年全国高中数学联赛江西赛区预赛试卷及详细解答.doc
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2005-2012年8年全国高中数学联赛
(江西赛区)预赛试卷及详细解答
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二○○五年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答
2005年9月18日上午(8∶30-11∶00)
考生注意:
1、本试卷共三大题(15个小题),全卷满分150分.
2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答.
3、解题书写不要超出装订线.
4、不能使用计算器.
一、选择题(本题满分36分,每小题6分)本题共有6小题,每小题均给出A,B,C,D四个结论,其中有且仅有一个是正确的。
请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。
每小题选对得6分;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分。
1.设则等于().
(A)(B)(C)(D)
答:
D.
解:
.
2.是不等于1的正数,若,则成立的是().
(A)(B)(C)(D)
答:
B.
解:
由,知.
3.中,则使等式成立的充要条件是().
(A)(B)(C)(D)
答:
C.
解:
由题设知,
反之也成立。
4.抛物线顶点在原点,对称轴为轴,焦点在直线上,则抛物线方程为().
(A)(B)(C)(D)
答:
D.
解:
由顶点在原点,对称轴为轴知,抛物线方程为在中令知焦点为(4,0),
5.设则二次曲线与必有().
(A)不同的顶点(B)不同的准线(C)相同的焦点(D)相同的离心率
答:
C.
解:
当则表实轴为轴的双曲线,
二曲线有相同焦点;当时,且,
表焦点在轴上的椭圆。
与已知椭圆有相同焦点。
6.连结正五边形的对角线交另一个正五边形,两次连结正五边形的对角线,又交出一个正五边形(如图),以图中线段为边的三角形中,共有等腰三角形()个。
(A)50(B)75(C)85(D)100
答:
C.
解:
对于其中任一点P,以P为“顶”(两腰的公共点)的等腰三角形的个数记为[P]则.
由于图中没有等边三角形,则每个等腰三角形恰有一个“顶”。
据对称性可知。
因此等腰三角形共有个。
二、填空题(本题满分54分,每小题9分)
本题共有6小题,要求直接将答案写在横线上。
7.设适合等式则的值域是。
答:
解:
由将换为,有,两式消去得.
8.若对满足的任何角,都有
,则数组=。
答:
。
解:
左边
与右边比较得
9.等差数列3,10,17,…,2005与3,8,13,…,2003中,值相同的项有个。
答:
58。
解:
将二个数列的各项皆减3,化为0,7,14,…,2002与0,5,10,…,2000,前者为不大于2002的各数中7的倍数,后者可看成以上范围内的5的倍数,故公项为35的倍数.
∴
10.若对所有正数不等式都成立,则的最小值是。
答:
。
解:
由当时取等号,故的最小值是。
11.若为一个平方数,则正整数。
答:
10。
解:
,设有,于是有故
12.用标有1,2,3,15,40克的法码各一个,在某架无刻度的天平上称量重物,如果天平两端均可放置法码,那么该天平所能称出的不同克数(正整数的重物)至多有种。
答:
55。
解:
用1,2,3这三只法码,可称出区间中的全部整克数,增加15克的法码后,量程扩充了区间,再增加40克的法码后,
量程又扩充了三个区间:
,
但区间与有三个整数重复,计算上述各区间内的整数个数,则得能称出的不同克数共有6+13+(13+13+13)-3=55种。
三、解答题(本题满分60分,每小题20分)
13.直角三角形中,分别是直角边上的任意点,自向引垂线,垂足分别是。
证明:
四点共圆.
证明:
共圆,共圆,
又共圆,由共圆,得所以
故共圆.
14.的三条边长为,证明.
证明:
由于只要证:
……①
注意:
故由①,只要证……②
,
取等号当且仅当此时为正三角形,即
15.试求最小的正整数使得对于任何个连续正整数中,必有一数,其各位数字之和是7的倍数.
