中考数学函数综合题题型Word文档下载推荐.doc
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∴a=1
∴y=x2+bx-3
∵x2+bx-3=0的两根为x1,x2且=4
∴=4且b<0
∴b=-2
∴y=x2-2x-3=(x-1)2-4
∴抛物线C1的顶点坐标为(1,-4)
(2)∵x>0,∴
∴显然当x=1时,才有
(3)方法一:
由平移知识易得C2的解析式为:
y=x2
∴A(m,m2),B(n,n2)
∵ΔAOB为RtΔ
∴OA2+OB2=AB2
∴m2+m4+n2+n4=(m-n)2+(m2-n2)2
化简得:
mn=-1
∵SΔAOB==
∵mn=-1
∴SΔAOB=
=
∴SΔAOB的最小值为1,此时m=1,A(1,1)
∴直线OA的一次函数解析式为y=x
①已知一元二次方程两个根x1,x2,求|x1-x2|。
因为|x1-x2|=
②
例3:
如图,已知抛物线经过点A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合),过M作MN∥y轴交抛物线于N,若点M的横坐标为m,请用m的代数式表示MN的长.
(3)在
(2)的条件下,连接NB、NC,是否存在m,使△BNC的面积最大?
若存在,求m的值;
若不存在,说明理由.
(1)设抛物线的解析式为:
y=a(x+1)(x﹣3),则:
a(0+1)(0﹣3)=3,a=﹣1;
∴抛物线的解析式:
y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3.
(2)设直线BC的解析式为:
y=kx+b,则有:
,
解得;
故直线BC的解析式:
y=﹣x+3.
已知点M的横坐标为m,则M(m,﹣m+3)、N(m,﹣m2+2m+3);
∴故MN=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m(0<m<3).
(3)如图;
∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN(OD+DB)=MN×
OB,
∴S△BNC=(﹣m2+3m)×
3=﹣(m﹣)2+(0<m<3);
∴当m=时,△BNC的面积最大,最大值为.
因为△BNC的面积不好直接求,将△BNC的面积分解为△MNC和△MNB的面积和。
然后将△BNC的面积表示出来,得到一个关于m的二次函数。
此题利用的就是二次函数求最值的思想,当二次函数的开口向下时,在顶点处取得最大值;
当二次函数的开口向上时,在顶点处取得最小值。
题型二:
二次函数与三角形的综合问题
例4:
如图,已知:
直线交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C(1,0)三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点D的坐标为(-1,0),在直线上有一点P,使ΔABO与ΔADP相似,求出点P的坐标;
(3)在
(2)的条件下,在x轴下方的抛物线上,是否存在点E,使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积?
如果存在,请求出点E的坐标;
如果不存在,请说明理由.
解:
(1):
由题意得,A(3,0),B(0,3)
∵抛物线经过A、B、C三点,∴把A(3,0),B(0,3),C(1,0)三点分别代入得方程组
解得:
∴抛物线的解析式为
(2)由题意可得:
△ABO为等腰三角形,如图所示,
若△ABO∽△AP1D,则
∴DP1=AD=4,
∴P1
若△ABO∽△ADP2,过点P2作P2M⊥x轴于M,AD=4,
∵△ABO为等腰三角形,∴△ADP2是等腰三角形,由三线合一可得:
DM=AM=2=P2M,
即点M与点C重合∴P2(1,2)
(3)如图设点E,则
①当P1(-1,4)时,
S四边形AP1CE=S△ACP1+S△ACE
=
∴∴
∵点E在x轴下方∴
代入得:
即
∵△=(-4)2-4×
7=-12<
∴此方程无解
②当P2(1,2)时,S四边形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE=
∴∴
∵点E在x轴下方∴代入得:
即,∵△=(-4)2-4×
5=-4<
综上所述,在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E。
①求一点使两个三角形相似的问题,我们可以先找出可能相似的三角形,一般是有几种情况,需要分类讨论,然后根据两个三角形相似的边长相似比来求点的坐标。
②要求一个动点使两个图形面积相等,我们一般是设出这个动点的坐标,然后根据两个图形面积相等来求这个动点的坐标。
如果图形面积直接求不好求的时候,我们要考虑将图形面积分割成几个容易求解的图形。
例5:
如图,点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°
至OB的位置.
(1)求点B的坐标;
(2)求经过点A.O、B的抛物线的解析式;
(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形?
