数学建模_机械加工问题41组-A题Word下载.doc
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0.3
0.2
垂直钻孔
0.1
0.6
水平钻孔
0.8
镗孔
0.05
0.03
0.07
0.08
刨
0.01
本月(一月)和随后的5个月中,下列机床停工维修:
一月磨床一台
二月卧式钻床2台
三月镗床一台
四月立式钻床一台
五月磨床一台,立式钻床一台上台下
六月刨床一台,卧式钻床一台
各种产品各月份的市场容量如表2:
表2市场容量表
一月
500
1000
300
800
200
100
二月
600
400
150
三月
四月
五月
六月
1100
60
每种产品存货最多可到100件。
存费每件每月为0.5。
现在无存货。
要求到6月底每种产品有存货50件。
工厂每周工作6天,每天2班,每班8小时。
不需要考虑排队等待加工的问题。
1、为使收益最大,工厂应如何安排各月份各种产品的产量?
考虑价格的某种变化及引入新机床对计划和收益的影响。
注意,可假设每月仅有24个工作日。
2、在工厂计划问题中,各台机床的停工维修不是如问题1那样规定3月份,而是选择最合适的月份维修。
除了磨床外,每台机床在这个月中的一个月必须停工维修;
6个月中4台磨床只有2台需要维修。
扩展工厂计划模型,以使可作上述灵活安排维修时间的决策。
停工时间的这种灵活性价值如何?
2.问题分析
本题是对工厂计划问题建立数学模型并进行最优化求解。
一般来说本题属于相对繁琐的一类问题,其数据量庞大,计算复杂。
需要考虑的因素较多。
因此求解该题时,必须对题中所给的每个条件进行仔细分析,确定不等式的基本模式,明晰各个条件之间的关系。
才能便得出产品总利润与生产、销售和库存工件量的关系式。
然后用计算机对数据进行模拟计算并求得最优解,使6个月的利润之和达到最大,同时也可以得出每一个月7个产品的生产、库存、及销售计划。
由题意可知,每个月生产7种产品所需设备的总工时要小于或等于该月的总工时数,而且题目给的条件中市场容量与库存数量均有最大值和各月的库存是可以累加的,所以生产产品时要结合市场容量和库存来求解。
从题目的分析中,得出基本关系式,产品总利润=销售数量×
产品利润-库存数×
库存保管费。
对于问题1,可以用前面的提到的方法利用Lingo软件求得最优解。
然而后面提到的改变产品价格来改变计划需要通过模拟函数来求得产品价格与利润的关系式。
而购买新机床本组通过利用lingo软件的灵敏度的分析可以求得最佳的购买方案。
对于问题2,要求在不改变检修机床的数量而是改变顺序上构造一个最优设备计划检修模型,使得让每一个月所需设备尽可能得运转而使产品尽可能的和市场容量一样从而使产品的总利润最大,所以本组需要通过定量的比较精确的计算求得。
3.基本假设与符号说明
3.1基本假设
(1)进行机床加工时,忽略人员和设备的准备时间与转移时间。
(2)在生产时各个工序是无缝衔接的,没有生产等待时间的。
(3)产品的库存费用都是从月初收取,该月内的产品卖出不影响库存费用。
(4)除需维修的机床外,其他机床都是符合题目所给的条件。
(5)库存的产品不会因为保存时间的长短和天气的变化而影响质量而导致价格的下降。
3.2符号说明
表示6个月的利润总和;
表示第I月份的利润(I=1,2,3,4,5,6);
表示x为销售量,I为月份(I=1,2,3,4,5,6),j为产品的种类(j=1,2,3,4,5,6,7);
表示第I月底产品j的库存量;
表示每个产品的利润,即该产品的售价与原料成本之差;
表示第I月份生产j产品的产量;
4.模型的建立与求解
4.1问题1的模型和求解
4.1.1问题1中
(1)问的模型和求解
由题目可知,产品总利润是6个月的利润总和,即:
MAX
(1)
如果对每一个月都进行文字说明将会导致篇幅增加,显得模型累赘,再加上每一个月的解答方式一样,所以本组只对一月份为例子进行解。
由已知一月份没有库存,则可得一月利润为销售所得与一月未售出的产品保管费之差,即:
(2)
由于库存费用只与产品数量有关,与产品种类无关,所以一月份的库存产品为生产的产品数量与销售产品数量之差,即:
(3)
各机床工作时间的约束条件:
以磨床为例,有4台磨床,又已知条件知1月需维修1台磨床,则可使用磨床还有3台,由每月工作24天,双班制,每班8小时,故可得磨床的最大使用时间,因此,使用磨床的时间不能大于磨床的最大使用时间,同理可得其他机床的最大使用时间,各机床的最大使用时间如下表:
表3机床工作时间表
机床月份
一月
二月
三月
四月
五月
磨床
1152h
1536h
立式钻床
768h
384h
卧式钻床
镗床
0h
刨床
故可列的一月份的各个机床的用工时间限制,如:
(1)磨床:
(4)