解:
首先,我们可以指出12个连续正整数,例如994,995,…,999,1000,1001,…,1005,其中任一数的各位数字之和都不是7的倍数,因此,。
再证,任何连续13个正整数中,必有一数,其各位数字之和是7的倍数.对每个非负整数,称如下10个数所构成的集合:
为一个“基本段”,13个连续正整数,要么属于两个基本段,要么属于三个基本段。
当13个数属于两个基本段时,据抽屉原理,其中必有连续的7个数,属于同一个基本段;当13个连续数属于三个基本段时,其中必有连续10个数同属于.现在设是属于同一个基本段的7个数,它们的各位数字之和分别是显然,这7个和数被7除的余数互不相同,其中必有一个是7的倍数.因此,所求的最小值为
二○○六年全国高中数学联赛江西省预赛试卷
答案及评分标准
2006年9月24日上午(8∶30-11∶00)
考生注意:
1、本试卷共三大题(15个小题),全卷满分150分.
2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答.
3、解题书写不要超出装订线.
4、不能使用计算器.
一、选择题(本题满分36分,每小题6分)
本题共有6小题,每小题均给出A,B,C,D四个结论,其中有且仅有一个是正确的。
请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。
每小题选对得6分;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分.
1.函数与的定义域和值域都是,且都有反函数,则函数的反函数是()
答:
C.
解:
由依次得
,互易得.
2.集合由满足如下条件的函数组成:
当时,有,对于两个函数,
以下关系中成立的是()
答:
D.
解:
.
,取,
则.
中,则比式等于
答:
解:
如图易知,
,
因此选
4.抛物线上两点关于直线对称,若,则的值是().
答:
.
解:
由以及
得,
5.椭圆的中心,右焦点,右顶点,右准线与轴的交点依次为,则的最大值为().
不能确定.
答:
.
解:
.(时取等号)
6.函数的值域为()
答:
.
解:
的定义域为则,令,则
因,则.
二、填空题(本题满分54分,每小题9分)
本题共有6小题,要求直接将答案写在横线上.
7.若,则.
答:
.
解:
由条件得,
则.
8.数列由全体正奇数自小到大排列而成,并且每个奇数连续出现次,,如果这个数列的通项公式为,则
答:
.
解:
由,即当时,
,所以,于是,
9.为实数,满足,则的最大值为.
答:
.
解:
设,则
,(当时取等号).
10.若集合中的每个元素都可表为中两个不同的数之积,则集中元素个数的最大值为.
答:
.
解:
从中每次取一对作乘积,共得个值,但其中有重复,重复的情况为,共种,因此集合中至多有个数.
11.作出正四面体每个面的中位线,共得条线段,在这些线段中,相互成异面直线的“线段对”有个.
答:
个“线段对”.
解:
任取一条中位线考虑,所在的侧面没有与异面的线段;含点的另一个侧面恰有一条中位线与异面;含点的另一个侧面恰有一条中位线与异面;不含的侧面恰有两条中位线与异面;因此与异面的中位线共有条,即含有线段的异面“线段对”共有个,于是得异面“线段对”个,(其中有重复).
但每一个异面“线段对”中有两条线段,故恰被计算了两次,因此得个异面“线段对”.
12.用五种不同的颜色给图中的“五角星”的五个顶点染色,(每点染一色,有的颜色也可以不用)使每条线段上的两个顶点皆不同色,则不同的染色方法有种.
答:
种.
解:
将其转化为具有五个扇形格的
圆盘染五色,使邻格不同色的染色问题。
设有个扇形格的圆盘染五色的方法数
为,则有
,于是
三、解答题(本题满分60分,每小题20分)
13.设为正数,证明:
证:
对归纳,时显然成立等号;设时结论对于任意个正数成立,
当时,对于任意个正数,据假设有
,…5分
所以
只要证,…
平方整理,只要证,
……10分
由柯西不等式
……………15分
即
所以
即成立,因此当时结论成立.故由归纳法知,所证不等式成立.…………20分
14.三角形中,是的中点,、、分别是边上的点,且△的外接圆交线段于若点满足:
证明:
证明:
在圆中,由于弦故圆周角,因此,
、、、与、、、分别共圆,于是…………………5分
设点在边上的射影分别为、、,则
△∽△∽△,故由得,
设△的内心为今证四点共圆:
连因分别共圆,
则,
又由,,所以△∽△
因此
而所以因为故得,因此、、、四点共圆,于是……………10分
延长AM交的外接圆于则AO为该外接圆的直径,于是且因此,点O是所在圆的圆心,从而为⊙O的切线.
