第29讲 特殊的平行四边形 届中考数学专项精题训练Word格式文档下载.docx
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BC=AB×
在Rt△ABC中,由勾股定理,得BC=
=10,
∵AB=6,AC=8,
∴10AP=6×
8,
∴AP=
∴AM=
故选:
B.
二、特殊的平行四边形题目的常见类型
按照特殊的平行四边形题目的特点可以分成矩形、正方形、菱形的单独题目以及它们之间的综合题目,包括关于边的求值、角的运算、求面积还有证明线段相等、角相等、线段平行、线段垂直、判定特殊平行四边形、找规律等题目。
1、特殊的平行四边形+求值
例3.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=2,过对角线BD中点O的直线分别交AB、CD边于点E、F.
(1)求证:
四边形BEDF是平行四边形;
(2)当四边形BEDF是菱形时,求EF的长.
【解析】
(1)根据平行四边形ABCD的性质,判定△BOE≌△DOF(ASA),得出四边形BEDF的对角线互相平分,进而得出结论;
(2)在Rt△ADE中,由勾股定理得出方程,解方程求出BE,由勾股定理求出BD,得出OB,再由勾股定理求出EO,即可得出EF的长.
【详解】
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形,O是BD的中点,
∴∠A=90°
,AD=BC=2,AB∥DC,OB=OD,
∴∠OBE=∠ODF,
在△BOE和△DOF中,
∴△BOE≌△DOF(ASA),
∴EO=FO,
∴四边形BEDF是平行四边形;
(2)当四边形BEDF是菱形时,BD⊥EF,
设BE=x,则DE=x,AE=3﹣x,
在Rt△ADE中,DE2=AD2+AE2,
∴x2=22+(3﹣x)2,
解得:
x=
∵BD=
=
∴OB=
BD=
∵BD⊥EF,
∴EO=
∴EF=2EO=
.
2、特殊的平行四边形+求面积
例4.如图,在平行四边形ABCD中,过点D做DE⊥AB于E,点F在边CD上,DF=BE,连接AF、BF.
四边形BFDE是矩形;
(2)若CF=3,BE=5,AF平分∠DAB,求平行四边形ABCD的面积.
(1)先求出四边形BFDE是平行四边形,再根据矩形的判定推出即可;
(2)根据勾股定理求出DE长,即可得出答案.
【详解】证明:
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC,
∵DF=BE,
∴四边形BFDE是平行四边形,
∵DE⊥AB,
∴∠DEB=90°
∴四边形BFDE是矩形;
(2)∵AF平分∠DAB,
∴∠DAF=∠FAB,
∵平行四边形ABCD,
∴AB∥CD,
∴∠FAB=∠DFA,
∴∠DFA=∠DAF,
∴AD=DF=5,
在Rt△ADE中,DE=
∴平行四边形ABCD的面积=AB•DE=4×
8=32,
3、特殊的平行四边形+找规律
例5.如图
(1),在菱形ABCD中,E、F分别是边CB,DC上的点,∠B=∠EAF=60°
(I)求证:
∠BAE=∠CEF;
(Ⅱ)如图
(2),若点E,F分别移动到边CB,DC的延长线上,其余条件不变,请猜想∠BAE与∠CEF的大小关系,并给予证明.
(I)连接AC,由菱形的性质结合∠B=∠EAF=60°
,可得出∠B=∠ACD,∠BAE=∠CAF和AB=BC,进而可得出△ABE≌△ACF(ASA),根据全等三角形的性质可得出AE=AF,由等边三角形的性质可得出∠AEF=60°
,由邻补角互补及三角形内角和定理,可得出∠CEF+∠AEB=120°
=∠BAE+∠AEB,进而可证出∠BAE=∠CEF;
(II)由(I)的结论可得出∠ABE=∠ACF,∠BAE=∠CAF,AB=AC,进而可证出△ABE≌△ACF(AAS),根据全等三角形的性质可得出AE=AF,利用等边三角形的性质可得出∠AEF=60°
,由∠AEB+∠CEF=60°
=∠AEB+∠BAE可得出∠BAE=∠CEF.
