湖北省高考数学试卷文科答案与解析.doc
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2009年湖北省高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)
1.(5分)(2009•湖北)若向量=(1,1),=(﹣1,1),=(4,2),则=( )
A.3+ B.3﹣ C.﹣+3 D.+3
【考点】平面向量的基本定理及其意义;平面向量的坐标运算.菁优网版权所有
【专题】计算题;待定系数法.
【分析】设=λ+μ,由=(4,2),用待定系数法求出λ和μ,可得结果.
【解答】解:
设=λ+μ=(λ,λ)+(﹣μ,μ)=(λ﹣μ,λ+μ)=(4,2),∴λ﹣μ=4,λ+μ=2,
∴λ=3,μ=﹣1,可得,
故选B.
【点评】本题考查两个向量的加减法的法则,两个向量坐标形式的运算.
2.(5分)(2009•湖北)函数的反函数是( )
A. B.
C. D.
【考点】反函数.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】按照反函数的定义,直接求出函数的反函数.
【解答】解:
可得2xy﹣y=x﹣2,
所以
把x,y互换,
它就是原函数的反函数
故选A.
【点评】解答本题首先熟悉反函数的概念,然后根据反函数求解三步骤:
1、换:
x、y换位,2、解:
解出y,3、标:
标出定义域,据此即可求得反函数.
3.(5分)(2009•湖北)“sinα=”是“”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【考点】二倍角的余弦.菁优网版权所有
【分析】利用二倍角的余弦函数公式化简cos2α=,得到sinα的值等于两个值,得到“sinα=”是“”的充分不必要条件即可.
【解答】解:
由可得1﹣2sin2α=,即sin2α=,
∴sinα=±,
故是成立的充分不必要条件,
故选A.
【点评】此题考查学生掌握充分及必要条件的证明方法,灵活意义二倍角的余弦函数公式化简求值,是一道基础题.
4.(5分)(2009•湖北)从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2人参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同的选派方法共有( )
A.40种 B.60种 C.100种 D.120种
【考点】排列、组合的实际应用.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】分2步进行,首先从5人中抽出两人在星期五参加活动,再从剩下的3人中,抽取两人安排在星期六、星期日参加活动,分别计算其情况数目,由分步计数原理计算可得答案.
【解答】解:
根据题意,首先从5人中抽出两人在星期五参加活动,有C52种情况,
再从剩下的3人中,抽取两人安排在星期六、星期日参加活动,有A32种情况,
则由分步计数原理,可得不同的选派方法共有C52A32=60种,
故选B.
【点评】本题考查排列、组合的综合运用,注意优先分析特殊的元素,同时需要区分排列与组合的意义.
5.(5分)(2009•湖北)已知双曲线的准线经过椭圆(b>0)的焦点,则b=( )
A.3 B. C. D.
【考点】椭圆的标准方程;圆锥曲线的综合.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】先根据双曲线的方程求得双曲线的准线方程,根据椭圆的方程求得焦点,代入双曲线的准线方程求得b.
【解答】解:
依题意可得双曲线的准线为,又因为椭圆焦点为
所以有.即b2=3故b=.
故选C.
【点评】本题主要考查了椭圆和双曲线的简单性质,椭圆的标准方程.考查了学生对圆锥曲线基础知识的掌握.
6.(5分)(2009•湖北)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ACB=90°,∠ACC1=60°,∠BCC1=45°,侧棱CC1的长为1,则该三棱柱的高等于( )
A. B. C. D.
【考点】棱柱的结构特征.菁优网版权所有
【专题】计算题;作图题.
【分析】过C1作面ACB、线BC、AC的垂线,交点分别为O,D,E,连接OD、OC、OE,推出四边形OECD为矩形,求出OC,然后求出该三棱柱的高.
【解答】解:
过C1作面ACB、线BC、AC的垂线,交点分别为O,D,E,连接OD、OC、OE,
可知OE⊥AC,OD⊥BE,又因为∠ACB=90°,所以四边形OECD为矩形.
∠ACC1=60°,则CE=CC1=,同理CD=
在直角三角形OCD中,由勾股定理得OC=,
在直角三角形COC1中0C1==
故选A.
【点评】本题考查棱柱的结构特征,考查作图和计算能力,是基础题.
