湖南省各地市中考《二次函数》压轴题解析版文档格式.doc
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②平面内是否存在点P,使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形?
若存在,求出点P的坐标;
若不存在,请说明理由.
6.(郴州市)如图1,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于C点,点P是抛物线上在第一象限内的一个动点,且点P的横坐标为t.
(2)设抛物线的对称轴为l,l与x轴的交点为D.在直线l上是否存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形?
若存在,求出点M的坐标;
(3)如图2,连接BC,PB,PC,设△PBC的面积为S.
①求S关于t的函数表达式;
②求P点到直线BC的距离的最大值,并求出此时点P的坐标.
7.(湘潭市)如图,点P为抛物线y=x2上一动点.
(1)若抛物线y=x2是由抛物线y=(x+2)2﹣1通过图象平移得到的,请写出平移的过程;
(2)若直线l经过y轴上一点N,且平行于x轴,点N的坐标为(0,﹣1),过点P作PM⊥l于M.
①问题探究:
如图一,在对称轴上是否存在一定点F,使得PM=PF恒成立?
若存在,求出点F的坐标:
②问题解决:
如图二,若点Q的坐标为(1,5),求QP+PF的最小值.
8.(张家界市)如图,已知二次函数y=ax2+1(a≠0,a为实数)的图象过点A(﹣2,2),一次函数y=kx+b(k≠0,k,b为实数)的图象l经过点B(0,2).
(1)求a值并写出二次函数表达式;
(2)求b值;
(3)设直线l与二次函数图象交于M,N两点,过M作MC垂直x轴于点C,试证明:
MB=MC;
(4)在(3)的条件下,请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系,并说明理由.
9.(邵阳市)如图所示,将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折,然后向右平移1个单位,再向上平移4个单位,得到二次函数y=ax2+bx+c的图象.函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A.函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B,和x轴的交点为点C,D(点D位于点C的左侧).
(1)求函数y=ax2+bx+c的解析式;
(2)从点A,C,D三个点中任取两个点和点B构造三角形,求构造的三角形是等腰三角形的概率;
(3)若点M是线段BC上的动点,点N是△ABC三边上的动点,是否存在以AM为斜边的Rt△AMN,使△AMN的面积为△ABC面积的?
若存在,求tan∠MAN的值;
10.(怀化市)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于
A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式;
(2)请在y轴上找一点M,使△BDM的周长最小,求出点M的坐标;
(3)试探究:
在拋物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点,AC为直角边的三角形是直角三角形?
若存在,请求出符合条件的点P的坐标;
11.(湘西州)如图1,经过原点O的抛物线y=ax2+bx(a、b为常数,a≠0)与x轴相交于另一点A(3,0).直线l:
y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B(5,t),与抛物线的对称轴相交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在x轴上找一点P,使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似,求满足条件的点P的坐标;
(3)直线l沿着x轴向右平移得到直线l′,l′与线段OA相交于点M,与x轴下方的抛物线相交于点N,过点N作NE⊥x轴于点E.把△MEN沿直线l′折叠,当点E恰好落在抛物线上时(图2),求直线l′的解析式;
(4)在(3)问的条件下(图3),直线l′与y轴相交于点K,把△MOK绕点O顺时针旋转90°
得到△M′OK′,点F为直线l′上的动点.当△M'
FK′为等腰三角形时,求满足条件的点F的坐标.
12.(衡阳市)如图,已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B,抛物线过A,B两点,点P是线段AB上一动点,过点P作PC⊥x轴于点C,交抛物线于点D.
(1)若抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4,设其顶点为M,其对称轴交AB于点N.
①求点M、N的坐标;
②是否存在点P,使四边形MNPD为菱形?
并说明理由;
(2)当点P的横坐标为1时,是否存在这样的抛物线,使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似?
若存在,求出满足条件的抛物线的解析式;
13.(娄底市)如图,抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3),D是抛物线的顶点,E是线段AB的中点.
(1)求抛物线的解析式,并写出D点的坐标;
(2)F(x,y)是抛物线上的动点:
①当x>1,y>0时,求△BDF的面积的最大值;
②当∠AEF=∠DBE时,求点F的坐标.