(I)证明:
在图
(1)中,连接AC.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,AB∥CD,CA平分∠BCD.
∵∠B=60°
∴△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠BAC=60°
,AB=AC.
∵AB∥CD,
∴∠ACD=∠BAC=60°
∴∠B=∠ACD=60°
∵∠EAF=60°
∴∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAF=60°
∴∠BAE=∠CAF.
在△ABE和△ACF中,
∴△ABE≌△ACF(ASA),
∴AE=AF,
∴△AEF为等边三角形,
∴∠AEF=60°
∴∠CEF+∠AEB=120°
∵∠BAE+∠AEB=120°
∴∠BAE=∠CEF.
(II)解:
∠BAE=∠CEF.
在图
(2)中,连接AC,由(I)知:
∠ABC=∠ACD=60°
,∠EAF=∠BAC=60°
,AB=AC,
∴∠ABE=∠ACF=120°
,∠BAE=∠CAF.
∴△ABE≌△ACF(AAS),
∴∠AEB+∠CEF=60°
∵∠AEB+∠BAE=∠ABC=60°
4、特殊的平行四边形+动点
例6.在正方形ABCD中,∠C=∠D=90°
,点E、F分别是边CD、BC上的中点,点P是一动点.记∠DEP=∠1,∠BFP=∠2,∠EPF=∠α.
(1)如图1,若点P运动到线段AD中点时,∠α= ,∠1+∠2= .
(2)如图2,若点P在线段AD上运动时,∠1、∠2和∠α之间有何关系?
(3)当点P在直线AD上(在线段AD之外且PE与PF不重合)运动时,∠1、∠2和∠α之间又有何关系?
说明理由.
(1)只要证明△PDE是等腰直角三角形,四边形CDPF是矩形即可解决问题;
(2)连接PC.利用三角形的外角的性质即可解决问题;
(3)分三种情形分别求解即可;
(1)如图1中,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠D=90°
,AD=BC=DC,AD∥BC,
∵PA=PD,DE=EC,BF=FC,
∴PD=DE,
∴∠1=45°
∵PD=FC,PD∥FC,
∴四边形CDPF是平行四边形,
∵∠D=90°
∴四边形CDPF是矩形,
∴PF∥CD,∠PFC=90°
∴∠α=∠1=45°
,∠2=90°
故答案为45°
,90°
(2)如图2中,连接PC.
∵∠1=∠EPC+∠ECP,∠2=∠FPC+∠FCP,
∴∠1+∠2=∠EPC+∠FPC+∠ECP+∠FCP=∠α+90°
(3)如图:
①当点P在线段DA的延长线上时,由
(2)可知:
∠1+∠2=∠α+90°
②当点P在线段AD的延长线上且在直线EF的上方时,
∵∠2=∠α+∠PKF,∠PKF=90°
+∠KEC=90°
+∠1,
∴∠2=∠α+∠1+90°
③当点P在直线EF的下方时,设PF交CD于K.
∵∠2=90°
+∠FKC=90°
+∠PKE=90°
+(∠1﹣∠α),
∴∠2=90°
+∠1﹣∠α.
三、特殊的平行四边形题目的训练
1.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°
,AB=5,AC=12,P为边BC上一动点(P不与B、C重合),PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为EF中点,则AM的取值范围是( )
A.
≤AM<6B.5≤AM<12C.
≤AM<12D.
≤AM<6
【答案】A.
【解析】首先证明四边形AEPF是矩形,因为M是EF的中点,推出延长AM经过点P,推出EF=AP,可得AM=
EF=
PA,求出PA的最小值可得AM的最小值,又由AP<AC,即可求得AM的取值范围.
在Rt△ABC中,∵∠BAC=90°
,AB=5,AC=12,
∴BC=
=13,
∵PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,
∴∠PEA=∠PFA=∠EAF=90°
∵M是EF的中点,
∴延长AM经过点P,
∴EF=AP,
AM=
PA,
当PA⊥CB时,PA=
∴AM的最小值为
∵PA<AC,
∴PA<12,
∴AM<6,
≤AM<6,
2.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°
,AB=3,AC=4,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PE⊥AC于F,则EF的最小值 .