若存在,求点P的坐标;
(1)如图,过B点作BC⊥x轴,垂足为C,则∠BCO=90°
∵∠AOB=120°
∴∠BOC=60°
又∵OA=OB=4,
∴OC=OB=×
4=2,BC=OB•sin60°
=4×
=2,
∴点B的坐标为(﹣2,﹣2);
(2)∵抛物线过原点O和点A.B,
∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx,
将A(4,0),B(﹣2.﹣2)代入,得
解得,
∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x
(3)存在,
如图,抛物线的对称轴是x=2,直线x=2与x轴的交点为D,设点P的坐标为(2,y),
①若OB=OP,
则22+|y|2=42,
解得y=±
2,
当y=2时,在Rt△POD中,∠PDO=90°
,sin∠POD==,
∴∠POD=60°
∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°
+120°
=180°
即P、O、B三点在同一直线上,
∴y=2不符合题意,舍去,
∴点P的坐标为(2,﹣2)
②若OB=PB,则42+|y+2|2=42,
解得y=﹣2,
故点P的坐标为(2,﹣2),
③若OP=BP,则22+|y|2=42+|y+2|2,
综上所述,符合条件的点P只有一个,其坐标为(2,﹣2),
求一动点使三角形成为等腰三角形成立的条件,这种题型要用分类讨论的思想。
因为要使一个三角形成为等腰三角形,只要三角形的任意两个边相等就可以,所以应该分三种情况来讨论。
题型三:
二次函数与四边形的综合问题
例6:
综合与实践:
如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A.B两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.
(1)求直线AC的解析式及B,D两点的坐标;
(2)点P是x轴上一个动点,过P作直线l∥AC交抛物线于点Q,试探究:
随着P点的运动,在抛物线上是否存在点Q,使以点A.P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,请直接写出符合条件的点Q的坐标;
若不存在,请说明理由.
(3)请在直线AC上找一点M,使△BDM的周长最小,求出M点的坐标.
(1)当y=0时,﹣x2+2x+3=0,解得x1=﹣1,x2=3.
∵点A在点B的左侧,
∴A.B的坐标分别为(﹣1,0),(3,0).
当x=0时,y=3.
∴C点的坐标为(0,3)
设直线AC的解析式为y=k1x+b1(k1≠0),
则,
∴直线AC的解析式为y=3x+3.
∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴顶点D的坐标为(1,4).
(2)抛物线上有三个这样的点Q,
①当点Q在Q1位置时,Q1的纵坐标为3,代入抛物线可得点Q1的坐标为(2,3);
②当点Q在点Q2位置时,点Q2的纵坐标为﹣3,
代入抛物线可得点Q2坐标为(1+,﹣3);
③当点Q在Q3位置时,点Q3的纵坐标为﹣3,
代入抛物线解析式可得,点Q3的坐标为(1﹣,﹣3);
综上可得满足题意的点Q有三个,分别为:
Q1(2,3),Q2(1+,﹣3),Q3(1﹣,﹣3).
(3)点B作BB′⊥AC于点F,使B′F=BF,则B′为点B关于直线AC的对称点.
连接B′D交直线AC与点M,则点M为所求,
过点B′作B′E⊥x轴于点E.
∵∠1和∠2都是∠3的余角,
∴∠1=∠2.
∴Rt△AOC~Rt△AFB,
∴,
由A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3)得OA=1,OB=3,OC=3,
∴AC=,AB=4.
∴BF=,
∴BB′=2BF=,
由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB,
∴,即.
∴B′E=,BE=,
∴OE=BE﹣OB=﹣3=.
∴B′点的坐标为(﹣,).
设直线B′D的解析式为y=k2x+b2(k2≠0).
∴直线B'
D的解析式为:
y=x+,
联立B'
D与AC的直线解析式可得:
∴M点的坐标为(,).
求一动点使四边形成为平行四边形成立的条件,这种题型要用分类讨论的思想,一般需要分三种情况来讨论。
题型四:
二次函数与圆的综合问题
例7:
如图,半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A,与y轴的正半轴交于点B,点C的坐标为(1,0).若抛物线过A、B两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线上是否存在点P,使得∠PBO=∠POB?
若存在,求出点P的坐标;
若不存在说明理由;
(3)若点M是抛物线(在第一象限内的部分)上一点,△MAB的面积为S,求S的最大(小)值.
(1)如答图1,连接OB.
∵BC=2,OC=1
∴OB=
∴B(0,)
将A(3,0),B(0,)代入二次函数的表达式
得,解得:
,
∴.
(2)存在.
如答图2,作线段OB的垂直平分线l,与抛物线的交点即为点P.
∵B(0,),O(0,0),
∴直线l的表达式为.代入抛物线的表达式,
得;
∴P().
(3)如答图3,作MH⊥x轴于点H.
设M(),
则S△MAB=S梯形MBOH+S△MHA﹣S△OAB=(MH+OB)•OH+HA•MH﹣OA•OB
=
=
∵,
∴
∴当时,取得最大值,最大值为.
题型五:
二次函数中的证明问题
例8:
如图11,已知二次函数的图像过点A(-4,3),B(4,4).
(1)求二次函数的解析式:
(2)求证:
△ACB是直角三角形;
(3)若点P在第二象限,且是抛物线上的一动点,过点P作PH垂直x轴于点H,是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似?