2018年湖南省各地市中考《二次函数》压轴题精析
(1)①在“平行四边形,矩形,菱形,正方形”中,一定是“十字形”的有 菱形,正方形 ;
②在凸四边形ABCD中,AB=AD且CB≠CD,则该四边形 不是 “十字形”.(填“是”或“不是”)
【学会思考】
(1)利用“十字形”的定义判断即可;
(2)先判断出∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB,进而判断出∠AED=∠AEB=90°
,即:
AC⊥BD,再判断出四边形OMEN是矩形,进而得出OE2=2﹣(AC2+BD2),即可得出结论;
(3)由题意得,A(,0),B(0,c),C(,0),D(0,﹣ac),求出S=AC•BD=﹣(ac+c)×
,S1=OA•OB=﹣,S2=OC•OD=﹣,S3=OA×
OD=﹣,
S4=OB×
OC=﹣,进而建立方程
+=+,求出a=1,再求出b=0,进而判断出四边形ABCD是菱形,求出AD=3,进而求出c=﹣9,即可得出结论.
【解】:
(1)①∵菱形,正方形的对角线互相垂直,
∴菱形,正方形是:
“十字形”,
∵平行四边形,矩形的对角线不一定垂直,
∴平行四边形,矩形不是“十字形”,
故答案为:
菱形,正方形;
②如图,
当CB=CD时,在△ABC和△ADC中,,
∴△ABC≌△ADC(SSS),
∴∠BAC=∠DAC,
∵AB=AD,
∴AC⊥BD,
∴当CB≠CD时,四边形ABCD不是“十字形”,
不是;
(2)∵∠ADB+∠CBD=∠ABD+∠CDB,∠CBD=∠CDB=∠CAB,
∴∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB,
∴180°
﹣∠AED=180°
﹣∠AEB,
∴∠AED=∠AEB=90°
,
过点O作OM⊥AC于M,ON⊥BD于N,连接OA,OD,
∴OA=OD=1,OM2=OA2﹣AM2,ON2=OD2﹣DN2,AM=AC,DN=BD,四边形OMEN是矩形,
∴ON=ME,OE2=OM2+ME2,
∴OE2=OM2+ON2=2﹣(AC2+BD2),
∵6≤AC2+BD2≤7,
∴2﹣≤OE2≤2﹣,
∴≤OE2≤,
∴(OE>0);
(3)由题意得,A(,0),B(0,c),C(,0),D(0,﹣ac),
∵a>0,c<0,
∴OA=,OB=﹣c,OC=,OD=﹣ac,AC=,BD=﹣ac﹣c,
∴S=AC•BD=﹣(ac+c)×
,S1=OA•OB=﹣,S2=OC•OD=﹣,
S3=OA×
OD=﹣,S4=OB×
OC=﹣,
∵,,
∴+=+,
∴=2,
∴a=1,
∴S=﹣c,S1=﹣,S4=﹣,
∵,
∴S=S1+S2+2,
∴﹣c=﹣+2,
∴﹣=﹣c•,
∴=,
∴b=0,
∴A(﹣,0),B(0,c),C(,0),d(0,﹣c),
∴四边形ABCD是菱形,
∴4AD=12,
∴AD=3,
即:
AD2=90,
∵AD2=c2﹣c,
∴c2﹣c=90,
∴c=﹣9或c=10(舍),
y=x2﹣9.
(1)先利用抛物线的对称性确定B(6,0),然后设交点式求抛物线解析式;
(2)设M(t,0),先其求出直线OA的解析式为y=x,直线AB的解析式为y=2x﹣12,直线MN的解析式为y=2x﹣2t,再通过解方程组得N(t,t),接着利用三角形面积公式,利用S△AMN=S△AOM﹣S△NOM得到S△AMN=•4•t﹣•t•t,然后根据二次函数的性质解决问题;
(3)设Q(m,m2﹣m),根据相似三角形的判定方法,当=时,△PQO∽△COA,则|m2﹣m|=2|m|;
当=时,△PQO∽△CAO,则|m2﹣m|=|m|,然后分别解关于m的绝对值方程可得到对应的P点坐标.
