是江苏省高考数学最近一次巨大试题结.doc
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2011年江苏高考数学命题的几点思考
兴化教研室张安林
对2010年是江苏省高考数学试卷的评价褒贬不一,普遍反映较难,甚至认为有部分知识点的考察过偏(有超纲之嫌),但数学人的评价可能不完全相同,因为数学人不会因为“难度分布不当,题型结构不好,“算”与“想”两者比例不尽合理”等等而影响自己的主流判断,更不会轻易否定一份好的试卷,因为起码有两点值得肯定,一是对基础知识、基本技能的考查都基于通性通法,二是作为选拔性考试对思维层次有区分。
不仅如此,数学人还会继续拷问“难的道理”是什么,课标、考试说明与教学要求的内容边界怎么界定。
其实江苏新课程独立命题三年的难易变化是有规律的,出现2010年的情况实属必然。
事实上2010年是新课程卷的第三年,2008年作为改革的头一年,“求新”是当年的主题,“求稳”是2009年的核心宗旨,2010年再次唱响了“创新”的主旋律。
力求创新,回归本质实属必然。
一年容易一年难,是不断调整的过程,更是不断优化的机制。
第一部分三年高考试题的回顾
一、函数
2008年
8.设直线是曲线的一条切线,则实数的值是▲
11.设为正实数,满足,则的最小值是▲
13.满足条件的三角形的面积的最大值▲
14.设函数,若对于任意的都有成立,则实数的值为▲
17.如图,某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的两个顶点A,B及CD的中点P处.AB=20km,BC=10km.为了处理这三家工厂的污水,现要在该矩形区域上(含边界)且与A,B等距的一点O处,建造一个污水处理厂,并铺设三B
C
D
A
O
P
条排污管道AO,BO,PO.记铺设管道的总长度为ykm.
(1)按下列要求建立函数关系式:
(i)设(rad),将表示成的函数;
(ii)设(km),将表示成的函数;
(2)请你选用
(1)中的一个函数关系确定污水处理厂的位置,使铺设的污水管道的总长度最短。
20.已知函数,(为常数).
函数定义为:
对每个给定的实数,
(1)求对所有实数成立的充分必要条件(用表示);
(2)设是两个实数,满足,且.若,
求证:
函数在区间上的单调增区间的长度之和为(闭区间的长度定义为)
2009年
3.函数的单调减区间为★.
9.在平面直角坐标系中,点P在曲线上,且在第二象限内,已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,
则点P的坐标为★.
10.已知,函数,若实数满足,则的大小关系为★.
19.(本小题满分16分)学科网
按照某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为元,如果他卖出该产品的单价为元,则他的满意度为;如果他买进该产品的单价为元,则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和,则他对这两种交易的综合满意度为.
现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元,乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元,设产品A、B的单价分别为元和元,甲买进A与卖出B的综合满意度为,乙卖出A与买进B的综合满意度为
(1)求和关于、的表达式;当时,求证:
=;
(2)设,当、分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?
最大的综合满意度为多少?
(3)记
(2)中最大的综合满意度为,试问能否适当选取、的值,使得和同时成立,但等号不同时成立?
试说明理由。
20.(本小题满分16分)
设为实数,函数.
(1)若,求的取值范围;
(2)求的最小值;
(3)设函数,直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.
2010年
5.设函数f(x)=x(ex+ae-x),x∈R,是偶函数,则实数a=_______▲_________
8.函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数,a1=16,则a1+a3+a5=____▲_____
11.已知函数,则满足不等式的x的范围是____▲____
12.设实数x,y满足3≤≤8,4≤≤9,则的最大值是_____▲____
14.将边长为1的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记S=,则S的最小值是_______▲_______
20.(16分)设使定义在区间上的函数,其导函数为.如果存在实数和函数,其中对任意的都有>0,使得,则称函数具有性质.
(1)设函数,其中为实数
①求证:
函数具有性质
②求函数的单调区间
(2)已知函数具有性质,
给定,,且,若||<||,求的取值范围
二、三角
2008
1.若函数最小正周期为,则 ▲ .
