直线AB上一点,射线OC⊥AB于点O,将一直角三角板的60°
角的顶点放在点O处,斜边OE在射线OB上,直角顶点D在直线AB的下方.
(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2,使一边OE在∠BOC的内部,且恰好平分∠BOC,此时直线OD是否平分∠AOC?
请说明理由;
(2)将图1中的三角板绕点O按每秒5°
的速度沿逆时针方向旋转一周,在旋转的过程中,第t秒时,直线OD恰好平分∠AOC,则t的值为多少?
(3)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图3,使OD在∠AOC的内部,请探究:
∠AOE与∠DOC之间的数量关系,并说明理由.
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