【答案】2.4
【解析】根据已知得出四边形AEPF是矩形,得出EF=AP,要使EF最小,只要AP最小即可,根据垂线段最短得出即可.
连接AP,
∵∠A=90°
,PE⊥AB,PF⊥AC,
∴∠A=∠AEP=∠AFP=90°
∴四边形AFPE是矩形,
要使EF最小,只要AP最小即可,
过A作AP⊥BC于P,此时AP最小,
在Rt△BAC中,∠A=90°
,AC=4,AB=3,由勾股定理得:
BC=5,
由三角形面积公式得:
×
4×
3=
5×
AP,
∴AP=2.4,
即EF=2.4,
故答案为:
2.4
3.如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD的顶点坐标分别是A(﹣2,0)、B(0,﹣2)、C(2,0),D(0,2),求证:
四边形ABCD是正方形.
【解析】利用已知数据和勾股定理求出四条边的长度,可证明四边形ABCD为菱形,又因为AC和BD相等,所以可证明四边形为正方形.
∵A(﹣2,0)、B(0,﹣2),
∴OA=2,OB=2,
∴AB=
=2
同理可求得:
AD=2
,BC=2
,DC=2
∴AB=BC=CD=DA,
∴四边形ABCD为菱形,
∵BD=AC,
∴四边形ABCD为正方形.
4.已知:
如图,∠ACB=∠ADB=90°
,E为AB中点,连接DE、CE、CD.
DE=CE;
(2)若∠CAB=25°
,∠DBA=35°
,判断△DEC的形状,并说明理由;
(3)当∠CAB+∠DBA=45°
时,若CD=12,取CD中点F,求EF的长.
(1)由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论;
(2)根据直角三角形的性质得到DE=AE=BE=CE,根据等腰三角形的性质得到∠CAB=∠ACE=25°
,∠DBA=∠BDE=35°
,根据三角形的外角的性质得到∠BED=50°
,∠ADE=70°
,由等边三角形的判定定理即可得到结论;
(3)同
(2)证出∠DEC=90°
,由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论.
∵∠ACB=∠ADB=90°
,E是AB的中点,
∴DE=
AB,CE=
AB,
∴DE=CE;
(2)△DEC是等边三角形,
理由:
,E为AB中点,
∴DE=AE=BE=CE,
∴∠CAB=∠ACE=25°
∠DBA=∠BDE=35°
∴∠BED=50°
,∠AED=70°
∴∠DEC=180°
﹣50°
﹣70°
=60°
∴△DEC是等边三角形;
(3)∵∠ACB=∠ADB=90°
∴∠CAB=∠ACE,∠DBA=∠BDE,
∴∠BED=2∠CAB,∠AED=2∠ABD,
﹣2(∠CAB+∠DBA)=90°
∴△DEC是等腰直角三角形,
∵点F是斜边CD上的中点,
∴EF=
CD=6.
5.如图,在正方形ABCD中,连接BD,点O是BD的中点,若点M,N是边AD上的两点,连接MO、NO,并分别延长与边BC相交于点P、Q.
MN=PQ;
(2)在不添加其他辅助线的情况下,直接写出图中的所有的全等三角形.
(1)由题意可证△DMO≌△BPO,可得MO=FO,即可证△MNO≌△PQO,可得MN=PQ;
(2)根据全等三角形的判定定理可以判断△ABD≌△BCD,△MDO≌△PBO,△NOD≌△QOB,△MON≌△POQ.由此即可得出答案.
(1)∵四边形ABCD是正方形
∴AB=CD=BC=AD,∠ABD=∠DBC=45°
=∠ADB,AD∥BC
∵AD∥BC
∴∠DMO=∠BPO,∠ANO=∠CQO
∵点O是BD中点
∴BO=DO且∠ADB=∠DBC,∠DMO=∠BPO
∴△DMO≌△BPO(AAS)
∴MO=PO且∠DMO=∠BPO,∠ANO=∠CQO
∴△MNO≌△PQO(AAS)
∴MN=PQ
(2)∵四边形ABCD是正方形
同理可得:
△NOD≌△QOB,
在△ABD和△BCD中,
∴△ABD≌△BCD(SSS),
∴全等三角形一共有△ABD≌△BCD,△MDO≌△PBO,△NOD≌△QOB,△MON≌△POQ共4对.