13.满足条件的三角形的面积的最大值▲
15.如图,在平面直角坐标系中,以轴为始边作两个锐角,它们的终边分别交单位圆于两点.
已知两点的横坐标分别是,.
1
1
O
x
y
(1)求的值;
(2)求的值.
2009
4.函数为常数,在闭区间上的图象
如图所示,则★.
15.(本小题满分14分)
设向量
(1)若与垂直,求的值;
(2)求的最大值;学
(3)若,求证:
∥.
2010
10.定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P,过点P作PP1⊥x轴于点P1,直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_______▲_____
13.在锐角三角形ABC,A、B、C的对边分别为a、b、c,,则__▲
17、(14分)某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m),如示意图,垂直放置的标杆BC高度h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β
(1)该小组已经测得一组α、β的值,tanα=1.24,tanβ=1.20,请据此算出H的值
(2)该小组分析若干测得的数据后,发现适当调整标杆到电视塔的距离d(单位m),使α与β之差较大,可以提高测量精确度,若电视塔实际高度为125m,问d为多少时,α-β最大
三、数列
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
………………
2008
10.将全体正整数排成一个三角形数阵:
按照以上排列的规律,第行()从左向右的第3个数为▲
19.
(1)设是各项均不为零的()项等差数列,且公差,若将此数列删去某一项后得到的数列(按原来的顺序)是等比数列.
(i)当时,求的数值;
(ii)求的所有可能值.
(2)求证:
对于给定的正整数(),存在一个各项及公差均不为零的等差数列
,其中任意三项(按原来的顺序)都不能组成等比数列.
2009
14.设是公比为的等比数列,,令若数列有连续四项在集合中,则★.
17.(本小题满分14分)
设是公差不为零的等差数列,为其前项和,满足
(1)求数列的通项公式及前项和;
(2)试求所有的正整数,使得为数列中的项.
2010
8.函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数,a1=16,则a1+a3+a5=____▲_____
19.(16分)设各项均为正数的数列的前n项和为,已知,数列是公差为的等差数列.
①求数列的通项公式(用表示)
②设为实数,对满足的任意正整数,不等式都成立。
求证:
的最大值为
四、解析几何
2008
8.设直线是曲线的一条切线,则实数的值是▲
9.如图,在平面直角坐标系中,设三角形的顶点分别为,点在线段AO上的一点(异于端点),这里A
B
C
x
y
P
O
F
E
均为非零实数,设直线分别与边交于点,某同学已正确求得直线的方程为,请你完成直线的方程:
(▲)。
12.在平面直角坐标系中,椭圆的焦距为2c,以O为圆心,为半径作圆,
若过作圆的两条切线相互垂直,则椭圆的离心率为▲
18.在平面直角坐标系中,记二次函数()与两坐标轴有
三个交点.经过三个交点的圆记为.
(1)求实数b的取值范围;
(2)求圆的方程;
(3)问圆是否经过定点(其坐标与的无关)?
请证明你的结论.
2009
x
y
A1
B2
A2
O
T
M
13.如图,在平面直角坐标系中,为椭圆的四个顶点,为其右焦点,直线与直线相交于点T,线段与椭圆的交点恰为线段的中点,则该椭圆的离心率为★.学科网
18.(本小题满分16分)
在平面直角坐标系中,已知圆和
圆
x
y
O
1
1
.
.
(1)若直线过点,且被圆截得的弦长为,求直线的方程;
(2)设P为平面上的点,满足:
存在过点P的无穷多对互相垂的直线,它们分别与圆和圆相交,且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.
2010
6.在平面直角坐标系xOy中,双曲线上一点M,点M的横坐标是3,则M到双曲线右焦点的距离是___▲_______
9.在平面直角坐标系xOy中,已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是______▲_____
A
B
O
F
18.(16分)在平面直角坐标系中,如图,已知椭圆的左右顶点为A,B,右顶点为F,设过点T()的直线TA,TB与椭圆分别交于点M,,其中m>0,
①设动点P满足,求点P的轨迹
②设,求点T的坐标
③设,求证:
直线MN必过x轴上的一定点
(其坐标与m无关)
五、立体几何
A
B
C
D
E
F
2008
16.如图,在四面体中,,点分别是的中点.求证:
(1)直线面;
(2)平面面.