(1)∵抛物线过原点,对称轴是直线x=3,
∴B点坐标为(6,0),
设抛物线解析式为y=ax(x﹣6),
把A(8,4)代入得a•8•2=4,解得a=,
∴抛物线解析式为y=x(x﹣6),即y=x2﹣x;
(2)设M(t,0),
易得直线OA的解析式为y=x,
设直线AB的解析式为y=kx+b,
把B(6,0),A(8,4)代入得,解得,
∴直线AB的解析式为y=2x﹣12,
∵MN∥AB,
∴设直线MN的解析式为y=2x+n,
把M(t,0)代入得2t+n=0,解得n=﹣2t,
∴直线MN的解析式为y=2x﹣2t,
解方程组得,则N(t,t),
∴S△AMN=S△AOM﹣S△NOM
=•4•t﹣•t•t
=﹣t2+2t
=﹣(t﹣3)2+3,
当t=3时,S△AMN有最大值3,此时M点坐标为(3,0);
(3)设Q(m,m2﹣m),
∵∠OPQ=∠ACO,
∴当=时,△PQO∽△COA,即=,
∴PQ=2PO,即|m2﹣m|=2|m|,
解方程m2﹣m=2m得m1=0(舍去),m2=14,此时P点坐标为(14,0);
解方程m2﹣m=﹣2m得m1=0(舍去),m2=﹣2,此时P点坐标为(﹣2,0);
∴当=时,△PQO∽△CAO,即=,
∴PQ=PO,即|m2﹣m|=|m|,
解方程m2﹣m=m得m1=0(舍去),m2=8(舍去),
解方程m2﹣m=﹣m得m1=0(舍去),m2=4,此时P点坐标为(4,0);
综上所述,P点坐标为(14,0)或(﹣2,0)或(4,0).
(1)根据抛物线的对称轴公式代入可得a的值;
(2)根据已知得:
抛物线与x轴有两个交点,则△>0,列不等式可得c的取值范围;
(3)根据60°
的正切表示点B的坐标,把点B的坐标代入抛物线的解析式中得:
ac=12,则c=,从而得A和B的坐标,表示F的坐标,作辅助线,构建直角△ADG,根据已知的角相等可得△ADG∽△AFE,列比例式得方程可得a和c的值.
(1)抛物线的对称轴是:
x=﹣=﹣=,解得:
a=;
(2)由题意得二次函数解析式为:
y=15x2﹣5+c,
∵二次函数与x轴有两个交点,
∴△>0,
∴△=b2﹣4ac=﹣4×
15c,
∴c<;
(3)∵∠BOD=90°
,∠DBO=60°
∴tan60°
===,
∴OB=c,
∴B(c,0),
把B(c,0)代入y=ax2﹣5x+c中得:
-5+c=0,
﹣5c+c=0,
∵c≠0,
∴ac=12,
∴c=,
把c=代入y=ax2﹣5x+c中得:
y=a(x2﹣+)=a(x﹣)(x﹣),
∴x1=,x2=,
∴A(,0),B(,0),D(0,),
∴AB=﹣=,AE=,
∵F的纵坐标为3+,
∴F(,),
过点A作AG⊥DB于G,
∴BG=AB=AE=,AG=,
DG=DB﹣BG=﹣=,
∵∠ADB=∠AFE,∠AGD=∠FEA=90°
∴△ADG∽△AFE,
∴,
∴a=2,c=6,
∴y=2x2﹣5x+6.
(1)根据顶点式可求得抛物线的表达式;
(2)根据轴对称的最短路径问题,作E关于对称轴的对称点E'
,连接E'
F交对称轴于G,此时EG+FG的值最小,先求E'
F的解析式,它与对称轴的交点就是所求的点G;
(3)如图2,先利用待定系数法求AB的解析式为:
y=﹣2x+6,设N(m,﹣m2+2m+3),则Q(m,﹣2m+6),(0≤m≤3),表示NQ=﹣m2+4m﹣3,证明△QMN∽△ADB,列比例式可得MN的表达式,根据配方法可得当m=2时,MN有最大值,证明△NGP∽△ADB,同理得PG的长,从而得OP的长,根据三角形的面积公式可得结论,并将m=2代入计算即可.
