全国高中数学联赛试题及详细解析.docx
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2013年全国高中数学联合竞赛一试
试题参考答案及评分标准
说明:
1.评阅试卷时,请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次.
2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中第9小题4分为一个档次,第10、11小题5分为一个档次,不要增加其他中间档次.
一、填空题:
本大题共8小题,每小题8分,共64分.
1.设集合,集合.则集合中所有元素的和为
.
答案 -5
解 易知,当时,,有;而当时,,有.因此,根据的定义可知.
所以,集合中所有元素的和为-5.
2.在平面直角坐标系中,点在抛物线上,满足,是抛物线的焦点.则.
答案 2.
解 点坐标为.设,,则,,故
,
即,故.
.
3.在中,已知,,则的值为.
答案 11.
解 由于,所以,故.
4.已知正三棱锥底面边长为1,高为,则其内切球半径为.
答案
解 如图,设球心在面与面内的射影分别为和,中点为,内切球半径为,则共线,共线,,且
,
,
于是有 ,
解得.
5.设为实数,函数满足:
对任意,有.则的最大值为.
答案 .
解 易知,,则
.
当,即时,.故的最大值为.
6.从1,2,…,20中任取5个不同的数,其中至少有两个是相邻数的概率为.
答案
解 设取自1,2,…,20,若互不相邻,则
,
由此知从1,2,…,20中取5个互不相邻的数的选法与从1,2,…,16中取5个不同的数的选法相同,即种.所以,从1,2,…,20中任取5个不同的数,其中至少有两个是相邻数的概率为.
7.若实数满足,则的取值范围是.
答案 .
解 令,,此时,且条件中等式化为
,从而满足方程
.
如图所示,在平面内,点的轨迹是以为圆心,
为半径的圆在的部分,即点与弧的并集.因此
,从而.
8.已知数列共有9项,其中,且对每个,均有,则这样的数列的个数为.
答案 491
解 令,则对每个符合条件的数列有
,且.
反之,由符合条件的8项数列可唯一确定一个符合题设条件的9项数列.
记符合条件的数列的个数为.显然中有偶数个,即个;继而有个2,个1.当给定时,的取法有种,易见的可能值只有0,1,2,所以
.
因此,根据对应原理,符合条件的数列的个数为491
二、解答题:
本大题共3个小题,共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
9.(本题满分16分)给定正数数列满足,,这里
.证明:
存在常数,使得
,.
解 当时,等价于
.
…………4分
对常数,用数学归纳法证明:
,.
…………8分
时结论显然成立.又.
对,假设,,则由式知
,
所以,由数学归纳法知,式成立.
…………16分
10.(本题满分20分)在平面直角坐标系中,椭圆的方程为,分别为椭圆的左、右顶点,分别为椭圆的左、右焦点,为椭圆上不同于和的任意一点.若平面中两个点满足,,,,试确定线段的长度与的大小关系,并给出证明.
解 令,则,,,.
设,,,其中,.
由,可知
,
…………5分
将、相减,得,即,将其代入,得,
故,于是. …………10分
根据,,同理可得. …………15分
因此
,
由于,故(其中等号成立的充分必要条件是,即点为).
…………20分
11.(本题满分20分)求所有的正实数对,使得函数满足:
对任意实
数,有
.
解 已知条件可转化为:
对任意实数,有
.
先寻找所满足的必要条件.
在式中令,得,即对任意实数,有
.
由于,故可取到任意大的正值,因此必有,即.
…………5分
在式中再令,得,即对任意实数,有
.
将的左边记为,显然(否则,由可知,此时,其中,故可取到负值,矛盾),于是
对一切实数成立,从而必有,即. …………10分
进一步,考虑到此时,再根据,可得.
至此,求得满足的必要条件如下:
,,.
…………15分
下面证明,对满足的任意实数对以及任意实数,总有成立,即
对任意取非负值.
事实上,在成立时,有,,,再结合,可得
综上所述,所求的正实数对全体为.
…………20分
8
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