2009
12.设和为不重合的两个平面,给出下列命题:
学科网
(1)若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线,则平行于;学科网
(2)若外一条直线与内的一条直线平行,则和平行;学科网
(3)设和相交于直线,若内有一条直线垂直于,则和垂直;学科网
(4)直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直.学科网
上面命题中,真命题的序号★(写出所有真命题的序号).
A
B
C
A1
B1
C1
E
F
D
16.(本小题满分14分)
如图,在直三棱柱中,分别是的中点,点在上,
求证:
(1)∥
(2)
2010
16、(14分)如图,四棱锥P-ABCD中,
PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,
AB∥DC,∠BCD=900
(1)求证:
PC⊥BC
(2)求点A到平面PBC的距离。
第二部分三年考点归类
一、近三年试卷知识点和考点的对照分析:
2008年
2009年
2010年
知识
考点
考点
考点
函数
(不含三角)
小题:
①三次函数恒成立问题
②对数函数切线问题
③多元函数最值
④三角形面积的应用题
小题:
①三次函数单调区间
②三次函数切线问题
③指数函数比较大小
小题:
①复合函数的奇偶性(5)
②分段函数单调性(11)
③多元函数最值(12)
④应用题分式函数最值(14)
大题:
①几何背景的应用
②复杂函数的综合题
大题:
①经济背景的应用
②与不等式综合题
大题:
①函数最值(17、19)
②函数新性质综合题(20)
三角(含解三角)
小题:
①周期
②三角形面积
小题:
①图像求周期
小题:
①图像、公式变换(10)
②正弦、余弦定理应用(13)
大题:
①单位圆背景求和角值
大题:
①与平面向量的运算题
大题:
①测量问题(17)
数列
小题:
①逐差数阵
小题:
①等比数列的公比
小题:
①等比数列求和(8)
大题:
①子数列的探索性问题
大题:
①等差数列基本量运算
大题:
①利用和与项的关系求通项(19)
小知识点
小题:
①复数
②向量的模
③几何概型
④统计
⑤流程图
⑥集合
⑦排列组合
小题:
①复数
②向量的数量积
③几何概型
④统计
⑤流程图
⑥集合
小题:
①集合
(1)
②复数
(2)
③概率(3)
④统计(4)
⑤流程图(7)
解析几何
小题:
①直线斜率
②求直线方程
③椭圆离心率
小题:
①椭圆离心率
小题:
①双曲线焦半径(6)
②直线与圆位置关系(9)
大题:
①求三点的圆,圆过定点
大题:
①直线与圆位置关系
大题:
①求轨迹、两直线交点及椭圆与直线的交点(18)
立体几何
小题:
①空间体的体积比
②线面性质(构图)
大题:
①三棱锥中线面、面面垂直证明
大题:
①三棱柱中的线面、面面垂直的证明
大题:
①线线垂直、点面的距离
高考试题的研究也应遵循科学研究的一般方法和规律,从收集、整理、归类到发现的过程!
下面就三年试卷的知识点和考点的分布进行归纳,从“稳定”和“变化”两个方面分析,以期从较为理性的角度得到可挖掘的命题空间。
从三年的比较中不难看出:
1.函数仍是全卷比重最大的部分,2010三小题分别考查复合函数的奇偶性、分段函数单调性和分式函数最值,大题也有三题(20题及17、19题的两小问),分别考查多元函数最值及与不等式的综合题,与08、09两年有所不同,2010年更侧重于函数及其图像性质的考查,回避了三次函数与对数函数问题,使最为本质的内容得以回归;但小题在考查函数性质(单调、奇偶、最值)时,材料多样,背景复杂,而且考察单调性的两题都要结合图像方能求解,2008、2010两年的压轴题都有一些新元素(区间长度和,性质P(b)等),也许高校教师更擅长用高等数学的语言描绘一些直观的概念,以此考察学生的阅读理解力。
三次函数连续两年考察了切线、单调区间、恒成立(值域),2010年一律回避。
2011年如有新题可以关注:
一是结合图像判断解的情况(如上一届联考第20题、一模第8题);二是利用导数转化为二次函数研究;三是结合不等式综合考察等。
对数函数只在08年考察了一题求导数,指数函数09、10年分别从比较大小、切线方程进行考察的,能否从图像角度、运算角度考查呢?