7.(5分)(2009•湖北)函数y=cos(2x+)﹣2的图象F按向量平移到F′,F′的函数解析式为y=f(x),当y=f(x)为奇函数时,向量a可以等于( )
A.(,﹣2) B.(,2) C.(,﹣2) D.(,2)
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;余弦函数的奇偶性.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】由左加右减上加下减的原则可确定函数y=cos(2x+)﹣2到y=﹣sin2x的路线,进而确定向量.
【解答】解:
:
∵y=cos(2x+)﹣2∴将函数y=cos(2x+)﹣2向左平移个单位,再向上平移2个单位可得到y=cos(2x+)=﹣sin2x
∴=(,2)
故选B.
【点评】本题是基础题,考查三角函数图象平移,三角函数的平移原则为左加右减上加下减.注意向量的平移的方向.
8.(5分)(2009•湖北)在“家电下乡”活动中,某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元,可装洗衣机20台;每辆乙型货车运输费用300元,可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次,则该厂所花的最少运输费用为( )
A.2000元 B.2200元 C.2400元 D.2800元
【考点】简单线性规划的应用.菁优网版权所有
【专题】计算题;压轴题;数形结合.
【分析】根据题中的叙述将实际问题转化为不等式中的线性规划问题,利用线性规划确定最值
【解答】解:
设需使用甲型货车x辆,乙型货车y辆,运输费用z元,根据题意,
得线性约束条件
求线性目标函数z=400x+300y的最小值.
解得当时,zmin=2200.
故选B.
【点评】在确定取得最大值、最小值时,应注意实际问题的意义,整数最优解.
9.(5分)(2009•湖北)设x∈R,记不超过x的最大整数为[x],令{x}=x﹣[x],则{},[],( )
A.是等差数列但不是等比数列
B.是等比数列但不是等差数列
C.既是等差数列又是等比数列
D.既不是等差数列也不是等比数列
【考点】等差关系的确定;等比关系的确定.菁优网版权所有
【专题】计算题;压轴题.
【分析】可分别求得,.则等比数列性质易得三者构成等比数列.
【解答】解:
根据题意可得,.
∵×=12,+≠2
∴{},[],为等比数列,不是等差数列
故选B.
【点评】本题主要考查了等差关系和等比关系的判定.定义法之外,也可利用等差中项和等比中项的性质来判断.
10.(5分)(2009•湖北)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如:
他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16…这样的数成为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )
A.289 B.1024 C.1225 D.1378
【考点】数列的应用;归纳推理.菁优网版权所有
【专题】计算题;压轴题;新定义.
【分析】根据图形观察归纳猜想出两个数列的通项公式,再根据通项公式的特点排除,即可求得结果.
【解答】解:
由图形可得三角形数构成的数列通项,
同理可得正方形数构成的数列通项bn=n2,
则由bn=n2(n∈N+)可排除D,又由,
与无正整数解,
故选C.
【点评】考查学生观察、分析和归纳能力,并能根据归纳的结果解决分析问题,注意对数的特性的分析,属中档题.
二、填空题(共5小题,每小题5分,满分25分)
11.(5分)(2009•湖北)已知(1+ax)5=1+10x+a2x2+bx3+…+anxn,则a2= 40 .
【考点】二项式定理.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】根据题意,已知其展开式中x的系数为10,则结合(1+ax)5的展开式,写出其x项,令其等于10,可得a的值,进而可得a2的值.
【解答】解:
因为Tr+1=C5r•(ax)rr=1时,T2=C51•a1x=10x,
解得a=2;
r=3时,C52•a2=a2,
a2=40;
故答案为40.
【点评】本题考查二项式定理的应用,注意在其展开式中,会根据题意要求与系数的关系、性质,代入特殊值进行计算.
12.(5分)(2009•湖北)甲、乙、丙三人将参加某项测试,他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5,则三人都达标的概率是
0.24 ,三人中至少有一人没有达标的概率是
0.76 .
【考点】相互独立事件的概率乘法公式;互斥事件的概率加法公式.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】根据题意,设甲、乙、丙三人达标为依次为事件A、B、C,分析可得这三个事件相互独立,三人均达标,即ABC同时发生;由相互独立事件的乘法公式,计算可得第一空的答案,进而分析可得三人中至少有一人没有达标,其对立事件为三人全部达标;由互为对立事件的概率之和为1,计算可得第二空的答案.
【解答】解:
设甲、乙、丙三人达标为依次为事件A、B、C,三个事件相互独立,且则P(A)=0.8,P(B)=0.6,P(C)=0.5,
三人均达标,即ABC同时发生,故其概率为P1=0.8×0.6×0.5=0.24,
三人中至少有一人没有达标,其对立事件为三人全部达标;
由互为对立事件的概率性质,可得三人中至少有一人达标为1﹣0.24=0.76;
故答案为0.24;0.76.