延长AD交⊙O于T,则∽,所以,又由∽,得,因故...②………………………15分
延长到,使,则为平行四边形,
...③
由②得...
由③、得∽
所以,,即BPM=CPD.…………………20分
15.数列满足:
,(其中表示的整数部分,),试求的值.
解:
观察数列开初的一些项:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1
1
1
1
2
2
2
3
3
4
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
8
1
2
3
4
6
8
10
13
16
20
24
28
33
38
44
50
57
64
72
80
88
我们注意到,数列严格单增,每个正整数,顺次在数列中出现,并且除了首项之外,每个形如的数连续出现三次,其它数各连续出现两次.…5分
一般地,我们可证明数列的以下性质:
若记,则,
若记则当时,有…10分
对归纳.据上面所列出的项可知,当时结论成立.设性质对于成立,即在时,,则
再对满足的归纳:
当时,由于,则,
因为,则
设当时,均有,则当时,因为
…
则,
即有,所以
由于
所以
故由归纳法,当时,
特别是,当时,上式成为
又由,当,有
所以
由可知,对于当时,亦有
,从而性质成立.…………………15分
因为,取,则,,
因此.…………………20分
二○○七年全国高中数学联赛江西省预赛试卷
2007年9月23日上午(8∶30-11∶00)
考生注意:
1、本试卷共三大题(15个小题),全卷满分150分.
2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答.
3、解题书写不要超出装订线.
4、不能使用计算器.
一、选择题(本题满分36分,每小题6分)
本题共有6小题,每小题均给出A,B,C,D四个结论,其中有且仅有一个是正确的。
请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。
每小题选对得6分;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分.
1、为互不相等的正数,,则下列关系中可能成立的是().
、;、;、;、;
2、设,又记则().
、;、;、;、;
3、设为锐角,,则的大小顺序为().
、;、;、;、;
4、用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A、B、C、D四个小方格涂色(允许只用其中几种),使邻区(有公共边的小格)不同色,则不同的涂色方式种数为().
、;、;、;、.
5、正四棱锥的一个对角截面与一个侧面的面积比为,则其侧面与底面的夹角为().
、;、;、;、.
6、正整数集合的最小元素为,最大元素为,并且各元素可以从小到大排成一个公差为的等差数列,则并集中的元素个数为().
、、;、;、.
二、填空题(本题满分54分,每小题9分)
本题共有6小题,要求直接将答案写在横线上.
7、若实数满足:
,则.
8、抛物线顶点为,焦点为,是抛物线上的动点,则的最大值为.
9、计算.
10、过直线:
上的一点作一个长轴最短的椭圆,使其焦点为,则椭圆的方程为.
11、把一个长方体切割成个四面体,则的最小值是.
12、将各位数码不大于的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列,
则.
三、解答题(本题满分60分,每小题20分)
13、数列满足:
;令
;求.
14、如图,的外心为,是的中点,直线交于,点分别是的外心与内心,若,
证明:
为直角三角形.
15、若四位数的各位数码中,任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长,则称为四位三角形数,试求所有四位三角形数的个数.
二○○七年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答
2007年9月23日上午(8∶30-11∶00)
考生注意:
1、本试卷共三大题(15个小题),全卷满分150分.
2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答.
3、解题书写不要超出装订线.
4、不能使用计算器.
一、选择题(本题满分36分,每小题6分)
本题共有6小题,每小题均给出A,B,C,D四个结论,其中有且仅有一个是正确的。
请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。
每小题选对得6分;
不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分.
1、为互不相等的正数,,则下列关系中可能成立的是()
、;、;、;、;
答案:
;解:
若,则,不合条件,排除,又由
,故与同号,排除;且当时,有可能成立,
例如取,故选.
2、设,又记则()
、;、;、;、;
答案:
;解:
,
,据此,,,因为型,故选.