(2)垂直钻床:
(5)
(3)水平钻床:
(6)
(4)镗床:
(7)
(5)刨床:
(8)
市场容量对销售量和库存量的约束条件:
由表2可知,知道7个产品的市场容量在每个月是确定的,那么产品的销售量应该小于或等于市场容量。
由于是对第一个月求解,所以本组列出了第一个月7个产品的销售限制,如:
(9)
同理也可得2~6五个月的约束情况及不等式,但在库存量上约束有所差别。
到了二月,其库存量就不能单独的只用生产量减去销售量了,还要加上第一个月的库存量。
但了三月则要加上第二个月的库存量,第四第五也如此,依此类推。
到了六月,其库存量则有了固定的数额限制,要求为50件。
由题目已知,每种产品存货最多可到100件,即每种产品的库存量不大于100,且要大于等于0,由此可得约束条件,如:
(j=1,2,3,4,5,6,7)(10)
问题1的求解
利用上面的模型用lingo软件得到结果如附录1:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
93656.43
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
31
即目标函数总利润最优化配置时最大为93656.43元
由Lingo得到其具体1~6月生产销售计划如下:
表4生产销售表
1月份
2月份
3月份
4月份
5月份
6月份
产品1
生产
700
550
销售
产品2
888
产品3
50
产品4
350
产品5
产品6
产品7
200
4.1.2问题1中
(2)的模型和求解
最优价格,就是让工厂获取最大利润的产品价格。
本题中所算的最优价格模型,是指在产销平衡状态下的模型,这里的产销平衡是指工厂产品的产量等于市场容量。
为了让模型更加合理性,假设工厂的产品的销售量对产品的价格挂钩,产品的成本与产品的产量也是相关联的。
在此处声明:
表示计划的月份产品的提高后的销售价格
表示产品的原销售价格
表示计划的月份产品的销售量与销售价格的函数关系(减函数)
表示月份产品销售所得利润,即不考虑库存保管费
表示月份产品的纯利润,即减去保管费后的利润额
利润是销售收入与生产支出之差。
假设每件产品售价为,销售量为,销售所得利润为,则可以得到
(11)
另外,知道在市场竞争的情况下销售量依赖于价格,因此销售量应该是价格的函数,记作
(12)
此时,称为需求函数,是关于的减函数,使利润达到最大的价格就是最优价格。
则此时推得:
(13)
设最优价格为,那么可以由求导得到当时的值即为。
此时需要引入一个固定的需求函数,设需求函数是简单的线性函数:
(14)
其中,可以理解为这种产品最低价格时供应社会(利润为零)时的需求量,称为“绝对需求量”。
表示价格上涨一个单位时销售量下降的幅度(反之也表示价格下降一个单位时销售量上升的幅度),它反映出每种产品的市场需求对价格的敏感程度,在此处为求简洁,默认每种产品所对应的函数相同。
(15)
此时用微分的方法可以求出使最大的最优价格。
在实际的工作之中,和可以由价格和销售量的统计数据用最小二乘法拟合来确定。
在本题中,无法确定具体的价格和销售量的统计数据,只有计划上限的数据,不能用以拟合确定需求函数。
=×
(16)
,(,)(17)
关键是找到合理的函数(通常是通过市场调查所得),然后按上公式代入,得到,如果,则所代入式中的可以使利润增加,即产品的售价可以提高以达到增加利润的目的。
4.1.3问题1中(3)的模型与求解
对问题一的lingo程序代码编译的到下面的数据(松弛变量Row)。
Row表示在model程序中所对应的不等式行数,SlackorSurplus表示资源与最大利用的差距,DualPrice表示对偶价格。
如下
RowSlackorSurplusDualPrice
20.0000008.571429
3330.28570.000000
4812.00000.000000
5231.34290.000000
6341.00000.000000
28556.00000.000000
29368.00000.000000
3084.000000.000000
31274.00000.000000
32357.00000.000000
541336.0000.000000
55468.00000.000000
561032.0000.000000
570.000000200.0000
58374.00000.000000
801166.0000.000000
81154.00000.000000
82792.00000.000000
83310.00000.000000
84370.00000.000000
106662.00000.000000
107244.00000.000000