若不存在,请
说明理由。
解:
(1)将A(-4,3),B(4,4)代人中,整理得:
解得
∴二次函数的解析式为:
整理得:
(2)由整理
∴C(-2,0)D
从而有:
AC2=4+9BC2=36+16AC2+BC2=13+52=65
AB2=64+1=65
∴AC2+BC2=AB2故△ACB是直角三角形
(3)设(X<
0)
PH=HD=AC=BC=
①当△PHD∽△ACB时有:
即:
整理
∴(舍去)此时,
∴
②当△DHP∽△ACB时有:
∴(舍去)此时,
综上所述,满足条件的点有两个即
例9:
在平面直角坐标系xOy中,点P是抛物线:
y=x2上的动点(点在第一象限内).连接OP,过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q.连接PQ,交y轴于点M.作PA丄x轴于点A,QB丄x轴于点B.设点P的横坐标为m.
(1)如图1,当m=时,
①求线段OP的长和tan∠POM的值;
②在y轴上找一点C,使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形,求点C的坐标;
(2)如图2,连接AM、BM,分别与OP、OQ相交于点D、E.
①用含m的代数式表示点Q的坐标;
②求证:
四边形ODME是矩形.
(1)①把x=代入y=x2,得y=2,∴P(,2),∴OP=
∵PA丄x轴,∴PA∥MO.∴tan∠P0M=tan∠0PA==.
②设Q(n,n2),∵tan∠QOB=tan∠POM,
∴.∴n=
∴Q(,),∴OQ=.
当OQ=OC时,则C1(0,),C2(0,);
当OQ=CQ时,则C3(0,1).
(2)①∵P(m,m2),设Q(n,n2),∵△APO∽△BOQ,∴
∴,得n=,∴Q(,).
②设直线PO的解析式为:
y=kx+b,把P(m,m2)、Q(,)代入,得:
解得b=1,∴M(0,1)
∵,∠QBO=∠MOA=90°
∴△QBO∽△MOA
∴∠MAO=∠QOB,
∴QO∥MA
同理可证:
EM∥OD
又∵∠EOD=90°
∴四边形ODME是矩形.
题型六:
自变量取值范围问题
例10:
如图,在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD是菱形,顶点A.C.D均在坐标轴上,且AB=5,sinB=.
(1)求过A.C.D三点的抛物线的解析式;
(2)记直线AB的解析式为y1=mx+n,
(1)中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c,求当y1<y2时,自变量x的取值范围;
(3)设直线AB与
(1)中抛物线的另一个交点为E,P点为抛物线上A.E两点之间的一个动点,当P点在何处时,△PAE的面积最大?
并求出面积的最大值.
(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD=CD=BC=5,sinB=sinD=;
Rt△OCD中,OC=CD•sinD=4,OD=3;
OA=AD﹣OD=2,即:
A(﹣2,0)、B(﹣5,4)、C(0,4)、D(3,0);
设抛物线的解析式为:
y=a(x+2)(x﹣3),得:
2×
(﹣3)a=4,a=﹣;
∴抛物线:
y=﹣x2+x+4.
(2)由A(﹣2,0)、B(﹣5,4)得直线AB:
y1=﹣x﹣;
由
(1)得:
y2=﹣x2+x+4,则:
,;
由图可知:
当y1<y2时,﹣2<x<5.
(3)∵S△APE=AE•h,
∴当P到直线AB的距离最远时,S△ABC最大;
若设直线L∥AB,则直线L与抛物线有且只有一个交点时,该交点为点P;
设直线L:
y=﹣x+b,当直线L与抛物线有且只有一个交点时,
﹣x+b=﹣x2+x+4,且△=0;
求得:
b=,即直线L:
y=﹣x+;
可得点P(,).
由
(2)得:
E(5,﹣),则直线PE:
y=﹣x+9;
则点F(,0),AF=OA+OF=;
∴△PAE的最大值:
S△PAE=S△PAF+S△AEF=×
×
(+)=.
综上所述,当P(,)时,△PAE的面积最大,为.
题型七:
二次函数实际应用问题
例11:
某电子厂商投产一种新型电子厂品,每件制造成本为18元,试销过程中发现,每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100.(利润=售价﹣制造成本)
(1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
(2)当销售单价为多少元时,厂商每月能获得3502万元的利润?
当销售单价为多少元时,厂商每月能获得最大利润?
最大利润是多少?
(3)根据相关部门规定,这种电子产品的销售单价不能高于32元,如果厂商要获得每月不低于350万元的利润,那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元?
(1)z=(x﹣18)y=(x﹣18)(﹣2x+100)
=﹣2x2+136x﹣1800,
∴z与x之间的函数解析式为z=﹣2x2+136x﹣1800;
(2)由z=350,得350=﹣2x2+136x﹣1800,
解这个方程得x1=25,x2=43
所以,销售单价定为25元或43元,
将z═﹣2x2+136x﹣1800配方,得z=﹣2(x﹣34)2+512,
因此,当销售单价为34元时,每月能获得最大利润,最大利润是512万元;
(3)结合
(2)及函数z=﹣2x2+136x﹣1800的图象(如图所示)可知,
当25≤x≤43时z≥350,
又由限价32元,得25≤x≤32,
根据一次函数的性质,得y=﹣2x+100中y随x的增大而减小,
∴当x=32时,每月制造成本最低.最低成本是18×
(﹣2×
32+100)=648(万元),
因此,所求每月最低制造成本为648万元.
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