【点评】本题考查相互独立事件的概率的计算,注意首先认真审题,认清事件之间的关系,出现至少或最多一类的词语时,要运用对立事件进行分析.
13.(5分)(2009•湖北)设集合A={x|log2x<1},B={x|<0},则A∩B= {x|0<x<1} .
【考点】交集及其运算;对数函数的定义域.菁优网版权所有
【专题】集合.
【分析】把集合A中的1变为log22,然后利用对数函数的定义域和对数函数为增函数即可求出x的范围即可得到集合A;由集合B中的不等式得到x﹣1与x+2异号,列出不等式求出解集即可得到集合B,然后求出A与B的交集即可.
【解答】解:
由已知,集合A中的不等式log2x<1=log22,由2>1得到对数函数为增函数及对数函数的定义域为:
x>0得到:
0<x<2;而集合B中的不等式<0可化为或,解得﹣2<x<1,
则A={x|0<x<2},B={x|﹣2<x<1},所以A∩B={x|0<x<1}.
故答案为:
{x|0<x<1}.
【点评】本题考查学生会求对数函数的定义域以及灵活运用对数函数的增减性解决实际问题,理解不等式<0
与不等式(x﹣a)(x﹣b)<0同解,掌握交集的定义并会进行交集的运算.
14.(5分)(2009•湖北)过原点O作圆x2+y2﹣6x﹣8y+20=0的两条切线,设切点分别为P、Q,则线段PQ的长为 4 .
【考点】直线和圆的方程的应用.菁优网版权所有
【专题】压轴题;数形结合.
【分析】如图:
先求出圆心坐标和半径,直角三角形中使用边角关系求出cosα,二倍角公式求出cos∠PO1Q,三角形PO1Q中,
用余弦定理求出|PQ|.
【解答】解:
圆x2+y2﹣6x﹣8y+20=0可化为(x﹣3)2+(y﹣4)2=5,
圆心(3,4)到原点的距离为5.故cosα=,
∴cos∠PO1Q=2cos2α﹣1=﹣,
∴|PQ|2=()2+()2+2×()2×=16.∴|PQ|=4.
故答案为:
4.
【点评】本题考查直角三角形中的边角关系,二倍角的余弦公式,以及用余弦定理求边长.
15.(5分)(2009•湖北)如图是样本容量为200的频率分布直方图.根据样本的频率分布直方图估计,样本数落在[6,10]内的频数为 64 ,数据落在(2,10)内的概率约为 0.4 .
【考点】频率分布直方图.菁优网版权所有
【专题】计算题;压轴题.
【分析】从直方图得出数落在[6,10]内的频率和数据落在(2,10)内的频率后,再由频率=,计算频数即得.
【解答】解:
观察直方图易得
数落在[6,10]内的频率=0.08×4;
数据落在(2,10)内的频率=(0.02+0.08)×4;
∴样本数落在[6,10]内的频数为200×0.08×4=64,频率为0.1×4=0.4.
故答案为640.4.
【点评】本题考查读频率分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力.利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题,同时考查频率、频数的关系:
频率=.
三、解答题(共6小题,满分75分)
16.(12分)(2009•湖北)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2csinA.
(Ⅰ)确定角C的大小;
(Ⅱ)若c=,且△ABC的面积为,求a+b的值.
【考点】余弦定理的应用;正弦定理.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】
(1)通过正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦,化简整理求得sinC的值,进而求得C.
(2)先利用面积公式求得ab的值,进而利用余弦定理求得a2+b2﹣ab,最后联立变形求得a+b的值.
【解答】解:
(1)由及正弦定理得:
,
∵sinA≠0,∴
在锐角△ABC中,.
(2)∵,,
由面积公式得,即ab=6①
由余弦定理得,即a2+b2﹣ab=7②
由②变形得(a+b)2=25,故a+b=5.
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用.对于这两个定理的基本公式和变形公式应熟练记忆,并能灵活运用.
17.(12分)(2009•湖北)围建一个面积为360m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修),其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位:
米).
(1)将修建围墙的总费用y表示成x的函数;
(2)当x为何值时,修建此矩形场地围墙的总费用最小?
并求出最小总费用.
【考点】函数模型的选择与应用.菁优网版权所有
【专题】应用题.