(1)设抛物线的表达式为:
y=a(x﹣1)2+4,
把(0,3)代入得:
3=a(0﹣1)2+4,
a=﹣1,
∴抛物线的表达式为:
y=﹣(x﹣1)2+4=﹣x2+2x+3;
(2)存在,
如图1,作E关于对称轴的对称点E'
F交对称轴于G,此时EG+FG的值最小,
∵E(0,3),
∴E'
(2,3),
易得E'
F的解析式为:
y=3x﹣3,
当x=1时,y=3×
1﹣3=0,
∴G(1,0)
(3)如图2,∵A(1,4),B(3,0),
易得AB的解析式为:
y=﹣2x+6,
过N作NH⊥x轴于H,交AB于Q,
设N(m,﹣m2+2m+3),则Q(m,﹣2m+6),(1<m<3),
∴NQ=(﹣m2+2m+3)﹣(﹣2m+6)=﹣m2+4m﹣3,
∵AD∥NH,
∴∠DAB=∠NQM,
∵∠ADB=∠QMN=90°
∴△QMN∽△ADB,
∴MN=﹣(m﹣2)2+,
∵﹣<0,
∴当m=2时,MN有最大值;
过N作NG⊥y轴于G,
∵∠GPN=∠ABD,∠NGP=∠ADB=90°
∴△NGP∽△ADB,
∴==,
∴PG=NG=m,
∴OP=OG﹣PG=﹣m2+2m+3﹣m=﹣m2+m+3,
∴S△PON=OP•GN=(﹣m2+m+3)•m,
当m=2时,S△PON=×
2(﹣4+3+3)=2.
(方法2:
根据m的值计算N的坐标为(2,3),与E是对称点,连接EN,同理得:
EP=EN=1,则OP=2,根据面积公式可得结论).
(1)根据点的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线F的解析式;
(2)将直线l的解析式代入抛物线F的解析式中,可求出x1、x2的值,利用一次函数图象上点的坐标特征可求出y1、y2的值,做差后即可得出y2﹣y1的值;
(3)根据m的值可得出点A、B的坐标,利用对称性求出点A′的坐标.
①利用两点间的距离公式(勾股定理)可求出AB、AA′、A′B的值,由三者相等即可得出△AA′B为等边三角形;
②根据等边三角形的性质结合菱形的性质,可得出存在符合题意得点P,设点P的坐标为(x,y),分三种情况考虑:
(i)当A′B为对角线时,根据菱形的性质(对角线互相平分)可求出点P的坐标;
(ii)当AB为对角线时,根据菱形的性质(对角线互相平分)可求出点P的坐标;
(iii)当AA′为对角线时,根据菱形的性质(对角线互相平分)可求出点P的坐标.综上即可得出结论.
(1)∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点(0,0)和(﹣,0),
∴,解得:
∴抛物线F的解析式为y=x2+x.
(2)将y=x+m代入y=x2+x,得:
x2=m,
解得:
x1=﹣,x2=,
∴y1=﹣+m,y2=+m,
∴y2﹣y1=(+m)﹣(﹣+m)=(m>0).
(3)∵m=,
∴点A的坐标为(﹣,),点B的坐标为(,2).
∵点A′是点A关于原点O的对称点,
∴点A′的坐标为(,﹣).
①△AA′B为等边三角形,理由如下:
∵A(﹣,),B(,2),A′(,﹣),
∴AA′=,AB=,A′B=,
∴AA′=AB=A′B,
∴△AA′B为等边三角形.
②∵△AA′B为等边三角形,
∴存在符合题意的点P,且以点A、B、A′、P为顶点的菱形分三种情况,设点P的坐标为(x,y).
(i)当A′B为对角线时,有,
∴点P的坐标为(2,);
(ii)当AB为对角线时,有,
∴点P的坐标为(﹣,);
(iii)当AA′为对角线时,有,
∴点P的坐标为(﹣,﹣2).
综上所述:
平面内存在点P,使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形,点P的坐标为(2,)、(﹣,)和(﹣,﹣2).
(1)由点A、B的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的表达式;
(2)连接PC,交抛物线对称轴l于点E,由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1,分t=2和t≠2两种情况考虑:
当t=2时,由抛物线的对称性可得出此时存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形,再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标;
当t≠2时,不存在,利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M;
(3)①过点P作PF∥y轴,交BC于点F,由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式,根据点P的坐标可得出点F的坐标
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- 二次函数 湖南省 各地 中考 二次 函数 压轴 题解