6.过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC,交BC边于点E,交AD边于点F,分别连接AE,CF.
四边形AECF是菱形;
(2)若AB=3,∠DCF=30°
,求EF的长.
(1)根据菱形的判定与性质即可求出答案.
(2)根据含30度的直角三角形的性质以及等边三角形的性质与判定即可求出答案.
(1)由矩形ABCD可知:
∠FAO=∠ECO,
AO=CO,
在△AOF与△COE中,
∴△AOF≌△COE(ASA),
∴OE=OF,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵EF⊥AC,
∴四边形AECF是菱形;
(2)∵∠DCF=30°
,AB=CD=3,
∴∠FCE=60°
,CE=2
∵CF=CE,
∴△EFC是等边三角形,
∴EF=2
;
7.如图
(1),在Rt△ABC,∠ACB=90°
,分别以AB、BC为一边向外作正方形ABFG、BCED,连结AD、CF,AD与CF交于点M.
△ABD≌△FBC;
(2)如图
(2),求证:
AM2+MF2=AF2.
(1)根据四边形ABFG、BCED是正方形得到两对边相等,一对直角相等,根据图形利用等式的性质得到一对角相等,利用SAS即可得到三角形全等;
(2)根据全等三角形的性质和勾股定理即可得到结论.
(1)∵四边形ABFG、BCED是正方形,
∴AB=FB,CB=DB,∠ABF=∠CBD=90°
∴∠ABF+∠ABC=∠CBD+∠ABC,
即∠ABD=∠CBF,
在△ABD和△FBC中,
∴△ABD≌△FBC(SAS);
(2)∵△ABD≌△FBC,
∴∠BAD=∠BFC,
∴∠AMF=180°
﹣∠BAD﹣∠CNA=180°
﹣(∠BFC+∠BNF)=180°
﹣90°
=90°
∴AM2+MF2=AF2.
8.如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线交AD于点E,过点A作BE的垂线交BE于点F,交BC于点G,连接EG,求证:
四边形ABGE是菱形.
【解析】先证明AB=AE,由ASA证明△ABF≌△GBF,得出AB=GB,因此AE=GB,证出四边形ABGE是平行四边形,即可得出结论;
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE,
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC且AD=BC,
∴∠CBE=∠AEB,
∴∠ABE=∠AEB=∠CBE,
∴AB=AE,
∵AF⊥BE,
∴∠AFB=∠GFB=90°
在△ABF和△GBF中,
∴△ABF≌△GBF(ASA),
∴AB=GB,
∴AE=GB,
又∵AD∥BC,
∴四边形ABGE是平行四边形,
又∵AB=GB,
∴四边形ABGE是菱形;
9.如图,在△ABC中,点O是边AC上一个动点,过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E,F.
(1)若CE=4,CF=3,求OC的长.
(2)连接AE、AF,问当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?
请说明理由.
(1)根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC=∠OCE,∠OFC=∠OCF,证出OE=OC=OF,∠ECF=90°
,由勾股定理求出EF,即可得出答案;
(2)根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可.
∵EF交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F,
∴∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠DCF,
∵EF∥BC,
∴∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠DCF,
∴∠OEC=∠OCE,∠OFC=∠OCF,
∴OE=OC,OF=OC,
∴OE=OF;
∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°
∴∠ECF=90°
在Rt△CEF中,由勾股定理得:
=5,
∴OC=OE=
EF=2.5;
(2)当点O在边AC上运动到AC中点时,四边形AECF是矩形.理由如下:
连接AE、AF,如图所示:
当O为AC的中点时,AO=CO,
∵EO=FO,
∵∠ECF=90°
∴平行四边形AECF是矩形.
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