对数能否成为新的考察目标?
事实上含的导数是个有理式,据此可以构造出好多好题,如含参数的极值、恒成立问题、存在性问题以及单调性的判断、不等式的证明等。
函数解答题的常见模式一般是给出含参数的函数解析式,设置阶梯性问题研究此函数性质(常借助导数),往往需要综合运用相关数学知识进行推理论证,也可能是借助此函数的相关特征求参数的取值范围、证明(解)不等式或给出满足要求的构造。
应用题08年以排污管道最优化、09年以经济优化为背景侧重考察的是解模能力,2010年以几何测量为背景的三角应用。
当然,应用问题考察比较灵活多样,如概率、统计、几何、三角、数列均可作为材料考查,需要专门研究。
最可能的命题方向是以函数为背景,包括分段函数、三角函数等,常常需要结合几何知识或方程、不等式知识解决问题。
近年在其他省市高考卷和模拟卷中出现了融合函数(指数函数、对数函数、三角函数等)与圆或椭圆、抛物线融合的应用性问题,这一新变化值得关注。
去年很多省市将应用性问题与概率、统计结合起来考查,这方面我省是一块空白,今年我省是否在会应用性问题上作一个创新,考查概率与统计问题。
数列承担着考查逻辑探究、演绎推理的重任,加之数列型应用题建模相对困难,因此出数列应用题的可能性不大。
2.2010年三角部分以两小题一大题考查,回避了往年的周期、定义(单位圆),而是以考察运用为主,要求灵活运用图像、公式、定理进行数式转化。
由于应用题锁定为用解三角形知识解决几何测量问题(教材原型),当然就取缔了三角的单独或与向量综合的大题。
这一创新之举,也造成了试题的难度。
三角函数的周期2010年没有考,事实上三角函数是刻画周期性现象的数学模型。
虽然图像09、10两年都有涉及,但09年是直接给出的,10年要学生自己作出的,10年重复考察解三角形的知识,对图像与变换三年均没有考查,这个知识点是不应该长时间受冷遇。
除此,与向量(工具)、与单位圆交汇等均未尝不可。
首选题型是三角函数求值题,其次是解三角形或向量与三角整合的问题。
3.数列考查的比重前三年比较稳定,均一大一小两题;2010年小题是等比数列的和,但其关系隐藏较深,拐弯较多;大题只一问,题面简洁、漂亮,紧扣前n项和与通项的关系,揭示数列学习的本真,区分度好,是个难得的考题。
数列很受命题者重视,常常出新,08年小题考的逐差数阵,大题考察等差数列的子数列能否构成等比的探索题,09年大题、小题都很简单,分别是求等比数列的公比和等差数列通项。
其实数列求和的方法十分重要,数列的定义证明也曾出现在高考的解答题中。
还要重视如一般数列的转化(简单的递推),如新数列构成的分段函数(前等差、后等比,前增后减等)等题型,考察学生的分析、处理问题的能力绝对有效。
其他省市热衷的递推数列、数列不等式证明在江苏卷中一直不受青睐,今年的数列题应该延续这一风格,坚持出“等差数列、等比数列,一般性质的证明及探究”的问题。
另外,是否会给出一个有关数列的相关概念,并在此基础上层层深入的逐次提出问题值得期待。
在平面直角坐标系内,若将坐标点列化,则数列易与解析几何或函数或向量衔接,这方面的试题江苏卷中已销声匿迹多年,事实上,这类问题极易考查学生的创新水平和数学能力,是否会回归同样令人期待。
