高中数学必修4基础知识汇整文档格式.doc
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正弦线:
MP;
余弦线:
OM;
正切线:
AT.
4.诱导公式:
角
函数
正弦
余弦
正切
/
六组诱导公式统一为“”,记忆口诀:
奇变偶不变,符号看象限.
5.同角三角函数基本关系:
(平方关系);
(商数关系).
6.两角和与差的正弦、余弦、正切:
①;
②;
③.
7.二倍角公式:
变形:
.(降次公式)
8.化一:
=.
9.物理意义:
物理简谐运动,其中.振幅为A,表示物体离开平衡位置的最大距离;
周期为,表示物体往返运动一次所需的时间;
频率为,表示物体在单位时间内往返运动的次数;
为相位;
为初相.
10.三角函数图象与性质:
函数
图象
作图:
五点法
三点二线
定义域
(-∞,+∞)
值域
[-1,1]
极值
当x=2kπ+,ymax=1
极大
当x=2kπ+ymin=-1
当x=2kπ,ymax=1;
当x=2kπ+π,
ymin=-1
无
奇偶
奇函数
偶函数
T
2π
π
单调性
递增
递减
(注:
表中k均为整数)
11.正弦型函数的性质及研究思路:
①最小正周期,值域为.
②五点法图:
把“”看成一个整体,取时的五个自变量值,相应的函数值为,描出五个关键点,得到一个周期内的图象.
③三角函数图象变换路线:
.或:
.
④单调性:
的增区间,把“”代入到增区间,即求解.
⑤整体思想:
把“”看成一个整体,代入与的性质中进行求解.这种整体思想的运用,主要体现在求单调区间时,或取最大值与最小值时的自变量取值.
第二部分平面向量
1.向量与数量:
在数学中,我们把既有大小,又有方向的量叫做向量,反之,把只有大小,没有方向的量称为数量.向量常用有向线段来表示,记为或(起点A,终点B).向量的大小叫做向量的长度(或模),记为或.规定长度为0的向量叫做零向量,记为;
长度等于1个单位的向量称为单位向量.
2.平行向量:
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,记作,并规定零向量平行于任意一个向量.平行向量都可以移到同一直线上,因而也叫共线向量.方向相同且长度相等的向量称为相等向量,记作.与向量长度相等而方向相反的向量,称为的相反向量,记为,规定零向量的相反向量仍是零向量.
3.向量加减法:
向量加减法运算遵循三角形法则与平行四边形法则.
如图所示,已知非零向量,在平面内任取一点O,作,则向量.
若作,则向量.
向量的加减法满足:
交换律;
结合律.
向量不等式:
对于任意两个向量,有.
向量加法多边形法则:
向量首尾相接,结果首尾连.
4.向量数乘运算:
实数与向量的乘积仍然是一个向量,这种运算称为向量的数乘,记作,并规定:
②当时,的方向与的方向相同;
当时,的方向与的方向相反;
当时,.数乘运算满足:
分配律、;
对于任意向量,以及任意实数,恒有.
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.
5.平面向量基本定理:
如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任意向量,有且只有一对实数,使.把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
向量夹角:
对两个非零向量,在平面内任取一点O,作,则叫做向量与夹角.当与夹角是90°
时,与垂直,记作.
正交分解:
依据平面向量的基本定理,对平面上的任意向量,均可分解为不共线的两个向量与,使.若把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.
坐标表示:
在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底,则对于平面内的一个向量,有且只有一对实数x、y,使得.即平面内的任意向量都可由x、y唯一确定,把有序数对(x,y)叫做向量的坐标,记作,式子叫做向量的坐标表示.
6.平面向量的数量积运算:
,其中是与的夹角,叫做向量在方向上的投影.的几何意义:
数量等于的长度与在的方向上的投影的乘积.数量积运算满足:
数乘结合律;
分配律.
把记作,有性质,从而.
力作功:
一个物体在力的作用下产生位移,那么力所作的功,其中是与的夹角,从而.
7.平面向量的坐标运算:
设,,则
加减法:
,;
数乘:
向量积:
模:
距离:
夹角:
8.向量共线:
设,,其中,若共线,当且仅当存在实数,使,即.由此可证明平行问题、三点共线等.
9.向量垂直:
对于平面内任意两个非零向量,.设,,则.由此可证明一些垂直问题.
10.线段定比分点的坐标:
已知点,,点是线段上的一个分点,且,则有,即,由此得到.若,得到线段中点坐标公式.
11.向量知识与平面几何的联系:
平面几何问题
向量方法
求线段AB的长度
转化为求向量的长度:
求两条线段的夹角
由数量积求夹角或.
证明两条直线垂直
转化为两个非零向量的数量积为0,即.
证明两条直线平行
转化为证明两个非零向量共线,即
12.向量法解决平面几何问题三步曲:
(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;
(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等;
(3)把运算结果“翻译”成几何关系,得到几何问题的结论.
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