【分析】
(1)设矩形的另一边长为am,则根据围建的矩形场地的面积为360m2,易得,此时再根据旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式;
(2)根据
(1)中所得函数的解析式,利用基本不等式,我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值,及相应的x值.
【解答】解:
(Ⅰ)设矩形的另一边长为am,
则y=45x+180(x﹣2)+180•2a=225x+360a﹣360.
由已知ax=360,得,
所以.
(II)因为x>0,所以,
所以,当且仅当时,等号成立.
即当x=24m时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是10440元.
【点评】函数的实际应用题,我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程,在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制,解模时也要实际问题实际考虑.将实际的最大(小)化问题,利用函数模型,转化为求函数的最大(小)是最优化问题中,最常见的思路之一.
17.(12分)(2009•湖北)如图,四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,SD=AD=a,点E是SD上的点,且DE=λa(0<λ≤1).
(1)求证:
对任意的λ∈(0,1],都有AC⊥BE;
(2)若二面角C﹣AE﹣D的大小为60°,求λ的值.
【考点】与二面角有关的立体几何综合题;空间中直线与直线之间的位置关系.菁优网版权所有
【专题】计算题;证明题.
【分析】
(1)以D为原点,DA,DC,DS的方向分别作为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,分别求出,的坐标,计算向量的数量积,只要说明数量积与λ无关即可;
(2)分别求出平面ADE与平面ACE的一个法向量,利用二面角C﹣AE﹣D的大小为60°建立两法向量的关系式,求出λ的值即可.
【解答】解:
以D为原点,DA,DC,DS的方向分别作为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,
则D(0,0,0),A(a,0,0),
B(a,a,0),C(0,a,0),E(0,0,λa),
(1)证明:
∵=(﹣a,a,0),
=(﹣a,﹣a,λa),=(a,0,﹣λa),=(0,a,﹣λa).
∴•=(﹣a,a,0)•(﹣a,﹣a,λa)
=a2﹣a2+0•λa=0,
即对任意的λ∈(0,1],都有AC⊥BE.
(2)=(0,a,0)为平面ADE的一个法向量.
设平面ACE的一个法向量为n=(x,y,z),
则n⊥E,n⊥E,
∴即
取z=1,得n=(λ,λ,1).
∴cos60°═⇔=2|λ|.
由λ∈(0,1],解得λ=.
【点评】本题主要考查了二面角及其度量,以及空间中直线与直线之间的位置关系,属于基础题.
18.(12分)(2009•湖北)已知数列{an}是一个公差大于0的等差数列,且满足a3a6=55,a2+a7=16
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{an}和数列{bn}满足等式an=(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Sn.
【考点】等差数列的通项公式;数列的求和.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】
(1)设等差数列{an}的公差为d,分别表示出a2a6=55,a2+a7=16联立方程求得d和a1进而根据等差数列通项公式求得an.
(2)令cn=,则有an=c1+c2+…+cn,an+1=c1+c2+…+cn+1两式相减得cn+1等于常数2,进而可得bn,进而根据b1=2a1求得b1则数列{bn}通项公式可得,进而根据从第二项开始按等比数列求和公式求和再加上b1.
【解答】解:
(1)设等差数列{an}的公差为d,
则依题意可知d>0由a2+a7=16,
得2a1+7d=16①
由a3a6=55,得(a1+2d)(a1+5d)=55②
由①②联立方程求得
得d=2,a1=1或d=﹣2,a1=(排除)
∴an=1+(n﹣1)•2=2n﹣1
(2)令cn=,则有an=c1+c2+…+cn
an+1=c1+c2+…+cn+1
两式相减得
an+1﹣an=cn+1,由
(1)得a1=1,an+1﹣an=2
∴cn+1=2,即cn=2(n≥2),
即当n≥2时,
bn=2n+1,又当n=1时,b1=2a1=2
∴bn=
于是Sn=b1+b2+b3+…+bn=2+23+24+…2n+1=2n+2﹣6,n≥2,
.
【点评】本题主要考查等差数列的性质和等比数列的性质.考查了对数列问题的综合把握.
19.(13分)(2009•湖北)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点,自M、N向准线l作垂线,垂足分别为M1、N1
(1)求证:
FM1⊥FN1;
(2)记△FMM1、△FM1N1,△FNN1的面积分别为S1、S2、S3,试判断S22=4S1S3是否成立,并证明你的结论.