4.2010年解析几何把直线与圆位置关系的考查从大题迁至小题中,且要求在动与静的两元素(点和线)之间的进行转化,考察对直线与圆本质关系的掌握,思维层次高,解题策略需要不断的优化;另一个小题表面考察焦半径,实质还是离心率(第二定义),没有脱离核心知识;大题在确定考查直线与椭圆后,要创新又怕限制较多,就选择了二次曲线的一个重要的结论(准线上的点与两顶点的连线分别与曲线相交,则另两交点的连线必过其焦点)进行推广,但结论虽优美,思路明确,但计算量却很大,且又人为设计了两个毫不相干的问题,堆积痕迹明显,除了增加几个考查点(求轨迹,直线方程及两直线的交点)外,并无意义。
解析几何小题08、09两年均考查椭圆的离心率,2010年考察双曲线的焦半径,大题08年是与二次函数综合运用,单纯考查过三点的圆,09年考察直线与圆(转化为弦心距),很精彩。
对于解析几何的核心与本质,专家们也是各抒己见,代数与几何各有偏重。
复习中一要关注基础(如过三点的圆以及弦长、切线长的求法),二要研究一些经典的解析几何题面(如阿波罗,双定点等)。
三要训练与线性规划的综合题,锻炼好学生处理多元变量的能力和意志。
由于圆问题的几何味要重于解析味,10年从考直线与圆变为考椭圆。
11年不出意外应该首选考椭圆,内容无外乎求轨迹方程与标准方程、直线与椭圆关系(解二次方程组),且涉及探究内容(定点,定值,共线等)。
是否会融合圆与椭圆甚至抛物线,以此为载体出创新型解几题,可以存疑。
5.立体几何没有考小题,大题的难度已适度提高,由于教学要求的限制,点到平面的距离的知识似乎有些“冷僻”或“边缘化”,其实考查并不越矩(教学要求与说明的矛盾),距离的概念既然要了解,棱锥的体积又要求会求,从知识运用的角度和考查思维灵活性的角度,又何尝不可呢?
“冷僻”也好,“边缘化”也罢,适应了,也就习惯了。
立几小题考计算(长度、面积、体积),也不能忽视:
一是空间构图问题,二是侧面展开图计算。
大题前两年都考察简单的垂直,去年呢寻求点变化,第二问求点到面的距离。
三年的几何体(载体)分别是三棱锥、三棱柱、四棱锥。
今后大题如有求变,一是载体复杂点,二是探索垂直或平行问题(以算代正),三是需要作出辅助线或辅助平面等,以免阅卷时总在书写的规范上做文章,四是会出现作法题,五是问题形式上由两证变为一证一算。
6.小知识点的考察相对比较稳定,08-10年在复数、几何概型、统计、流程图、集合这六个知识点均以填空题出现,而且思路完全吻合。
08、09年分别有向量的模、数量积的题,10年放入到大题中。
今后还应当注重概率基本事件的枚举,几何概型测度的选择。
2010年大题增加了向量,考查向量加减法的平行四边形法则及向量的坐标运算,比较基础。
如此布局虽与以往不同但仍在意料之中。
2010年小题增加了运用不等式性质求最值一题,但由于需要对数式变形,从已知式到要求式有凑配的技巧,高中生久于生疏,可能会寻求另外的解法(线性规划),花费时间就多了。
8.以上的分析既解决了2010年试卷“难的道理”,同时又针对各个知识点的考查提出了“稳”与“变”的设想,当然对2011年的试题研究,更要注意研究三次模拟考试的试卷,各家最后出来的信息卷,一定有启发的。
我对创新的理解:
题无常形,惟本质不变;考有定法,须基础最重。
在研究2011年命题时,上一年的风波是首要考虑的因素。
2011年将在去年的基础上会适当调整,三模试卷已有所体现。
难度是第一位的,区分也要保证的。
2010年命题,容易题(单一知识点)过少,中档题比例加大,能力要求高,数式运算要求过高,题目的新颖性上也有突破。
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