3、设为锐角,,
则的大小顺序为()
、;、;、;、;
答案:
;解:
,
,故.
4、用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A、B、C、D四个小方格涂色(允许只用其中几种),使邻区(有公共边的小格)不同色,则不同的涂色方式种数为().
、;、;、;、.
答案:
;解:
选两色有种,一色选择对角有种选法,共计种;
选三色有种,其中一色重复有种选法,该色选择对角有种选法,另两色选位有种,共计种;四色全用有种(因为固定位置),合计种.
5、正四棱锥的一个对角截面与一个侧面的面积比为,则其侧面与底面的夹角为().
、;、;、;、.
答案:
;解:
设底面正方形边长为,棱锥的高为,侧面三角形的高为,则,,则,.
6、正整数集合的最小元素为,最大元素为,并且各元素可以从小到大排成一个公差为的等差数列,则并集中的元素个数为().
、、;、;、.
答案:
;解:
用表示集的元素个数,设,由,得,于是,,;从而
.
二、填空题(本题满分54分,每小题9分)
本题共有6小题,要求直接将答案写在横线上.
7、若实数满足:
,则.
答案:
;解:
据条件,是关于的方程的两个根,即的两个根,所以;.
8、抛物线顶点为,焦点为,是抛物线上的动点,则的最大值为.
答案:
;解:
设抛物线方程为,则顶点及焦点坐标为,若设点坐标为,则
,
故.(当或时取等号)
9、计算.
答案:
.解:
.
10、过直线:
上的一点作一个长轴最短的椭圆,使其焦点为,则椭圆的方程为.
答案:
;解:
设直线上的点为,取关于直线的对称点,据椭圆定义,,当且仅当共线,即,也即时,上述不等式取等号,此时,
点坐标为,据得,,椭圆的方程为.
11、把一个长方体切割成个四面体,则的最小值是.
答案:
;解:
据等价性,只须考虑单位正方体的切割情况,先说明个不够,若为个,因四面体的面皆为三角形,且互不平行,则正方体的上底至少要切割成两个三角形,下底也至少要切割成两个三角形,每个三角形的面积,且这四个三角形要属于四个不同的四面体,以这种三角形为底的四面体,其高,故四个不同的四面体的体积之和,不合;
所以,另一方面,可将单位正方体切割成个四面体;例如从正方体中间挖出一个四面体,剩下四个角上的四面体,合计个四面体.
12、将各位数码不大于的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列,则.
答案:
;解:
简称这种数为“好数”,则一位好数有个;两位好数有个;三位好数有个;…,位好数有个;,记,因,,即第个好数为第个六位好数;而六位好数中,首位为的共有个,前两位为的各有个,因此第个好数的前两位数为,且是前两位数为的第个数;而前三位为的各个,则的前三位为,且是前三位数为的第个数;
而前四位为的各个,则的前四位为,且是前四位数为的第个数;则的前五位为,且是前五位数为的第个数,则.
三、解答题(本题满分60分,每小题20分)
13、数列满足:
;令
;求
解:
改写条件式为,则
,
所以,;
;
.
14、如图,的外心为,是的中点,直线交于,点分别是的外心与内心,若,
证明:
为直角三角形.
证:
由于点皆在的中垂线上,设直线交于,交于,则是的中点,是的中点;因是的内心,故共线,且.
又是的中垂线,则,而为的内、外角平分线,故有,则为的直径,所以,,又因
,
则.作于,则有,
,且,所以,,故得,因此,是的中位线,从而
∥,而,则.故为直角三角形.
证二:
记,因是的中垂线,则,由条件
延长交于,并记,则,对圆内接四边形用托勒密定理得,即,由、得,所以,
即是弦的中点,而为外心,所以,故为直角三角形.
15、若四位数的各位数码中,任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长,则称为四位三角形数,试求所有四位三角形数的个数.
解:
称为的数码组,则;
一、当数码组只含一个值,为,共得个值;
二、当数码组恰含二个值,.
、数码组为型,则任取三个数码皆可构成三角形,对于每个
,可取个值,则数码组个数为,对于每组,
有种占位方式,于是这种有个.