108612.00000.000000
109263.00000.000000
110318.00000.000000
132766.00000.000000
133168.00000.000000
134658.00000.000000
135315.50000.000000
1360.000000800.0000
下表(表5)所示为1~6月份各种设备的剩余时间,即在当月中未使用的时间(在下面取近似值):
表5机床工作剩余时间表
一月份
二月份
三月份
四月份
五月份
六月份
556
1336
1166
622
766
330
368
468
154
244
168
水平钻床
812
84
1032
792
612
658
231
274
310
263
315
341
357
374
370
318
通过表的数据分析,可以看出在1~6月份各种设备的剩余时间还可以利用的时间,以立式钻床在第一月份为例,它的最大工作时间为2(台)x16(小时)x24(天)=768(小时),而实际利用的只有768(小时)-330(小时)=438(小时),330小时实际上机器并没有充分利用。
继续观察不难发现磨床在一月份、镗床在三月份、刨床在六月份剩余的可利用时间为0(已经充分利用或者刚刚好),其它机器并没有被充分利用,所以本组考虑增加这三种设备的量来提高效益。
下面从两个方面考虑增加设备的问题,选择标准为参考标准的不同,参考标准分为以下两种:
1.从产品考虑2.从时间考虑
1.从产品考虑:
镗床——刨床
由表1、5可知,在3月份中,由于唯一的一台镗床需要检修,导致产品1,产品2,产品4,产品5,产品7不能生产,只有产品3、产品6能生产由于它不需要镗床,也可知镗床在五种设备中是最为普遍需要的设备之一;
在六月份,由于唯一的一台刨床需要检修,导致产品3,产品5,产品7不能生产,产品1、产品2、产品4、产品6不需刨床能生产。
从这些分析看来,按由于设备而影响产品种类的生产,最缺的是镗床,其次是刨床。
2.从时间考虑:
镗床—刨床。
因为从1月开始生产到6月底,3月份因唯一的一台镗床检修而使五种产品不能生产,应先买立钻来提高二月的设备能力;
同理,在六月的时候在买入刨床代替检修的唯一一台刨床继续生产。
综上,从时间和产品两方面分析,都是最缺镗床,接着是刨床,增加可以按照这个采购顺序。
接下来考虑增加设备对收益的影响,基于增加产品有一个优先级问题,本组先增加镗床的数量的同时增加刨床数量,利用lingo进行分析本组的出以下所示的数据:
表6机床增加表
总的收益
增量0
增量1
增量2
93656.43
103506.4
105636.4
115486.4
图1机床增加图
在没增加设备的情况下,总的收益是93656.43,增加一台镗床后发现收益变为103506.4,收益增加了9849.97;
增加一台刨床后发现收益变为105636.4,收益增加了11979.97;
而增加一台刨床和镗床后收益变为115486.4,收益增加了21829.97,再往下继续增加镗床和刨床的数量,发现效益不会增加,说明设备的剩余时间已经充分被利用,最优的收益也就为115486.4,在继续增加设备的话只会增加设备成本,减少收益。
分析得出在一定范围内增加设备可以增加总的收益。
4.2问题2的模型与求解
对于问题2需尽可能找出能提高利润的检修分配方案,所需方案能使六个月的产品总利润尽可能增加,而且所检修的机床设备都得到检修。
工厂所需要检修的设备有:
两台磨床、四台立钻、一台水平钻、一台镗床、一台刨床。
通过对题目发现三月份中产品3和产品4销售限量均为0,其它五种产品的销售限也不高再加上对题目一的解答后的答案分析,得出工厂在三月份少生产产品在销售上不会带来太大的影响,而且利润也不会很大变化。
因此,本组决定在三月份尽可能的多检修机床设备。
而在五月份和六月份,相比其他月份来说,产品5销售上限几乎达到最大,而立式和卧式钻床是否检修对产品5的生产没有影响,但是立式钻床若两台同时检修会导致利润的明显降低。
因此本组确定了如下的维修计划:
表7机床检修表
月份
计划检修设备及台数
1月
一台卧式钻床和一台立式钻床
2月
一台磨床
3月
一台镗床和一台卧式钻床和一台刨床和一台磨床
4月
5月
一台立式钻床
6月
一台卧式钻床
由表四的检修变化本组又得出新的机床使用最大时间表:
表8机床工作时间表
月份机床
1536h
1152h
384h
768h
0h
故可列的一月份的新的各个机床的用工时间限制,如:
(18)
(19)
(3)垂直钻床:
(20)
(21)
(22)
由于其他的限制条件相同,就不一一罗列出来,同样使用lingo软件得到结果如附录2:
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