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.菁优网版权所有
【专题】计算题;证明题;压轴题.
【分析】
(1)由抛物线的定义得|MF|=|MM1|,|NF|=|NN1|,所以∠MFM1=∠MM1F,∠NFN1=∠NN1F,由此可知FM1⊥FN1.
(2)S22=4S1S3成立,证明如下:
设M(x1,y1),N(x2,y2),则由抛物线的定义得|MM1|=|MF|=,|NN1|=|NF|=,由此入手能够推导出S22=4S1S3成立.
【解答】
(1)证明:
由抛物线的定义得
|MF|=|MM1|,|NF|=|NN1|,
∴∠MFM1=∠MM1F,∠NFN1=∠NN1F
如图,设准线l与x的交点为F1
∴MM1∥NN1∥FF1
∴∠F1FM1=∠MM1F,∠F1FN1=∠NN1F
而∠F1FM1+∠MFM1+∠F1FN1+∠N1FN=180°
即2∠F1FM1+2∠F1FN1=180°
∴∠F1FM1+∠F1FN1=90°
故FM1⊥FN1.
(2)S22=4S1S3成立,证明如下:
证:
设M(x1,y1),N(x2,y2)
则由抛物线的定义得
|MM1|=|MF|=,|NN1|=|NF|=,
于是
S1=|MM1||F1M1|=,
S2=|M1N2||FF1|=,
S3=|NN1||F1N1|=,
∵S22=4S1S3⇔•
⇔=,
将与代入上式,
得:
=[(my1+)(my2+)+()+]•|﹣p2|
化简可得
p2(m2p2+p2)=p2(m2p2+p2),此式恒成立.
故S22=4S1S3成立.
【点评】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系,解题时要认真审题,仔细解答.
20.(14分)(2009•湖北)已知关于x的函数f(x)=﹣x3+bx2+cx+bc,其导函数为f′(x).令g(x)=|f′(x)|,记函数g(x)在区间[﹣1、1]上的最大值为M.
(Ⅰ)如果函数f(x)在x=1处有极值﹣,试确定b、c的值:
(Ⅱ)若|b|>1,证明对任意的c,都有M>2
(Ⅲ)若M≧K对任意的b、c恒成立,试求k的最大值.
【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值.菁优网版权所有
【专题】综合题;压轴题;分类讨论.
【分析】(Ⅰ)对函数求导,由题意可得,代入可求b,c,代入验证,找出符合条件的值.
(Ⅱ)(法1)代入整理g(x)=||﹣(x﹣b)2+b2+c|,结合|b|>1的条件判断函数f′(x)的对称轴与区间[﹣1,1]的位置关系,从而求出该函数在[﹣1,1]上的最大值M,则M≥f′
(1),M≥f′(﹣1),可证
(法2)利用反证法:
假设M<2,由
(1)可知M应是g(﹣1)和g
(1)中较大的一个,则有,代入课产生矛盾.
(Ⅲ)(法1)M≥k恒成立⇔k≤Mmin,转化为求M的最小值
当|b|>1,结合(II)讨论
|b|≤1两只情况讨论,此时M=max{g(﹣1),g
(1),g(b)},结合条件推理论证.
(法2)仿照法1,利用二次函数在区间[﹣1,1]的图象及性质求出M={g(﹣1),g
(1),g(b)},求出M的最小值,
【解答】(Ⅰ)解:
∵f'(x)=﹣x2+2bx+c,由f(x)在x=1处有极值
可得
解得,或
若b=1,c=﹣1,则f'(x)=﹣x2+2x﹣1=﹣(x﹣1)2≤0,此时f(x)没有极值;
若b=﹣1,c=3,则f'(x)=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+3)(x﹣1)
当x变化时,f(x),f'(x)的变化情况如下表:
x
(﹣∞,﹣3)
﹣3
(﹣3,1)
1
(1,+∞)
f'(x)
﹣
0
+
0
﹣
f(x)
↘
极小值﹣12
↗
极大值
↘
∴当x=1时,f(x)有极大值,故b=﹣1,c=3即为所求.
(Ⅱ)证法1:
g(x)=|f'(x)|=|﹣(x﹣b)2+b2+c|
当|b|>1时,函数y=f'(x)的对称轴x=b位于区间[﹣1.1]之外.
∴f'(x)在[﹣1,1]上的最值在两端点处取得
故M应是g(﹣1)和g
(1)中较大的一个,
∴2M≥g
(1)+g(
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