九年级数学教案二次函数解析式的确定教学设计.docx
- 文档编号:670364
- 上传时间:2023-04-29
- 格式:DOCX
- 页数:8
- 大小:18.07KB
九年级数学教案二次函数解析式的确定教学设计.docx
《九年级数学教案二次函数解析式的确定教学设计.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《九年级数学教案二次函数解析式的确定教学设计.docx(8页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
九年级数学教案二次函数解析式的确定教学设计
九年级数学教案:
二次函数解析式的确定教学设计
九年级数学教案:
二次函数解析式的确定教学设计
一.知识要点
1.若已知二次函数的图象上任意三点坐标,则用一般式(a≠0)求解析式。
2.若已知二次函数图象的顶点坐标(或对称轴最值),则应用顶点式,其中(h,k)为顶点坐标。
3.若已知二次函数图象与x轴的两交点坐标,则应用交点式,其中为抛物线与x轴交点的横坐标
二.重点、难点:
重点:
求二次函数的函数关系式
难点:
建立适当的直角坐标系,求出函数关系式,解决实际问题。
三.教学建议:
求二次函数的关系式,应恰当地选用二次函数关系式的形式,选择恰当,解题简捷;选择不当,解题繁琐;解题时,应根据题目特点,灵活选用。
典型例题
例1.已知某二次函数的图象经过点A(-1,-6),B(2,3),C(0,-5)三点,求其函数关系式。
分析:
设,其图象经过点C(0,-5),可得,再由另外两点建立关于的二元一次方程组,解方程组求出a、b的值即可。
解:
设所求二次函数的解析式为
因为图象过点C(0,-5),∴
又因为图象经过点A(-1,-6),B(2,3),故可得到:
∴所求二次函数的解析式为
说明:
当已知二次函数的图象经过三点时,可设其关系式为,然后确定a、b、c的值即得,本题由C(0,-5)可先求出c的值,这样由另两个点列出二元一次方程组,可使解题过程简便。
例2.已知二次函数的图象的顶点为(1,),且经过点
(-2,0),求该二次函数的函数关系式。
分析:
由已知顶点为(1,),故可设,再由点(-2,0)确定a的值即可
解:
,则
∵图象过点(-2,0),
∴
∴
即:
说明:
如果题目已知二次函数图象的顶点坐标(h,k),一般设,再根据其他条件确定a的值。
本题虽然已知条件中已设,但我们可以不用这种形式而另设这种形式。
因为在这种形式中,我们必须求a、b、c的值,而在这种形式中,在顶点已知的条件下,只需确定一个字母a的值,显然这种形式更能使我们快捷地求其函数关系式。
例3.已知二次函数图象的对称轴是,且函数有最大值为2,图象与x轴的一个交点是(-1,0),求这个二次函数的解析式。
分析:
依题意,可知顶点坐标为(-3,2),因此,可设解析式为顶点式
解:
设这个二次函数的解析式为
∵图象经过(-1,0),
∴
∴所求这个二次函数的解析式为
即:
说明:
在题设的条件中,若涉及顶点坐标,或对称轴,或函数的最大(最小值),可设顶点式为解析式。
例4.已知二次函数的图象如图1所示,则这个二次函数的关系式是__________________。
图1
分析:
可根据题中图中的信息转化为一般式(或顶点式)(或交点式)。
方法一:
由图象可知:
该二次函数过(0,0),(2,0),(1,-1)三点
设解析式为
根据题意得:
∴所求二次函数的解析式为
方法二:
由图象可知,该二次函数图象的顶点坐标为(1,-1)
设解析式为
∵图象过(0,0),∴,∴
∴所求二次函数的解析式为
即
方法三:
由图象可知,该二次函数图象与x轴交于点(0,0),(2,0)
设解析式为
∵图象过(1,-1)
∴,∴
∴所求二次函数解析式为:
即:
说明:
依题意后两种方法比较简便。
例5.已知:
抛物线在x轴上所截线段为4,顶点坐标为(2,4),求这个函数的关系式
分析:
由于抛物线是轴对称图形,设抛物线与x轴的两个交点为(x1,0),(x2,0),则有对称轴,利用这个对称性很方便地求二次函数的解析式
解:
∵顶点坐标为(2,4)
∴对称轴是直线x=2
∵抛物线与x轴两交点之间距离为4
∴两交点坐标为(0,0),(4,0)
设所求函数的解析式为
∵图象过(0,0)点
∴,∴
∴所求函数的解析式为
例6.已知二次函数的最大值是零,求此函数的解析式。
分析:
依题意,此函数图象的开口应向下,则有,且顶点的纵坐标的值为零,则有:
。
以上两个条件都应满足,可求m的值。
解:
依题意:
由①得
由②得:
(舍去)
所求函数式为
即:
例7.已知某抛物线是由抛物线经过平移而得到的,且该抛物线经过点A(1,1),B(2,4),求其函数关系式。
分析:
设所求抛物线的函数关系式为,则由于它是抛物线经过平移而得到的,故a=2,再由已知条件列出b、c的二元一次方程组可解本题。
解:
设所求抛物线的函数关系式为,则由已知可得a=2,又它经过点A(1,1),B(2,4)
故:
解得:
∴所求抛物线的函数表达式为:
说明:
本题的关键是由所求抛物线与抛物线的平移关系,得到
例8.如图2,已知点A(-4,0)和点B(6,0),第三象限内有一点P,它的横坐标为-2,并且满足条件
图2
(1)求证:
△PAB是直角三角形。
(2)求过P、A、B三点的抛物线的解析式,并求顶点坐标。
分析:
(1)中须证,由已知条件:
,应过P作PC⊥x轴
(2)中已知P、A、B三点的坐标,且根据点的位置可用三种不同的方法求出抛物线的解析式
解:
(1)过P作PC⊥x轴于点C,
由已知易知AC=2,BC=8
∴,解得:
PC=4
∴P点的坐标为(-2,-4)
由勾股定理可求得:
,又
∴
故△APB是直角三角形
(2)解法1,可设过P、A、B三点的抛物线的解析式为:
,
则有
∴
∴顶点坐标(1,)
解法2:
由抛物线与x轴交于A(-4,0),B(6,0),
可设,又抛物线过点P(-2,-4)可求a值
解法3:
由A(-4,0),B(6,0)
可知抛物线的对称轴为
可设,将A、B点的坐标代入解析式可求a,k的值
例9.如图3所示,是某市一条高速公路上的隧道口,在平面直角坐标系上的示意图,点A和A1,点B和B1分别关于y轴对称,隧道拱部分BCB1为一段抛物线,最高点C离路面AA1的距离为8米,点B离地面AA1的距离为6米,隧道宽AA1为16米
图3
(1)求隧道拱抛物线BCB1的函数表达式;
(2)现有一大型运货汽车,装载某大型设备后,其宽为4米,车载大型设备的顶部与路面的距离均为7米,问它能否安全通过这个隧道?
请说明理由。
分析:
(1)由已知可得顶点C的坐标为(0,8),B点坐标为(-8,6),从而可求其函数关系式。
(2)假设汽车从正中行驶,则其最右边到y轴的距离是2,于是求出抛物线上横坐标为2的点的坐标,再看它到地面AA1的距离是否大于7米,由此可判断运货汽车能否安全通过隧道。
解:
(1)如图所示,由已知得OA=OA1=8,OC=8,
故C点坐标(0,8),B点坐标为(-8,6)
设隧道拱抛物线BCB1的函数表达式为,
则
∴隧道拱抛物线BCB1的函数关系式为
(2)设货运汽车从正中行驶,则其最右边正上方抛物线上的点的横坐标为2,设这个点为D,过D作DE⊥x轴于E
当x=2时,
∴D点坐标为(2,7),∴DE
∵>7
∴该运货汽车能安全通过这个隧道。
说明:
要求抛物线的函数关系式,关键是确定其上的点的坐标,再选用适当的形式求其关系式。
本题第
(2)小题中,还可以求出抛物线上纵坐标为7的点的坐标(有两个),再比较这两点间的水平距离是否大于4。
例10.有这样一个问题:
已知:
二次函数的图象经过A(0,a),B(1,2),,求证:
这个二次函数图象的对称轴是直线,题目中的矩形框部分是一段被墨水覆盖而无法辨认的文字。
(1)根据现有的信息,你能否求出题目中二次函数的关系式?
若能,写出求解过程,若不能,说明理由。
(2)请你根据已有信息,在原题中的矩形框内,填加一个适当的条件,把原题补充完整。
分析:
仅由A、B两点无法求其关系式,但如果把待证的结论也看成已知条件,则可求出其关系式
解:
(1)能,过程如下
由图象经过点A(0,a),得c=a
将图象对称轴为直线看成已知条件,则
∵抛物线的对称轴是直线
∴
∴
∵抛物线经过点B(1,2)
∴
∴所求二次函数的关系式为
(2)可补充条件:
(或或其他条件)
说明:
二次函数配方后可变形为,故其图象的对称轴是直线,顶点坐标是()
第
(2)题的答案不唯一,补充的条件只要能求出其关系式为即可。
例11.已知四点A(1,2),B(0,6),C(-2,20),D(-1,12),试问是否存在一个二次函数,使它的图象同时经过这四个点?
如果存在,请求出它的关系式;如果不存在,说明理由。
分析:
先求出经过A、B、C的抛物线的关系式,再验证点D是否在所求抛物线上,若在,则存在这样的二次函数;若不在,则不存在这样的二次函数。
解:
设图象经过A、B、C的二次函数为
则由图象经过点B(0,6),可得c=6
又∵图象经过点A(1,2),C(-2,20)
解得:
∴经过A、B、C三点的二次函数为
∵当
∴点D(-1,12)在函数的图象上
即存在二次函数,其图象同时经过四个点。
说明:
探索同时经过四点的抛物线的问题,可先求出经过其中三个点的抛物线的关系式,再判断第四个点是否在所求抛物线上。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 九年级 数学教案 二次 函数 解析 的确 教学 设计