、数码组为型,,据构成三角形条件,有,
的取值
1
2
3
4
5
6
7
8
9
中的个数
共得个数码组,对于每组,有种占位方式,于是这种有个.
、数码组为型,,据构成三角形条件,有,同上得个数码组,对于每组,两个有种占位方式,于是这种有个.
以上共计个.
三、当数码组恰含三个值,.
、数码组为型,据构成三角形条件,则有,这种有组,每组中有种占位方式,于是这种有个.
、数码组为型,,此条件等价于中取三个不同的数构成三角形的方法数,有组,每组中有种占位方式,于是这种有个.
、数码组为型,,同情况,有个值.
以上共计个值.
四、互不相同,则有,这种有组,每组有个排法,共得个值.
综上,全部四位三角形数的个数为个.
2008年全国高中数学联赛江西省预赛试题
一、选择题(每小题分,共分)
、若函数的值域为,则实数的取值范围是().
、;、;、;、.
、设,,若直线和椭圆有公共点,则的取值范围是( ).
、;、;、;、.
、四面体的六条棱长分别为,且知,则
.
、 ;、 ;、 ; 、.
、若对所有实数,均有,则().
、; 、; 、; 、.
、设,是的小数部分,则当时,的值().
、必为无理数;、必为偶数;、必为奇数;、可为无理数或有理数.
、设为正整数,且与皆为完全平方数,对于以下两个命题:
(甲).必为合数;(乙).必为两个平方数的和.
你的判断是()
A.甲对乙错;B.甲错乙对;C.甲乙都对;D.甲乙都不一定对.
二、填空题(每小题分,共分)
、过点作直线,使得它被椭圆所截出的弦的中点恰为,则直线的方程为.
、设,则函数的最小值为.
、四面体中,面与面成的二面角,顶点在面上的射影是的垂心,是的重心,若,,则.
、.
、数列满足:
,且对每个,是方程的两根,则.
、从前个正整数构成的集中取出一个元子集,使得中任两数之和不能被这两数之差整除,则的最大值为.
三、解答题:
、(分)是直角三角形斜边上的高,(),分别是的内心,的外接圆分别交于,直线交于点;
证明:
分别是的内心与旁心.
、(分)设为非负实数,满足,证明:
.
、(分)对于元集合,若元集,
满足:
,且,则称是集的一个“等和划分”(与算是同一个划分).
试确定集共有多少个“等和划分”.
2008年全国高中数学联赛江西省预赛
试题解答
一、选择题(每小题分,共分)
、若函数的值域为,则实数的取值范围是().
、;、;、;、.
答案:
.
解:
欲使的值域为,当使真数可取到一切正数,故或者;或者且,解得
、设,,若直线和椭圆有公共点,则的取值范围是( ).
、;、;、;、.
答:
.
解:
将代入椭圆方程并整理得,,
因直线和椭圆有公共点,则判别式,利用
,化简得,所以.即.
、四面体的六条棱长分别为,且知,则
.
、 ;、 ;、 ; 、.
答案:
.
解:
四面体中,除外,其余的棱皆与相邻接,若长的棱与相邻,不妨设,据构成三角形条件,可知,,
,于是中,两边之和小于第三边,矛盾。
因此只有.另一方面,使的四面体可作出,例如取.故选
、若对所有实数,均有,则().
、; 、; 、; 、.
答:
.
解:
记,则由条件,恒为,取,得,则为奇数,设,上式成为,因此为偶数,令,则,故选择支中只有满足题意.
、设,是的小数部分,则当时,的值().
、必为无理数;、必为偶数;、必为奇数;、可为无理数或有理数.
答:
.
解:
令,则,是方程的两根,
则,所以当时,,令,则当时,,故所有为偶数,
,,
因,所以为的小数部分,即,
奇数.
、设为正整数,且与皆为完全平方数,对于以下两个命题:
(甲).必为合数;(乙).必为两个平方数的和.
你的判断是()
A.甲对乙错;B.甲错乙对;C.甲乙都对;D.甲乙都不一定对.
答案:
解:
设,为正整数;则
…,
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